垂直平分线的性质课件pptppt

离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，
点P 在l 上．求证：PA =PB．
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 ∵ AC =CB，PC =PC，
P
求证：点P 在线段AB
的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB
则∠PCA =∠PCB =90°．
A
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
C
B
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平- 分线上
探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距
离相等的所有点的集合
-
巩固练习 已知:如图 ABC中,边AB、BC的
A M
垂直平分线相交于点P.
P
求证:PA=PB=PC.
OA，OB，现计划修建一个物资仓库，
希望仓库到两所大学的距离相等，到
两条公路的距离也相等，请你确定该
点。 A
M
O
N
B
-
结束语
同学们，这节课到这里就结束了， 谢谢你们的参与！
-
1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角
A
来，与A，B 的距离相
•
•C
B
•
等的点都在直线l上，
•
所以直线l 可以看成与
•
两点A、B 的距离相等
的所有点的集合．
-
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
（直线CD)
-
试验与探索：条线段的垂直平分线
C
问题2：
直线CD
具有什么 A
M
CD⊥AB MA=MB
B 即：直线
特征或特 性?
CD垂直并 且平分线段
AB. D
定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段
的 垂直平分线。也称中垂线。
如上图，直线CD就是线段AB的垂直平分线
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系．
相等．
P3
结论：线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的距
P2
离相等．
P1
A
B
明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
A
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）
C
B
∴ PA =PB．
用几何语言表示为：
线段垂直平分线的性质：
∵ CA =CB，l⊥AB，
线段垂直平分线上的点与这条 ∴ PA =PB．
线段两个端点的距离相等．
-
巩固练习
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
质）
∴ ＯA=ＯC（等量代换） -
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上． P
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB．
于__8____．
A
B
DE
C
-
巩固练习
如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线 MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长 为23,且BM=7,求BC的长。
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
A BM=7
M
∴ CM=BM=7
∵ ΔBMC 的周长=23
B
N
C ∴BM+CM+BC=23
∴BC=23-CM-BM
B
C
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上N(已知)
∴ PA=PB( ) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一 点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
思考：交点在什么位置？-
知识拓展
如图，△OBC中，BC的垂直平分线DP交 ∠BOC的平分线于D，垂足为P．
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木工手工钻
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试验与探索：条线段的垂直平分线
请同学们在练习本上画出线段AB及其中点 M,再过点M画出AB的垂线CD,沿直线CD将纸对折，观察线
段MA和MB是否完全重合？ C
A
结论：线段MA
和MB完全重合， 因此，线段AB是轴 对称图形。
M
B
问题1：既然线段AB
D
是轴对称图形。那么它的 对称轴是什么呢？
线段垂直平分线的判定
P
与一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．
用几何符号表示为：
∵ PA =PB，
A
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
C
B
-
巩固练习
如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
=23-7-7
-
=9
巩固练习 如图所示，直线MN和DE分别是线段
AB、BC的垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段Ｏ A和ＯC是否相等？请说明理由？
M D
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线
Ｏ
（已知）
∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性 C 质）
A N
又∵ DE是线段BC的垂直平分线
B
E
（已知） ∴ ＯB=ＯC（线段中垂线的性
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴
M
直线AM 是线段BC 的垂直平分线
．
B
D
C
-
探索并证明线段垂直平分线的判定
M
你能再找一些到线段AB 两端点的 •
距离相等的点吗？能找到多少个到线 •
段AB 两端点距离相等的点？
•
这些点能组成什么几何图形？
•
在线段AB 的垂直
•
平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过
（1）若∠BOC=60゜，求∠BDC的度数； （2）若∠BOC=α，则∠BDC=______（直接写出结果）．
-
思考：生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能
使得它到三个小区的距离相等。
·
B
C
-
• 某地有两所大学和两条相交叉的公路