Ch8数列与无穷级数8.1.3PPT课件

0
2
1
n1
xdx lim f
0
0 i0
i
xi
lim
n
n1 i0
i n
1 n
n等分 取端点
当然，原式 ＝lim 1 (n 1)n 1
n n 2 2
2
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例5
求数列极限
lim
n
1 n
1 1 n
3
所以 { xn } 是单调增有上界数列 , 根据收敛准则
知 { xn } 收敛 , 记其极限值为 e , 于是有
lim (1 1 )n e n n
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例 2 已知 a1 3，an1 3an (n 1, 2, 3,
证明此数列收敛， 并求其极限．
证明 显然，a1 3 3 ， 假设 0 an 3， 则有
lim
n
an
L.
定理 (柯西收敛原理 ) 数列 {an } 收敛的充要条件是 0， 存在自然数 N，对任意自然数 p 及 n N，有 | an p an | ．
不作要求
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小结：数列极限的求法
1.化为定积分 若 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 则根据定积
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n )
(n 1)! n 1 n 1
n1
比较 xn 与 xn+1 的对应项可知:
xn xn1
来自百度文库
即 { xn }是单调增数列 7
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利用上式可得
xn
11
1 2!
1 3!
1 n!
11
1 2
1 22
1 2n1
3
1 2n1
例3 设以下数列收敛，求其极限值：
(1) 已知 a1 3，an1 3 2an (n 1, 2, 3,)．
解 (1)
设
lim an a，则对
n
an1
3 2an
两边取极限，
得 a 3 2a ， 解得 a 1 或 a 3，
由于 an 0，
所以
lim
n
a
n
3．
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数轴上对应于有界数列的点 an 都落在闭区间
[M, M]上.
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定理6 收敛数列必是有界数列.
证
设
lim
n
an
a,
由定义, 取 1,
则N , 使得当n N时恒有 an a 1,
即有 a 1 an a 1.
记 M max{ a1 ,, aN , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 an M , 故an有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
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定义 若对于任意正整数 n 均有 an an1 ,
则称 a 是单调增加的数列(或单调不减的数列); n
若对于任意正整数 n 均有 an an1 ,
则称
a n
分的定义有
lim
n
n
f
k 1
(a
k
b
n
a)
b
n
a
ab
f
( x)dx
(一般只考虑[0,1]区间上定积分)
例4
错 解:
无穷多项相加
×
×
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解:
lim n
1 n2
2 n2
n n2
1
n1 i
n1 i
lim
n
i 1
n2
lim
n
i0
n2
n1 1 i
lim n n i0 n
1 xdx 1
是单调减少的数列(或单调不增的数列).
单调增加数列和单调减少数列统称单调数列.
定理7(单调有界准则) 单调有界数列必定是收敛数列.
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定理 ( 单调数列收敛准则 )
(1) 如果单调增数列 { an } 有上界 , 即
an an1 M , n N
则极限
lim
n
an
存在
(2) 如果单调减数列 { an } 有下界 , 即
例如： {(1)n }． 可表示为 an1 an， a1 1．
若记 lim an a， 则有 a a， 得到 a 0．
n
从而有 lim (1)n 0．
n
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定理8 若数列 an的子数列 a2k1 及 a2k 均收敛,
且
lim
k
a2k
1
lim
k
a2k
L
则数列 an 收敛,并且
第八章 数列与无穷级数
§8.1 数列极限
• 数列 • 收敛数列 • 有界数列和单调数列
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8.1.3 有界数列和单调数列
定义: 对数列 an, 若存在正数 M , 使得
一切自然数n, 恒有 an M 成立, 则称数
列an有界, 否则, 称为无界.
例如,
数列 an
n; n1
有界
数列 an 2n. 无界
(2)
已知
a1
0，an1
a1
1 an
(n 1, 2, 3,)．
解 (2)
设
lim
n
an
a，
则对
an1
a1
1 an
两边取极限，
得
a
a1
1， a
即
a 2 a1a 1 0，
解得 a a1 a12 4 ， 2
由于
an 0， 所以
lim
n
an
a1
a12 4 ． 2
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注意 上述解法的前提是： 数列的极限一定存在． 否则导致错误．
A an1 an , n N
则极限
lim
n
a
n
存在
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例1 证明重要极限:
lim (1 1 )n e n n
解
设
xn
(1
1 )n n
,
则
xn
1
n 1!
1 n
n(n 1) 2!
( 1 )2 n
n(n
1)(n 3!
2) ( 1 )3 n
n(n 1)(n 2)(n n 1) ( 1 )n
n!
n
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 2! n 3! n n
1
(1
1 )(1
2 )(1
n 1 )
n! n n
n
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1
11
1
2
xn1
11
(1 2!
n
) 1
(1 3!
n
)(1 1
n
) 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
an1 3an 9 3
所以 {an } 有界．
又因 an1 3an
an
an
3 1， 即 an
an1 an．
说明 {an } 单调上升数列．从而 {an } 收敛．
记 lim an a， 则有
n
a 3a ， 即 a2 3a， 得 a 0 或 a 3．
因为
an 0，
所以
lim
n
an
3．
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)．
9
在某些情况下，数列的 通项可以由递推关系给 出． 例如 an1 f (an )． 此时，若 f 是连续函数，
{an } 收敛且极限为 a，则 a 应满足： a f (a) 由此求出 {an }的极限 a．其中 a 也称为函数 f ( x) 的不动点， 即方程 f ( x) x 的根．