弹性力学试卷试题含标准答案.doc

MPa，2-2052 MPa，1-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界
条件和混合边界条件。
f2( x) Dx3Ex2Jx K
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
y( Ax3
Bx2Cx)
Dx3
Ex2
对应应力分量为
2
x
y20
2
y
2
y( 6Ax
2B)
6Dx
2E
gy
x
2
xy
3Ax22Bx C
x y
以上常数可以根据边界条件确定。
左边，x 0，l1，m 0，沿y方向无面力，所以有
按应力求解平面应变问题的相容方程：
2
2
2
2
xy
y2(x
y)
x2(y
x)
1
1
1
x y
将已知应力分量
x
q，
y
q，
xy
0
代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1）
x
Axy，
y
By3，xyC
Dy2；
（2）
x
Ay2，
y
Bx2y，xy
19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题 （请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足
A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量xQxy2C1x3，y32C2xy2，xyC2y3C3x2y，体力不计，Q为常数。
试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
x
yx
0
x
y
y
xy0
y
x
得
Qy23C1x23C2y2C3x20
3C2xy 2C3xy 0
即
22
3C1C3xQ 3C2y0
由x，y的任意性，得
3C1C30
Q 3C20
3C2
2C3
0
Q
Q
Q
由此解得，
C1
，C2
，C3
6
3
2
3、已知应力分量
xq，
yq，xy
0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
0
( 3Ax
0
b
xy)y 00dx 0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求
而
(
y在这部分边界上
0
合成的主矢量和主矩均为零，即
b
y)y 0dx
b
y)y 0xdx 0
(
0，
(
0
0
将y的表达式代入，则有
b
2E) dx
3Dx2
2Ex0b
3Db2
2Eb
0
( 6Dx
0
b
2E) xdx
2Dx3
Ex2
Cxy；
（3）
x
0，y
0
，xyCxy；
其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
222
xyxy
y2x2x y
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）2A 2By
C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：
B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：
2
2
x2
y2
x
y
1
fx
fy
（对于平面应力问题）
x
y
1
fx
fy
（对于平面应变问题）
1
x
y
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
V
yx
x
0
x
y
V
xy
y
0
y
x
这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为
xVyx
xy
根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）
5、如果某一问题中，
z
zx
zy
0，只存在平面应力分量
x，y，xy，且它们不沿z方向变
化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。 （√）
6、如果某一问题中，
z
zx
zy
0，只存在平面应变分量
x，y，xy，且它们不沿z方向变化，
4、物体受外力以后， 其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，
是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量
纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
0b
2Db3
Eb2
0
(6Dx
0
由此可得
A
应力分量为
x0,
q
q
b
2，B
，C 0，D 0，E 0
b
y
2qy1 3x
gy,
xy
qx3x
2
b
b
b b
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一
结果应是适用的。
8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
解：将已知应力分量
可知，已知应力分量
x
x
q，
y
q，xy
0
，代入平衡微分方程
x
yx
X 0
x
y
y
xy
y
Y 0
x
q，
y
q，xy
0
一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才
满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
2
2
2
2(
y)
2(y
x) 2(1
)
xy
y
x
x
x y
将已知应力分量
x
q，
y
q，
xy
0代入上式，可知满足相容方程。
7、已知一点处的应力分量x100MPa，y50MPa，xy10 50MPa，则主应力1150MPa，
20MPa，135 16。
8、已知一点处的应力分量，x200MPa，y0MPa，xy400MPa，则主应力1512 MPa，
2-312 MPa，1-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y1000பைடு நூலகம்Pa，xy400MPa，则主应力11052
A
A
xV
，yx
y
x
同样，将第二个方程改写为
yVyx（1分）
yx
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
B
B
y
V
，yx
x
y
由此得
AB
xy
因而又一定存在某一函数x, y，使得
A，B
yx
代入以上各式，得应力分量
2
2
2
x
y2V，y
x2
V，xy
x y
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数
x, y必须满足一定的方程，将上述应力
h/2
O
x
h/2
l/2l/2
y
解：将应力函数axy代入相容方程
4
4
4
x
4
2
x
2
y
2
y
4
0
可知，所给应力函数axy能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
2
2
2
x
y20，y
x20，xy
x y
a
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，y
h
0，m 1，fx
；
（1）在区域内的平衡微分方程
y
xy
0
y
x
2
2
（2） 在 区 域 内 的 相 容 方 程
y2
x
y0；（3） 在 边 界 上 的 应 力 边 界 条 件
x2
lxmyxsmylxys
f
f
x
y
s
；（4）对于多连体的位移单值条件。
s
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应
(xy)x 0C0
右边，x b，l 1，m 0，沿y方向的面力为q，所以有
(xy)x b3Ab22Bb q
上边，y 0，l0，m1，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩
均为零，即
b