2020年中考数学试题分类汇编之十五 新概念规律类题

2020年中考数学试题分类汇编之十五
新概念新规律题
一、选择题
7.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】A
【详解】解：根据定义得：2
110,x x x =--=☆
1,1,1,a b c ==-=-
()()2
2414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0,
∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选.A
10.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）
A. 160
B. 128
C. 80
D. 48
解：由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为5420⨯=（个） 则20480n =⨯= 故选：C ．
③
②①4.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A. 10
B. 15
C. 18
D. 21
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……
∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B ．
8.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A.18
B. 19
C.20
D.21 答案C.
9．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：2
1
a b a b
=-⊗，这里等式右边是实数运算．例如：2
11
13138
=
=--⊗．则方程2
(2)14
x x -=
--⊗的解是( ) A ．
4x = B ．5x = C ．6x = D ．7x =
【解答】解：根据题意，得12
144
x x =---， 去分母得：12(4)x =--， 解得：5x =，
经检验5x =是分式方程的解．
故选：B ．
8．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A ．C 、E
B ．E 、F
C ．G 、C 、E
D ．
E 、C 、F
【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =1
2
k （k +1），应停在第1
2
k （k +1）﹣7p
格，
这时P 是整数，且使0≤12
k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，
12
k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k ≤2020，
设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，1
2k （k +1）﹣7p ＝7m +1
2
t （t +1），
由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．
7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）
A ．（√2）n
B ．（√2）n ﹣
1
C ．（
√22
）n
D ．（
√22
）n ﹣1
【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1， ∴OA 2=√2；
∵△OA 2A 3为等腰直角三角形， ∴OA 3＝2=(√2)2；
∵△OA 3A 4为等腰直角三角形， ∴OA 4＝2√2=(√2)3． ∵△OA 4A 5为等腰直角三角形， ∴OA 5＝4=(√2)4， ……
∴OA n 的长度为（√2）n ﹣
1．
故选：B ．
12．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a ，﹣2a ，4a ，﹣8a ，16a ，﹣32a ，…，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣2）n ﹣
1a
B ．（﹣2）n a
C ．2n ﹣1a
D ．2n a
解：∵a ＝（﹣2）1﹣
1a ， ﹣2a ＝（﹣2）2﹣
1a ，
4a ＝（﹣2）3﹣
1a ，
﹣8a ＝（﹣2）4﹣
1a ，
16a ＝（﹣2）5﹣
1a ，
﹣32a ＝（﹣2）6﹣
1a ，
…
由上规律可知，第n 个单项式为：（﹣2）n ﹣
1a ． 选：A ．
二、填空题
9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和
我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．
【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为25
17．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：当x ＝625时，1
5x ＝125，
当x ＝125时，1
5
x ＝25，
当x ＝25时，1
5
x ＝5，
当x ＝5时，1
5
x ＝1，
当x ＝1时，x +4＝5， 当x ＝5时，1
5x ＝1，
…
依此类推，以5，1循环， （2020﹣2）÷2＝1010， 即输出的结果是1， 故答案为：1
19．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．
【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
17．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．
【解答】解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积=1
2
×2×2=2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为
√2
=2√2，
∴第2个等腰直角三角形的面积=1
2
×2√2×2√2=4＝22，
∵A4（10，4√2），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=1
2×4×4=8＝23， …
则第2020个等腰直角三角形的面积是22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．
17. (2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________. 答案：2032
18．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为
．（用含正整数n 的式子表示）
解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2， ∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1， ∵点F 2是CF 1的中点， ∴△EF 1F 2的面积等于， 同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为
，
∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，
∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．
故答案为：．
15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．
解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×
＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五、六、日． 故答案为：112；五、六、日．
20．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．
解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====，
1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，
1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，
222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，
同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，
⋯
由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，
∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．
故答案为：2020(231⨯-，20203)．
15．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19⋯按此规律排列，第7个数是(
) A ．37 B ．41 C ．55 D ．71
解：1121=⨯-， 5231=⨯-， 11341=⨯-， 19451=⨯-，
⋯
第n 个数为(1)1n n +-， 则第7个数是：55． 故选：C ．
15．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下
列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”
的个数为a3，…，以此类推，若2
a1+
2
a2
+
2
a3
+⋯+
2
a n
=
n
2020
．（n为正整数），则n
的值为4039．
【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），
∵2
a1+
2
a2
+
2
a3
+⋯+
2
a n
=
n
2020
，
∴2
1×2+
2
2×3
+
2
3×4
+⋯+
2
n(n+1)
=
n
2020
，
∴2×（1−1
2
+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n
2020，
∴2×（1−
1
n+1）=
n
2020，
1−
1
n+1
=n
4040，解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解，
故答案为：4039．
16．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．
解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），
往后每排增加两个座位，
所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，
所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，
以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，
所以后区的座位数为：10×34＝340，
所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．
16．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．
【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．
【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1=1
2A2B2，∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22•A 1B 1，…， 由此规律可得A 20B 20＝219•A 1B 1，
∵A 1B 1＝OA 1•tan30°=√3×√3
3=1， ∴A 20B 20＝219， 故答案为219．
12．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有 （3n +1） 个三角形（用含n 的代数式表示）．
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示． 解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1 …
按此规律摆下去，
第n 个图案有（3n +1）个三角形． 故答案为：（3n +1）．
17.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.
答案：64（或6
2）
18．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =k
x 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…
的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．
【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，
∴当y＝0时，x=√3
3b，即点D的坐标为（
√3
3
b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=−√3
3b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OA
OD
=√3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=−√3x+b与双曲线y=k
x在第三象限交于B、C两点，
∴−√3x+b=k x，
整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=√3
3k，即EB•FC=√3
3k，
∵EB
AB
=cos60°=12，∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√3
3k＝16，
解得：k＝4√3．
由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，√3n），
∵（4+n）•√3n＝4√3，
解得n＝2√2−2，
∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，
设D3（4√2+a，√3a），
由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，
解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，
…，
∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，
∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，
故答案为4√3，60．
16．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一
边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3
x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．
解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥
x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C=√3OC，
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），
把B1（t，√3t）代入y=√3
x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OA1＝2OC＝2，
∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），
把B2（2+m，√3m）代入y=√3
x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），
∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，
∴A2（2√2，0）
设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），
把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3
x得（2√2+n）•√3n=√3，
∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，
∴A3（2√3，0），
综上可得：A n（2√n，0），
故答案为：(2√n，0)．
11．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．
解：12⊕4＝＝．故答案为：．
12．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1． 请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．
用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ． 解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．
第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．
故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1． 19．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =
，235a =，3107a =，4159a =，526
11
a =，
⋯，根据其中的规律可得n a =
21
(1)21n n n ++-+ （用含n 的式子表示）． 【解答】解：由分析可得21
(1)21
n n n a n ++-=+．
故答案为：21
(1)21
n n n ++-+．
18．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．
解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=1
2n （n +1）， 则a 4+a 200=
12×4×（4+1）+1
2
×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．
16．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．
解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，
第2个图中菱形的个数5＝22+12，
第3个图中菱形的个数13＝32+22，
第4个图中菱形的个数25＝42+32，
∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，
第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1，
故答案为：41，2n2﹣2n+1．
三、解答题
28.（2020北京）在平面直角坐标系中，①O的半径为1，A，B为①O外两点，AB=1.给出如下定义：平移线段AB，得到①O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到①O的“平移距离”.
（1）如图，平移线段AB到①O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到①O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到①O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到①O的“平移距离”为，直接写出的取值范围.
【解析】（1）平行；P3.
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD ∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与轴交点为（-2,0），直线与轴夹角为60°，∴.
由垂径定理得：
∴
（3）如图，线段AB的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在①O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为.
如图，平移距离的最小值即点A到①O的最小值：
平移距离的最大值即点A到①O的最大值：
∴的取值范围为：
17．（2020安徽）（8分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：．
第5个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：；
（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）第6个等式：；
（2）猜想的第个等式：．
证明：左边右边，
等式成立．
故答案为：；．
24.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”
①2y x =（ ） ①m
y (m 0)x
=
≠（ ） ①31y x =-（ ） （2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()2
0y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且
该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；
（3）若关于x 的“H 函数” 2
23y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：
①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜27． 解：（1）①2y x =是 “H 函数”①m
y (m 0)x
=≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”； 故答案为：√；√；×； （2）①A,B 是“H 点” ①A,B 关于原点对称， ①m=4,n=1
①A(1,4），B （-1，-4） 代入
得4
4
a b c a b c ++=⎧⎨
-+=-⎩ 解得4
0b a c =⎧⎨
+=⎩
又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，
①-2b
a ＞2 ①-42a
＞2 ①-1＜a ＜0 ①a+c=0 ①0＜c ＜0，
的
综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；
（3）①2
23y ax bx c =++是“H 函数”
①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,
代入得22
2323ap bp c q
ap bp c q ⎧++=⎨-+=-⎩
解得ap 2+3c=0,2bp=q ①p 2＞0 ①a,c 异号， ①ac ＜0 ①a+b+c=0 ①b=-a -c ，
①(2)(23)0c b a c b a +-++< ①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+< ①c 2＜4a 2
①2
2c a
＜4 ①-2＜
c a ＜2 ①-2＜c a ＜0
设t=c
a
，则-2＜t ＜0
设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根
①12x x -=
= 又①-2＜t ＜0
①2＜12x x -＜．
23.（2020山东青岛）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． 探究三：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果． 解：探究一：
（3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种． 探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种， （2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种， 从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n - 所以一共有()336138n n --+=-种， 探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这4个整数之和一共有5种，
从1，
2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,， 所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数， 这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -， 所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果． 归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．
探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，
探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果． 从而可得：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有(
)
2
1an a -+种不同的结果． 问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数）， 一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490， 共有490151476-+=种不同的优惠金额． 拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有(
)
2
1an a -+种不同的结果．
∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=
236203,a a ∴-=-
()2
18121,a ∴-=
1811a ∴-=或1811,a -=- 29a ∴=或7.a =
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取
()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个
整数中任取()11a a n <<+个整数，
所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()2
11a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果．
21．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．
（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．
（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3， ∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0， ∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，
∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；
（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，
∴{m −1=−n n −3=0， 解得：{m =−2
n =3
，
∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6， ∴点C 的坐标为（0，﹣6）． 当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，
∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）． ∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1， ∴A 1（﹣1，0），B 1（3，0），C 1（0，6）．
设过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）， 将C 1（0，6）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3），得：6＝﹣3a ， 解得：a ＝﹣2，
过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝﹣2（x +1）（x ﹣3），即y ＝﹣2x 2+4x +6． ∵y ＝2（x ﹣1）（x +3）＝2x 2+4x ﹣6，
∴a 1＝2，b 1＝4，c 1＝﹣6，a 2＝﹣2，b 2＝4，c 2＝6， ∴a 1+a 2＝2+（﹣2）＝0，b 1＝b 2＝4，c 1+c 2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”． 21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24， ∴1
2AC •BD ＝24，
解得，AC ＝BD ＝4√3， 又∵∠BCD ＝60°， ∴∠DOE ＝60°，
设半径为r ，根据垂径定理可得： 在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3， ∴r =
DE sin60°
=√3
√32
=4， ∴⊙O 的半径为4．
24．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ． （2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD
̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径． ①求∠AED 的度数；
②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积．
【解答】解：（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ， ∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBD =1
2（∠ACD ﹣∠ABC ）=1
2∠A =1
2α， （2）如图1，延长BC 到点T ，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
̂=BD̂，
∵AD
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠F AD，
∴∠BEC＝∠F AD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠F AC＝∠EBC=1
2∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠F AC，∵∠FED＝∠F AD，
∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，
∴∠AEG ＝∠CAD ，
∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，
∴△EGA ∽△ADC ，
∴AE AC =AG CD ，
∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，
在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，
∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，
∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，
∴x =53，
∴ED ＝AD =203，
∴CE ＝CD +DE =353，
∵∠BEC ＝∠FCE ，
∴FC ＝FE ，
∵FM ⊥CE ，
∴EM =12CE =356
， ∴DM ＝DE ﹣EM =56，
∵∠FDM ＝45°，
∴FM ＝DM =56
，
∴S △DEF =12DE •FM =259．
25．（2020•株洲）如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y =k x （k ＞0）的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE ＝1．
（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；
（2）若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE ≌△BOF ；
②把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|称为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点间的“ZJ 距离”，记为d （M ，N ），求d （A ，C ）+d （A ，B ）的值．
【解答】解：（1）∵点E 为线段OC 的中点，OC ＝5，
∴OE =12OC =52，即：E 点坐标为(0，52)，
又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，
∴A(1，52)，
∴k =1×52=52． （2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，
∴∠AOE +∠FOB ＝90°，
又∵BF ⊥y 轴，
∴∠FBO +∠FOB ＝90°，
∴∠AOE ＝∠FBO ，
在△OAE 和△BOF 中，
{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO ，
∴△OAE ≌△BOF （AAS ），
②解：设点A 坐标为（1，m ），
∵△OAE ≌△BOF ，
∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，
∴B （m ，﹣1），
设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：
则{k +5=m km +5=−1
． 解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3
． 当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；
∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，
当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．。