弹性力学试卷试题含标准答案.doc

仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√）
三、分析计算题
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）
5、如果某一问题中，
z
zx
zy
0，只存在平面应力分量
x，y，xy，且它们不沿z方向变
化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。 （√）
6、如果某一问题中，
z
zx
zy
0，只存在平面应变分量
x，y，xy，且它们不沿z方向变化，
Cxy；
（3）
x
0，y
0
，xyCxy；
其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
222
xyxy
y2x2x y
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）2A 2By
C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：
B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：
(xy)x 0C0
右边，x b，l 1，m 0，沿y方向的面力为q，所以有
(xy)x b3Ab22Bb q
上边，y 0，l0，m1，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩
均为零，即
b
0
将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有
(xy)y 0dx 0
b
2
2Bx)dx
Ax3
Bx2
0b
Ab3Bb2
A
A
xV
，yx
y
x
同样，将第二个方程改写为
yVyx（1分）
yx
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
B
B
y
V
，yx
x
y
由此得
AB
xy
因而又一定存在某一函数x, y，使得
A，B
yx
代入以上各式，得应力分量
2
2
2
x
y2V，y
x2
V，xy
x y
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数
x, y必须满足一定的方程，将上述应力
力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足
A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量xQxy2C1x3，y32C2xy2，xyC2y3C3x2y，体力不计，Q为常数。
试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
MPa，2-2052 MPa，1-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界
条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步
骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其
他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点
0
( 3Ax
0
b
xy)y 00dx 0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求
而
(
y在这部分边界上
0
合成的主矢量和主矩均为零，即
b
y)y 0dx
b
y)y 0xdx 0
(
0，
(
0
0
将y的表达式代入，则有
b
2E) dx
3Dx2
2Ex0b
3Db2
2Eb
0
( 6Dx
0
b
2E) xdx
2Dx3
Ex2
解：将已知应力分量
可知，已知应力分量
x
x
q，
y
q，xy
0
，代入平衡微分方程
x
yx
X 0
x
y
y
xy
y
Y 0
x
q，
y
q，xy
0
一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才
满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
2
2
2
2(
y)
2(y
x) 2(1
)
xy
y
x
x
x y
将已知应力分量
x
q，
y
q，
xy
0代入上式，可知满足相容方程。
l2b
，fy
(xy)l0；
，
2
2
2
x
x
右边，x
l
，l
1，m 0，fx
(
x)
l
2b，fy
(xy)
l
0。
2
x
2
2
x
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数
by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。
6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a 0）。
h/2
O
x
h/2
l/2l/2
y
解：将应力函数axy代入相容方程
4
4
4
x
4
2
x
2
y
2
y
4
0
可知，所给应力函数axy能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
2
2
2
x
y20，y
x20，xy
x y
a
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，y
h
0，m 1，fx
4、物体受外力以后， 其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，
是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量
纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
；
（1）在区域内的平衡微分方程
y
xy
0
y
x
2
2
（2） 在 区 域 内 的 相 容 方 程
y2
x
y0；（3） 在 边 界 上 的 应 力 边 界 条 件
x2
lxmyxsmylxys
f
f
x
y
s
；（4）对于多连体的位移单值条件。
s
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应
y
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
yd4f1( x) d4f2( x)0
dx4
dx4
这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的
y值都应该满足它） ，可见它的系数
和自由项都应该等于零，即
d4f1(x)0，
d4f2( x)
0
dx4
dx4
这两个方程要求
f1(x) Ax3Bx2Cx I，
按应力求解平面应变问题的相容方程：
2
2
2
2
xy
y2(x
y)
x2(y
x)
1
1
1
x y
将已知应力分量
x
q，
y
q，
xy
0
代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1）
x
Axy，
y
By3，xyC
Dy2；
（2）
x
Ay2，
y
Bx2y，xy
C=0，则
x0，
y0，xy
0（1分）。
5、证明应力函数
by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题
（体力不计，b
0）。
h/2
xFra Baidu bibliotek
O
h/2
l/2
l/2
y
解：将应力函数by2代入相容方程
4
4
4
x4
2
x2y2
y40
可知，所给应力函数by2能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
0b
2Db3
Eb2
0
(6Dx
0
由此可得
A
应力分量为
x0,
q
q
b
2，B
，C 0，D 0，E 0
b
y
2qy1 3x
gy,
xy
qx3x
2
b
b
b b
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一
结果应是适用的。
8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
2
2
2
x
y22b，y
x20，xy
x y
0
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，y
h
0，m
1，fx(xy)
0，fy
(y)h0；
，l
h
2
y
2
2
y
下边，y
h
，l
0，m 1
，fx
(
xy)
h
0，fy(
y)
h
0；
2
y
2
y
2
左边，x
l
l
1，m
0，
fx
(
x)
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，
并考虑下列平面问题的应力分量是否
可能在弹性体中存在。
（1）
x
Ax
By，
y
Cx
Dy，xyEx
Fy；
（
）
x
(
2
y
2)
，
y
B( x
2
2
)，
xyCxy；
2
A x
y
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
x
yx
0
x
y
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：
(
xy)
a，fy
(
y)h
0；
，l
h
2
2
2
y
y
下边，y
h，l
0，m 1，fx(
xy)
h
a，fy(
y)
h
0；
2
y
2
y
2
左边，x
l
1，m 0，fx
(
x)
0，fy
(
xy)
a；
，l
l
l
2
2
2
x
x
右边，x
l
，l
1，m 0，fx(
x)
l
0，fy(xy)
l
a。
2
x
2
2
x
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均
x2
简写为
4
1 22V
1
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。
fx
V
，
x
V
2
2
fy
V，y
V，
，其中V是势函数， 则应力分量亦可用应力函数表示为，
x
y
2
2
y
x
2
xy
，试导出相应的相容方程。
x y
证明 ：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量
x，
y，xy应当满足平
衡微分方程
x
yx
V0
x
y
x
分）
（1
y
xy
V
y
x
0
y
还应满足相容方程
2
2
x2
y2
x
y
不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应
当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻
单元的位移保持连续， 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时， 也能在整个公共边界上具有相同的位移。
f2( x) Dx3Ex2Jx K
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
y( Ax3
Bx2Cx)
Dx3
Ex2
对应应力分量为
2
x
y20
2
y
2
y( 6Ax
2B)
6Dx
2E
gy
x
2
xy
3Ax22Bx C
x y
以上常数可以根据边界条件确定。
左边，x 0，l1，m 0，沿y方向无面力，所以有
2
2
x2
y2
x
y
1
fx
fy
（对于平面应力问题）
x
y
1
fx
fy
（对于平面应变问题）
1
x
y
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
V
yx
x
0
x
y
V
xy
y
0
y
x
这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为
xVyx
xy
根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O
x解 ：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设
b
x0。由此可知
g
q
2
20
x
y
将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式
x, y
f1( x) y f2( x)
19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题 （请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
7、已知一点处的应力分量x100MPa，y50MPa，xy10 50MPa，则主应力1150MPa，
20MPa，135 16。
8、已知一点处的应力分量，x200MPa，y0MPa，xy400MPa，则主应力1512 MPa，
2-312 MPa，1-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y1000MPa，xy400MPa，则主应力11052
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
x
yx
0
x
y
y
xy0
y
x
得
Qy23C1x23C2y2C3x20
3C2xy 2C3xy 0
即
22
3C1C3xQ 3C2y0
由x，y的任意性，得
3C1C30
Q 3C20
3C2
2C3
0
Q
Q
Q
由此解得，
C1
，C2
，C3
6
3
2
3、已知应力分量
xq，
yq，xy
0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
分量代入平面应力问题的相容方程，得
2
2
2
2
2
2
x
2
y
2
y
2
V
x
2V
1
x
2
y
2
V
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2
y
2
y
2
x
2
2
x
2
y
2V 1
x
2
y
2V
简写为
4(1 )2V
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
2
2
2
2
1
2
2
2V
V
x
2
y
2
y
x
2
V
x
2
y
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
y2V
y2V
x2
y2
y2
x2
x2
1