指数函数讲义经典整理(含答案).doc

..指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数ya x ( a 0且 a1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 R知识点2：指数函数的图像和性质知识点 3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0 c d 1 a b，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点 4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. .下载可编辑. ...② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值1④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y 2 3x, y x2, y 3x 2, y 2x1等函数均不符合形式y a x a 0且a 1，因此，它们都不是指数函数1⑤ 画指数函数y ax的图像，应抓住三个关键点：1,a , 0,1 , 1, a二、同步题型分析题型 1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例 1：已知函数，且．（1）求 m的值；（2）判定 f （ x）的奇偶性；（3）判断 f （ x）在（ 0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（ 1）欲求 m的值，只须根据 f （ 4） = 的值，当x=4 时代入 f （ x）解一个指数方程即可；（ 2）求出函数的定义域x|x ≠0} ，利用奇偶性的定义判断 f （ x）与 f （﹣ x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取 0＜ x1＜ x2，只要证明 f （x1）＞ f （ x2），即可．解答：解：（ 1）因为，所以，所以m=1．（ 2）因为 f （ x）的定义域为 {x|x ≠0} ，又，所以 f （ x）是奇函数．（ 3 ）任取x1 ＞x2 ＞0 ，则，因为 x1＞x2＞ 0，所以，所以f（x1）＞f（x2），. .下载可编辑. ...所以 f （ x）在（ 0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例 2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明： f （ x）＞ 0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（ 1）由 2x﹣1≠0解得义域为 {x|x ≠0} ，关于原点对称． f（﹣ x）=（）（﹣x）=（）x=f （ x），故该函数为偶函数．（ 2 ）任取x∈{x|x ≠0} ，当x ＞ 0时，2x＞20=1且x ＞ 0 ，故，从而．当 x＜ 0 时，﹣ x＞0，故 f （﹣ x）＞ 0，由函数为偶函数，能证明f（ x）＞ 0 在定义域上恒成立．解答：解：（ 1）该函数为偶函数．由 2x﹣1≠0解得 x≠0即义域为 {x|x ≠0} 关于原点对称（ 2 分）f （﹣ x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．（7 分）（2）证明：任取 x∈{x|x ≠0}当 x＞ 0 时， 2x＞ 20=1 且 x＞ 0，∴2x﹣ 1＞ 0，故. .下载可编辑. ...从而（ 11 分）当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0，∴f（﹣ x）＞ 0，（ 12 分）又因为函数为偶函数，∴f（ x）=f （﹣ x）＞ 0，（ 13 分）∴f （ x）＞ 0 在定义域上恒成立．（14 分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（ x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例 3：已知函数y=ax （ a＞0 且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求 a 的值；（2）求 f （ x） +f （1﹣ x）的值；（ 3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由 y=ax 单调得 a+a2=20，由此可求 a；（2）写出 f （ x），代入运算可得；（3）借助（ 2）问结论分 n 为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（ 1）∵函数 y=ax（ a＞ 0 且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为20，且 y=ax 单调，∴a+a2=20，得 a=4，或 a=﹣ 5（舍去）；（ 2）由（ 1）知，∴====1；（ 3）由（ 2）知 f （x） +f （ 1﹣ x） =1，得n 为奇数时，=×1=；. .下载可编辑. ...n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型 2：指数函数的图像变换．例 1：已知函数 y=|2x ﹣ 2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当 x 取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（ 1）函数 y=|2x ﹣ 2| 图象是由y=2x 的图象向下平移 2 个单位，再将x 轴下方的部分翻着到x 轴上方得到．（ 2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 ．解答：解：（ 1）函数 y=|2x ﹣ 2| 图象是由 y=2x 的图象向下平移 2 个单位，再将 x 轴下方的部分翻着到 x 轴上方得到，如图所示：（ 2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1] ，增区间为（ 1，+∞）．（ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 ．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．. .下载可编辑. ...题型 3：指数函数单调性例 1：已知函数 f （x） =a? 2x+b ? 3x，其中常数a， b 满足 a? b≠0（1）若 a? b＞ 0，判断函数 f （ x）的单调性；（2）若 a=﹣ 3b，求 f （ x+1）＞ f （ x）时的 x 的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分 a＞ 0， b＞0 和 a＜ 0， b＜ 0 两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当 a=﹣ 3b 时， f （ x） =﹣ 3b? 2x+b? 3x=b（ 3x﹣ 3? 2x），分 b＞ 0， b＜ 0 两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（ 1）当 a＞ 0，b＞ 0 时，任意 x1，x2∈R，且 x1＜ x2，则 f （ x1）﹣ f （x2） =a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（ x1）﹣ f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（ x2），故函数 f （x）在 R上是增函数；当 a＜ 0，b＜ 0 时，同理，可判断函数 f （ x）在 R上是减函数；（2）当 a=﹣ 3b 时， f （ x） =﹣ 3b? 2x+b? 3x=b（ 3x﹣ 3? 2x），则 f （ x+1）＞ f （ x）即化为 b（ 3x+1﹣ 3? 2x+1）＞ b（ 3x﹣ 3? 2x），若 b＞ 0，则有 3x+1﹣ 3? 2x+1＞ 3x﹣ 3? 2x，整理得，解得x＞1；若 b＜ 0，则有 3x+1﹣ 3? 2x+1＜ 3x﹣ 3? 2x，整理得，解得x＜1；故 b＞ 0 时， x 的范围是 x＞ 1；当 b＜0 时， x 的范围是 x＜ 1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例 2：已知定义在（﹣ 1，1）上的奇函数 f （ x）．在 x∈（﹣ 1，0）时， f （ x） =2x+2﹣x．（ 1）试求 f （ x）的表达式；（ 2）用定义证明 f （ x）在（﹣ 1， 0）上是减函数；（ 3）若对于 x∈（ 0，1）上的每一个值，不等式 t ? 2x? f （ x）＜ 4x﹣ 1 恒成立，求实数 t 的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．. .下载可编辑. ...专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（ 1）由 f （ x）是定义在（﹣ 1， 1）上的奇函数可得 f （0） =0，x∈（ 0， 1）时， f （x） =﹣ f （﹣ x）=﹣（ 2x+2﹣ x）；从而写出 f （ x）的表达式；（ 2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（ 3）对于 x∈（ 0，1）上的每一个值，不等式 t ? 2x? f （x）＜ 4x﹣ 1 恒成立转化为对于 x∈（ 0，1）上的每一个值，不等式t ＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（ 1）∵ f （ x）是定义在（﹣1， 1）上的奇函数，∴f （ 0）=0，设∈（ 0， 1），则﹣ x∈（﹣ 1， 0），则f（ x） =﹣ f （﹣ x）=﹣（ 2x+2﹣ x），故 f （ x）=；（ 2）任取 x1，x2∈（﹣ 1， 0），且 x1＜ x2，则 f （ x1）﹣ f （ x2） =+﹣（+）=，∵x1＜ x2＜ 0，∴﹣＜0，0＜＜1，故 f （ x1）﹣ f （ x2）＞ 0，故 f （ x）在（﹣ 1，0）上是减函数；（ 3）由题意， t ? 2x? f （x）＜ 4x﹣1 可化为t ? 2x? （﹣（ 2x+2﹣ x））＜ 4x﹣ 1，化简可得， t ＞﹣，令 g（ x）=﹣=﹣ 1+，∵x∈（ 0， 1），∴g（ x）＜﹣ 1+=0，故对于 x∈（ 0， 1）上的每一个值，不等式t ? 2x? f （ x）＜ 4x﹣1 恒成立可化为. .下载可编辑. ...t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例 3：已知函数 f （x） =|2x ﹣ 1﹣ 1| ，（x∈R）．（ 1）证明：函数 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数，并指出函数 f （ x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（ 2）若函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点A（ m， t ）， B（n， t ），其中 m＜ n，求 m+n的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（ 2）由（ 1）可知，函数的值域为（0， 1），要使函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t ∈（ 0， 1）又函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，所以A（ m， t ）， B（ n，t ）分别位于直线x=1 的两侧，由m＜ n，得 m＜1＜ n，故可以求出m+n，进而由 t ∈（ 0， 1），可求 m+n的取值范围．解答：解：（ 1 ）证明：任取x1∈（ 1 ， +∞），x2∈（ 1 ， +∞），且x1 ＜ x2 ，=，∵ x1＜ x2，∴，∴，∴ f （ x1 ）＜ f （x2）．所以 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数．（5 分）函数 f （ x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6 分）（ 2）因为函数 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0， 1），由题意函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t ∈（ 0， 1），（ 8 分）易知 A（ m， t ）， B（n， t ）分别位于直线x=1 的两侧，由m＜ n，得 m＜ 1＜ n，故 2m﹣ 1﹣1＜ 0，2n﹣ 1﹣1＞ 0，又 A， B 两点的坐标满足方程 t=|2x ﹣ 1﹣ 1| ，故得 t=1 ﹣ 2m﹣ 1，t=2n ﹣ 1﹣ 1，即 m=log2（ 2﹣2t ）， n=log2 （ 2+2t ），（12 分）故 m+n=log2（ 2﹣ 2t ） +log2 （ 2+2t ）=log2 （ 4﹣ 4t2 ），当 0＜ t ＜1 时， 0＜4﹣ 4t2 ＜ 4，﹣∞＜ log2 （ 4﹣ 4t2 ）＜ 2．因此， m+n的取值范围为（﹣∞， 2）．（ 17 分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论. .下载可编辑. ...三、课堂达标检测检测题 1：已知函数 f （ x） =（其中e=2.71828是一个无理数）．（1）求函数 f （ x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（ 2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从 f （﹣ x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解： f （ x） ==1﹣（1）∵ e2x+1 恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f （﹣ x） ==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f （ x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设 x1，x2∈R 且 x1＜ x2则 f （ x1）﹣ f （ x2） =1﹣=∵x1＜ x2，∴∴f（ x1）﹣ f （ x2）＜ 0即 f （ x1）＜ f （ x2）. .下载可编辑. ...∴f（ x）在 R 是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题 2：已知函数 f （ x） =2ax+2（ a 为常数）（1）求函数 f （ x）的定义域．（2）若 a=1，x∈（ 1， 2] ，求函数 f （ x）的值域．（ 3）若 f （ x）为减函数，求实数 a 的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数 f （x）在（ 1， 2] 上的单调性求函数的值域．（ 3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2 必须为减函数．解答：解：（ 1）函数 y=2ax+2 对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为 a=1，所以 f （ x） =2x+2．易知此时 f （ x）为增函数．又因为 1＜x≤2，所以 f （1）＜ f （ x）≤ f （ 2），即 8＜ f （ x）≤16．所以函数 f （ x）的值域为（ 8， 16] ．（ 3）因为 f （ x）为减函数，而y=2u 是增函数，所以函数u=ax+2 必须为减函数．所以得a＜ 0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题 3：设 f （ x）的定义域是（﹣∞，0）∪（ 0，+∞），且 f （ x）对任意不为零的实数x 都满足 f （﹣ x） =﹣ f （ x）．已知当x＞ 0 时（ 1）求当 x＜ 0 时， f （ x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（ 1）求当 x＜0 时， f （ x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值 x，再转化到已知区间上求解析式，由 f （﹣ x） =﹣ f （ x）解出 f （ x）即可．（ 2）解不等式 f （x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：. .下载可编辑. ...解：（ 1）当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜ 0 时，（ 2） x＞0 时，，∴化简得∴，解得 1＜2x＜4∴0＜ x＜ 2当 x＜ 0 时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣ 2解集为 {x|x ＜﹣ 2 或 0＜ x＜ 2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出 f （ x）来．解不等式也要分段求解，注意x 的取值范围．. .下载可编辑. .。