您的位置：360文档中心› 平面向量及其应用经典例题doc

平面向量及其应用经典例题doc

合集下载

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解（理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a= （2,1）,b= ( —1, 2)，且m= ta+ b, n= a —kb(t、k€ R)，则、选择题1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=—12,则向量a在向量b方向上的投影是（A. —4B. 4［答案］Aa -b —12［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4.1 b| 3（理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1, 与b的夹角等于（）2n 或"a［答案］B［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4| b| , |a| ,,|b| = 2,••• cos 〈a,b>= a• b=丄=1|a| •I b| 4x2 2'2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果a L b,那么实数x等于（）9A.— 2 D. 2［答案］C［解析］由条件知| = | e2| = 1, e1 • e2= 0,•- a • b= 3x + 6= 0,二x=—2.m L n的充要条件是（）A. t + k = 1.t • k= 1［答案］D［解析］ m= ta+ b= (2 t —1, t + 2) , n= a—kb= (2 + k, 1 —2k),•/ rnL n,「. m- n= (2t —1)(2 + k) + (t + 2)(1 —2k) = 5t —5k= 0,「. t —k= 0.3.(文)(2010 •湖南理)在Rt△ ABC中，/ C= 90,AC= 4,^UAC等于( )A. —16D . 16［答案］D［解析］因为/ C= 90°,所以A C- CB= 0，所以AB- A C=(心C B • AC= | AC|2+ A C- CB= AC= 16.A . 2 3 ［答案］D［解析］•/Xo= XB+ BC= XB+3BD,-> -> -> -------- > -> -> -> ------- > -> ••• AC - AD= (AB+ 3BD ) - AD= AB- AM 3BD- AD 又••• AB! AD • A B- AD= 0 ,•- AC- AD= i /3BD- AD=-」'3| BD •丨 AD | - cos / ADB= J 3| BD ■ cos / ADB=—；3 ・| AD = J 3.4. (2010 •湖南省湘潭市)设非零向量a 、b 、c 满足| a | = | b | = | c | , a + b = 6则〈a , b 〉=( )A . 150° B. 120° C . 60° D. 30°［答案］B［解析］ T a + b = c , | a | = | b | = | c | 丰0,2 2 2 2• |a + b | = |c | = | a | , • |b | + 2a - b = 0,2• | b | + 2| a | -| b | - cos < a , b >= 0, •- cos < a , b >=— q ,•/ < a , b 〉€ ［0 ° , 180° ］ ,•••〈 a , b >= 120°.5. （2010 •四川双流县质检）已知点P 在直线AB 上，点O 不在直线 AB 上，且存在实数t 满足O P= 2tPA +2t tT p 在直线 AB 上，• 2t + 1 + 2t + 1 = 1,A t = 1,S 2S 1 S• OP= ; OA^ - OB3 3-S -S -S 1 -S 1 -S••• PA= OA - OP= ;OA- Z OB33_S _S _S 2_S 2_S _SP B = OB- OP= 3OB- Z OA=— 2P A• L PA.=1 i PB 21 2S 2S 2SD. 3［答案］［解析］ •/ S P = 2t (d A — S P +tOB,|PB［答案］D［解析］•/ MA- MB= 0 ,••• MAL 尬B 又•/ | M A 2 + | ME B 2= 4, ••• | AB = 2,且M 在以AB 为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系,y ），则 x 2+ y 2= 1,M A = ( - 1 -x ,- y ),(1 -x ,- y ),T — 2T1••• MC= 3MA- §MB= 3-x , - y ,T 212 210 2•-1 M C = 3- x + y =百-g x ,_T16•.• - 1 < x w 1 ,• x =- 1时，| M©取得最大值为 —, • I MC 的最大值是|.(理)(2010 •山东日照)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，贝U A N- AM 勺最大值为（ )A . 8 B. 6C . 5 D. 4［答案］ B［解析］建立直角坐标系如图，•••正方形ABCD 边长为2,• A (0,0) ,N2 , - 1) , AN= (2 , - 1),设M 坐标为（x , y ）, AM = （x , y ）由坐标系可知0wx W2①-2w y w 0 ②•/ X N- AM= 2x - y ，设 2x - y = z ,易知，当x = 2, y =-2时，z 取最大值6, • X N- AM 勺最大值为6,故选B . 7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为O AB= 2, AC= 3, BC= .7,则A O- BC 等于( )C. 2D. 3［答案］B［解析］A O- B C = AO ・(AC — Ab = A O- AC - Ab- AB 因为 OA= OB 所以 At 在ABh 的投影为 1| XB ，所以XO- X B=扌| AB •)A B = 2,同理 AO- AC= #| AC -| A C = 2 故 AO > B C = 9-2=|.值是（）B. 1则点 A ( - 1,0)，点 B (1,0),设点 Mx ,8. （文）已知向量a、b满足|a| = 2, | b| = 3, a・（b—a）= - 1，则向量a与向量b的夹角为（）［答案］C［答案］A［解析］ 设〈A B EBO = a ,^ AB- EBC= |AB •) B C Jcos a , S = 7|AB • BCC • sin( n — a ) = 7| X B •)E3C3 3由条件知cot a <8 8—X —XnnT AB- BO 。

【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用

【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用

专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。

检测(一) 平面向量及其应用(A、B卷)

检测(一) 平面向量及其应用(A、B卷)

检测（一） 平面向量及其应用（A 、B 卷）A 卷——学业水平考试达标练(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是( ) A.AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B.AB →－AC →＝BC →C ．0·AB →＝0D ．λ(μ a )＝(λμ)a解析：选B AB →－AC →＝CB →＝－BC →，故B 不正确．2．设e 1，e 2为基底向量，已知向量AB →＝e 1－ke 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A 易知DB →＝CB →－CD →＝－e 1＋2e 2＝－(e 1－2e 2)， 又A ，B ，D 三点共线，则DB →∥AB →，则k ＝2，故选A.3．已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( ) A ．B (5，－5)，M (0,0) B ．B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 C ．B (1,1)，M (0,0)D ．B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4解析：选B OB →＝OA →＋AB →＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，AB 中点M ⎝⎛⎭⎫72，－4. 4．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：选B 由正弦定理，得a b ＝sin Asin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32， 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5.6．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b c ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝6.7．已知向量b 与单位向量a 满足|a ＋3b |＝2，a ⊥(a ＋b )，则|b |＝( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．1解析：选D 因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝0， 因为|a |＝1，所以a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝0， 所以a ·b ＝－1.又|a ＋3b |＝2，所以a 2＋9b 2＋6a ·b ＝4， 所以1＋9b 2－6＝4，所以|b |＝1，故选D.8．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC →|＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R)，则λ的值为( ) A ．1 B.13 C.12D.23解析：选D 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由|OC →|＝22，且∠AOC ＝π4，得|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 答案：710．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 311．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________．解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0， 即3a 2－a ·b －2b 2＝0.∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，则3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π412．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的值为________． 解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →. (1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )，(1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3. (2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)， 又AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1. 14．(10分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)求a ·b ，|a ＋b |；(2)求a 与b 的夹角的余弦值．解：(1)因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，所以a ＝3e 1－2e 2＝(3，－2)，b ＝4e 1＋e 2＝(4,1)， 所以a ·b ＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10， a ＋b ＝(7，－1)，所以|a ＋b |＝72＋(－1)2＝5 2.(2)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1013×17＝10221221.15．(10分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.16.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40，所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AB ·AP ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝⎛⎭⎫－12＝402×3， 所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝60×43＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200，所以PC ＝407 海里．B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.又∵α为锐角，∴α＝30°.2．在△ABC 中，若A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：选C ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，∴四边形ABCD 为梯形． 4．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(ka －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3D ．－3解析：选B 由题意，得(2a ＋3b )·(ka －4b )＝2ka 2＋(3k －8)a ·b －12b 2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.6．设a ，b ，c 都是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于( ) A.π3 B.π6 C.π4D.π2解析：选A 由a ＝b ＋c ，可知c ＝a －b ，故c 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝12，设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝12，又0≤θ≤π，∴θ＝π3.7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析：选A 由AB →·BC →＝1可得2|BC →|cos(180°－B )＝1，即2|BC →|cos B ＝－1， 由余弦定理可得32＝BC 2＋22－2×2BC cos B ，把2BC cos B ＝－1代入，得9＝BC 2＋4＋2，解得BC ＝ 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．9．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6解析：选C 如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34AD →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14AD → ＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD → ＝13×36－316×16＝9.10.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ×32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin A ＝ABsin C .∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ×223＝66.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________．解析：由正弦定理，得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2，又底边BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20，∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5012．已知单位向量e 满足|a －e |＝|a ＋2e |，则向量a 在e 方向上的投影向量为________． 解析：由|a －e |＝|a ＋2e |得(a －e )2＝(a ＋2e )2，于是|a |2－2a ·e ＋1＝|a |2＋4a ·e ＋4， 解得a ·e ＝－12，于是向量a 在e 方向上的投影为a ·e |e |e ＝－12e .答案：－12e13．在矩形ABCD 中，AE →＝12AB →，BF →＝12BC →，设AB →＝(a,0)，AD →＝(0，b )，当EF →⊥DE→时，求得|a ||b |的值为________．解析：如图，EF →＝EB →＋BF →＝12AB →＋12AD → ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0＋⎝⎛⎭⎫0，b 2＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋12AB →＝(0，－b )＋⎝⎛⎭⎫a 2，0＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b ， ∵EF →⊥DE →，∴a 24－b 22＝0，∴|a ||b |＝ 2.答案： 214．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠ACB ＝75°－15°＝60°，AB ＝1(km)． 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°×sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ×sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：36三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标；(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ. 解：(1)设b ＝(x ，y )，因为a ∥b ，所以y ＝2x .① 又因为|b |＝25，所以x 2＋y 2＝20.②由①②联立，解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，得(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0， 由|a |＝5，|c |＝10，解得a ·c ＝5，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝22，θ∈[0，π]，所以a 与c 的夹角θ＝π4.16．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b cos 2A 2＝2b ＋32a sinB .(1)求cos A ；(2)若a ＝25，c ＝5，求b .解：(1)由题意知4b cos 2A 2＝2b ＋32a sin B ，化简得4b cos A ＝3a sin B ，由正弦定理得4sin B cos A ＝3sin A sin B ， 因为sin B ≠0，所以tan A ＝43，且A 为△ABC 的内角，即cos A ＝35.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以20＝b 2＋25－6b ，所以b 2－6b ＋5＝0，所以b ＝1或5.17．(10分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n 的坐标；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．解：(1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．(2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)，n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1)2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ).∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2. 故|n ＋b |的取值范围为[0,2]．18．(10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3.(1)求角C ；(2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B . 由于sin B ＝32≠0，则sin C ＝12. 又因为0<C <π3，所以C ＝π6. 法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又因为0<C <π3，所以C ＝π6. 法三：由题设2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合射影定理b ＝a cos C ＋c cos A ，化简可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又因为0<C <π3，所以C ＝π6. (2)法一：由正弦定理易知b sin B ＝c sin C ＝23， 解得b ＝3.又因为AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为B ＝2π3，C ＝π6，所以A ＝π6， 所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2. 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝3＋4－2×3×2×32＝1，所以BE ＝1.法二：在△ABC 中，因为B ＝2π3，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×cos 2π3＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1， 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，EC ＝1， 由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1， 所以BE ＝1. 法三：在△ABC 中，因为B ＝2π3，C ＝π6，所以A ＝π6， a ＝c ＝ 3.因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19⎝⎛⎭⎫3－4×3×3×12＋4×3＝1， 所以BE ＝1.19．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取得最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k. ∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k＝8，此时θ＝π6，t＝8，则OC→＝(4,8)．∴OA→·OC→＝(8,0)·(4,8)＝32.。

高中数学必修四第二章平面向量经典100道例题

高中数学必修四第二章平面向量经典100道例题

第二章 平面向量1.设向量a →的始点坐标为（3，1），终点坐标为(-1,-3),则向量a →的坐标为( ) A. (-1,-3) B. (4,4)C. (-4,-2)D.(-4,-4)2.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3)AB AC ==， 则=（ ） A.)4,2( B.)5,3( C.)5,3(-- D.)4,2(--3.已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A. 4- B. 4 C. 2- D.24.如图，F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+( )A. ADB.21C.21D. 5.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e eC. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e6.等边ABC ∆的边长为1,设===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （ ）A ．23 B ．21 C ．23- D ．21- 7.已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ．D ．8.在△ABC 中，6AB O =,为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．18 C ．12 D ．6 9.已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确的是（ ）A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．a b= D ．a b a b +=-10.已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,011.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )． A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛43-21，12. 如图，在平行四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，P 为边BC 的中点，则AP = A ． 2b a +B ． 2b a - C ．2a b + D ． 2a b - 13.如图, ABC ∆中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线， 它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是 ( ) A.23BG BE = B. 12DG AG =；C. 121332DA FC BC += D. 2CG FG =-14.已知ABC ∆及所在平面一点P ，符合条件:→→=PC BP ，且=⋅→→AB AP →→⋅AC AP ，则A B C ∆的形状为（ ）A. 正ABC ∆B.等腰ABC ∆C.直角ABC ∆D. 等腰直角ABC ∆15.若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是（ ） A ．23B ．3C ．23D ．21 16. 在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，ABC S ∆=AB AC ⋅的值为（ ） A ．2-B ．2C ．4±D ．2±17.已知向量)2,0(),cos ,2cos 2sin2(),3,1(π∈-==x x x x b a ,若⊥,则=x A.6π B.3πC.32πD.65π18.设1e 与2e 是不共线向量，1212,a ke e b e ke =+=+，若//a b 且a b ≠，则实数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 19.在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．以上答案都不对GD FECBA20.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 21.设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则=⋅b a （ ）A ．5B ．3C ．2D ．122.已知向量(1,2),(2,4),||a b c ==--=5(),2a b c +⋅=则a 与c 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150 °23.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a -（B ）234a -（C ） 234a 错误！未找到引用源。

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、已知向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b ⃗⃗=−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃗⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=52， 又|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=−3， 设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3. 故选：C2、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式为（ ） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5). 故选：C3、在正方形ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C.4、定义空间两个向量的一种运算a⊗b⃗=|a|⋅|b⃗|sin⟨a ,b⃗⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⊗b⃗)=(λa)⊗b⃗B．(a⊗b⃗)⊗c=a⊗(b⃗⊗c)C．(a+b⃗)⊗c=(a⊗c)+(b⃗⊗c)D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则a⊗b⃗=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa )⊗b⃗=|λa||b⃗|sin<λa ,b⃗>，λ>0时，<λa ,b⃗>=<a ,b⃗>，(λa )⊗b⃗=λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=λ(a⊗b⃗)，λ=0时，λ(a⊗b⃗)=0,(λa)⊗b⃗=0，成立，λ<0时，<λa ,b⃗>=π−<a ,b⃗>，sin<λa ,b⃗>=sin(π−<a ,b⃗>)=sin<a ,b⃗>(λa )⊗b⃗=−λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=−λ(a⊗b⃗)，综上，A不恒成立；B．a⊗b⃗是一个实数，(a⊗b⃗)⊗c无意义，B不成立；C．若a=(0,1),b⃗=(1,0)，c=(1,1)，则a+b⃗=(1,1)，<a+b⃗,c>=0，(a+b⃗)⊗c=|a+b⃗||c|sin0=√2×√2×0=0，<a ,c>=π4,<b⃗,c>=π4，(a⊗c)+(b⃗⊗c)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a+b⃗)⊗c≠(a⊗c)+(b⃗⊗c)，C错误；D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则|a|=√x12+y12，|b⃗|=√x22+y22，cos<a ,b⃗>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin <a ,b ⃗ >=√1−cos 2<a ,b⃗ >=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⊗b ⃗ =|a ||b ⃗ |sin <a ,b ⃗ >=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ,b ⃗ >用cos <a ,b⃗ >，而余弦可由数量积进行计算． 5、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i )=i ， 所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a ，b ⃗ 满足|a |=√3，|b ⃗ |=2，且a ⊥(a −b ⃗ )，则a 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃗ ),所以a ⋅(a −b ⃗ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃗ 的夹角为30°，故选：A.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BD AB=√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．9、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C10、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3xAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 填空题11、设向量a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为13，且|a |=1，|b ⃗ |=3，则(2a +b⃗ )⋅b ⃗ =_________． 答案：11分析：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⋅b⃗ ，最后根据数量积的运算律计算可得．解：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，因为a 与b⃗ 的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a |=1，|b ⃗ |=3，所以a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b⃗ |cosθ=1×3×13=1， 所以(2a +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=2×1+32=11．所以答案是：11．12、已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为______． 答案：[3,17]分析：由题可得|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求解. 因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即3≤|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17，即3≤|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17. 所以答案是：[3,17].13、如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →⋅BC →的取值范围是___________.答案：[−18,3]分析：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ,利用二次函数即得解.解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC . 设θ为OA →和BC →的夹角.则AC →⋅BC →=(OC →−OA →)⋅BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|⋅|BC →|⋅cos∠BCO −|OA →|⋅|BC →|⋅cosθ =12|BC →|2−12|BC →|cosθ，12|BC →|2−12|BC →|cosθ≥12|BC →|2−12|BC →| =12(|BC →|−12)2−18， （当cosθ=1即θ=0时取等）因为|BC →|∈[0,2]，所以当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18.12|BC →|2−12|BC →|cosθ≤12|BC →|2+12|BC →| =12(|BC →|+12)2−18， （当cosθ=−1即θ=π时取等）当|BC →|=2时，12|BC →|2+12|BC →|有最大值为3，即AC →⋅BC →有最大值3，所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18,3]. 所以答案是：[−18,3]小提示：关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ，再利用二次函数的图象和性质求解. 解答题14、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值及DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 答案：1，最大值为1．分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解. 如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,−1)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 又由DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0，而0≤x 0≤1，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1． 所以答案是：1； 1.15、在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ,b ⃗ 分别表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ,b ⃗ 表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12a +b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ . 分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可； （2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +b⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ ； （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ .。

平面向量典型例题

平面向量典型例题

平面向量经典例题：1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF→＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3.13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。

平面向量的综合应用

平面向量的综合应用

平面向量的综合应用考点一 平面向量与平面几何[典例] (优质试题·石家庄模拟)在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→＝AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－14AD ―→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→－34AD ―→＝ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→2－916AD ―→2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[答案] C[专题训练]1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．2．(优质试题·西安质检)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3解析：选B 由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5. 答案：4－2 5考点二 平面向量与解析几何[典例] (优质试题·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．[解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[专题训练]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.答案：2x ＋y －3＝02．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值224＋2＋3＝6.答案：6考点三 平面向量与三角函数[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→＝(－4,0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(a －6，b )．故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|取得最大值49＝7.[答案] B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[专题训练]1．(优质试题·南昌模拟)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若a·b＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±π2(k∈Z)，解得α＝kπ±π4(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3 B.2π3，π6C.π3，π6 D.π3，π3解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cosA ＝2R sin(A ＋B )＝2R sinC ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[课时跟踪检测]A 级1．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os π6，sin π6，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os 5π6，sin 5π6，则|a －b |＝( ) A ．1B.62C. 3D.102解析：选C 因为a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os π6－c os 5π6，sin π6－sin 5π6＝(3，0)，所以|a －b |＝3，故选C.2．若向量OF 1―→＝(1,1)，OF 2―→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10B ．2 5 C. 5 D.15解析：选C 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.3．(优质试题·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( ) A.32B ．3 C. 3 D ．23解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3，则CA ―→·CB―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3.4．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C 因为m ∥n ，所以sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，所以2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3.可化为1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.5．(优质试题·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.6．已知向量a ＝(4,0)，b ＝(2,23)，非零向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，|c |的最大值与最小值分别为m ，n ，则m －n 的值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选D 设c ＝(x ，y )，因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(4－x ，－y )·(2－x,23－y )＝x 2＋y 2－6x －23y ＋8＝0，所以(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以满足条件的向量c 的终点落在以(3，3)为圆心，2为半径的圆上，所以|c |的最大值与最小值分别为m ＝2＋23，n ＝23－2，所以m －n ＝4.7．已知△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x －y ＝________.解析：由向量的加法法则知AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝ 13AB ―→＋23AC ―→，所以x ＝13，y ＝23，所以x －y ＝－13.答案：－138．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k >0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k ＝________.解析：设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1× sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0，从而对e 3＝12e 1＋ke 2两边同时平方得 1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)，所以k ＝32. 答案：329.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.解析：AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以AO ―→2＝14(AB ―→＋AC ―→)2＝14(AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2)，即AO ―→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA ―→|＝132.答案：13210．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为坐标原点，且OM ―→＝αOA―→＋βOB ―→ (α＋β＝1)，N (1,0)，则|MN ―→|的最小值为________．解析：∵OM ―→＝αOA ―→＋βOB ―→ (α＋β＝1)，∴A ，B ，M 三点共线，∵A (－2,0)，B (1,3)，∴直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，∵N (1,0)，设点N 到直线AB 的距离为d ，∴d ＝|1－0＋2|2＝322，∴|MN ―→|的最小值为N 到直线AB 的距离322. 答案：32211．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求t a n x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n ， ∴m ·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴t a n x ＝sin x cos x ＝1.(2)由题意知，|m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， |n |＝sin 2x ＋c os 2x ＝1，m ·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.而m ·n ＝|m |·|n |·cos 〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，∴x ＝5π12. 12．(优质试题·河南中原名校质检)在△ABC 中，AB ―→⊥AC ―→，M 是BC 的中点．(1)若|AB ―→|＝|AC ―→|，求向量AB ―→＋2AC ―→与向量2AB ―→＋AC ―→的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ―→|＝|AC ―→|＝2，求OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA―→的最小值．解：(1)设向量AB ―→＋2AC ―→与向量2AB ―→＋AC ―→的夹角为θ，则cos θ＝(AB ―→＋2AC ―→)·(2AB ―→＋AC ―→)|AB ―→＋2AC ―→|·|2AB ―→＋AC ―→|，令|AB ―→|＝|AC ―→|＝a ，则cos θ＝2a 2＋2a 25a ·5a ＝45. (2)∵|AB ―→|＝|AC ―→|＝2，∴|AM ―→|＝1，设|OA ―→|＝x (0≤x ≤1)，则|OM ―→|＝1－x .而OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→，∴OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA ―→＝OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝2OA ―→·OM ―→＝2|OA ―→|·|OM ―→|c os π＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12.∴当x ＝12时，OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA ―→取得最小值，最小值是－12.B1．(优质试题·武汉调研)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( )A ．1＋2B ．1－ 2 C.2－1 D ．1解析：选A 如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，则(OC―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.2．在△ABC 中，BC ＝5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且OG ―→·BC ―→＝5，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能解析：选B 如图，在△ABC 中，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，OG ，则OD ⊥BC ，GD ＝13AD ，结合OG ―→＝OD ―→＋DG ―→，AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，OG ―→·BC ―→＝5，得(OD ―→＋DG ―→)·BC ―→＝DG ―→·BC ―→＝－16(AB ―→＋AC ―→)·BC ―→＝5，即－16(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝5，∴AC ―→2－AB ―→2＝－30.又BC ＝5，则|AB ―→|2＝|AC ―→|2＋65|BC ―→|2>|AC ―→|2＋|BC ―→|2，结合余弦定理有cos C <0，∴π2<C <π，△ABC 是钝角三角形．故选B.3．已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ―→·AC ―→＝9，求a 的值． 解：(1)∵f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝cos 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝12(cos 2x ＋1)＋1＋32sin 2x －32＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z)，又0<A <π，∴A ＝π3.∵b ，a ，c 成等差数列，∴2a ＝b ＋c .∵AB ―→·AC ―→＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝18.由余弦定理，得cos A ＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1＝12，∴a ＝32(负值舍去)．。

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________一、选择题（题型注释）1． 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN =（ ） A 121-32a b c + B 211322a b c ++C 112-223a b c +D 221-a b c +【答案】B 【解析】试题分析：因为N 为BC 1()2ON OB OC =+，12()2MN ON OM OB OC OA =-=+-=112b c a +-，选B2．已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ）（A （B （C （【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则2112cos a a b+⋅=+⨯考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角3．若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60OA OB OC ++= 【答案】D 【解析】试题分析： OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°222222232coa b c a b c ab bc ac a b ++=+++++=+4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( )A.1142a b + B.1233a b +C.1124a b + D.2133a b +【答案】D【解析】试题分析：AEB 与FED ∆相似，且相似比为3:1，所以1DF DC =,,AB AD a AD AB b +=-=，解得，,a b a bAD AB +-==121AF AD DF AD AB a b =+=+=+,故考点：平面向量的加减法5．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则AD BE ⋅=（ ）AC A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设),(y x E ，由EC AE =2可得：考点：平面向量的坐标运算6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ）A ．（2,4）B ．（3,5）C ．（1，1）D ．（－1，－1） 【答案】C ． 【解析】试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 考点：平面向量的线性运算．7．已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：设),(y x b =，则)2,1(++=+y x b a ，因()//a b b +，所以0)2()1(=+-+y x y x ，02=-x y ，只有A满足考点：向量共线的条件8．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为（ ） A ． 2 C ．2- 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得4ma b+)83,42()2,1(4)3,2(+-=-+=m m m ，又因为4ma b +与2a b -共线， 所以有228140)83(4)1()42(-=⇒-=⇒=+⨯--⨯-m m m m ，故选D ．考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）的充要条件是)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b 不共线,即()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选 D.考点：平面向量的基底及向量共线 10．若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误．．的是（ ） A. a b ⊥B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒C. b ∥cD.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b+c 【答案】D 【解析】A 正确；0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯=⋅c a ，所以B 正故C 正确；因为c b ,是共线D 错 考点：向量的夹角11．已知向量()3,4a =，）A ．1C ．1±D 【解析】试题分析：因为()3,4a =，所以，解得：1λ=±，故选D ． 考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模． 12．若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1D ．()0,2 【答案】A 【解析】试题分析：∵向量()2,1a =-，()0,2b =，∴(2,1)a b +=，而12(2)10⨯+-⨯=，∴以下向量中与a b +垂直的是()1,2-.考点：向量垂直的充要条件.13．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1A DB E ⋅=-则λ的值为（ ）（A （B ）2 （C ）1（D C【解析】试题分析：由题意可得： =211AB BC BC AB CA BC CAλλ⋅++⋅+⋅14．已知向量(1,2)a =， (1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则）D 【解析】试题分析：()1,2a bλλ+=+,因为()a b c λ+⊥,所以()()31420a b c λλ+⋅=++⨯=,解得故D 正确. ;向量的数量积.15．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，，则AB AC ⋅的值为（ ） （A ）2-（B ）2（C ）4±（D ）2± 【答案】D 【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.cosA AB AC AB AC ∴⋅=⨯⨯故选D 考点：平面向量的数量积二、填空题（题型注释） 16．已知两个非零向量a 与b ，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a×b|的值为________． 【答案】6 【解析】|a|5，|b|＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θθ∈[0，π]，所以sin θ故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin θ 6.17．△ABC 中AB ＝2，AC 点D 是△ABC 的重心，则AD ·BC ＝________．E 为边BC 是△ABC 的重心，所以AD ＝3AE ＝3(AB ＋AC )3(AB ＋AC )，又BC ＝AC －AB ，所以AD ·BC ＝3(AB ＋AC )·(AC －AB )(AC 2－AB 2)＝18．已知a =（2,0），||3b =，,a b 的夹角为2|a b -= 【解析】 试题分析：2224416a b a a b b -=-⋅+=-.考点：向量的基本运算.19．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .【解析】试题分析：过O 作BC 的垂线，垂足为M ，以MA 所在线为x 轴，以MC 所在线为y 轴，以MO 所在线为z 轴，建立直角坐标系，所以(2,00)A ，，(0,2,0)B -，(0,2,0)C ，，(2,2,0)BA =，(0,2,OC =考点：1.空间向量法；2.夹角公式. 20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为 ．【答案】90︒ 【解析】试题分析：要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅，而()c a b =-+，因此a c ⋅=()a a b -⋅+=2a ab --⋅，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a ⊥c ，夹角为90︒．考点：向量的夹角．21．已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60，，则〉〈b a ,cos 等于 .【解析】试题分析：∵0=++c b a ，∴()b a c =-+，∴22202||||cos60b a c a c =++， ∴2223||||a a c a c =++，∴222||||0a a c c --=，∴||||a c =， ∴2203()||||||cos60a b a a c a a c a a c ∙=-+=--∙=--=-23||32,2||||||3||a ab a b a b a a -∙>===-.考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式. 22．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则【答案】3 【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为G 为ABC △的重心,所以()2111111AG AB AC AM AN AM ⎛⎫=⨯+=+=+⎪,因为:,,M G N 三点共线,所以答案为: 3．考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．23．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若//a b ，则=x ； 【答案】-6 【解析】试题分析：由b a λ=可知，2λ=-，所以6x =-.考点：空间向量共线定理. 24．设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【解析】试题分析：由已知得(3a b λλ+=+(3a b λλ-=- 由()()a b a b λλ+⊥-得()()0a b a b λλ+⋅-=所以有即0842=-λ，解得考点：向量的数量积的坐标运算. 25．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】9λ<且1x ≠- 【解析】试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++，n a b =-(3,1)=--，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则()()3(2)(23)0a b a b λλλ+⋅-=--+-+<，即：9λ<，又m n 与不共线，则(2)λ--+3+(23)0λ+≠,即：1λ≠-，则9λ<且1x ≠-考点：1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式； 26．已知向量b a ,满足则a 在b 上的投影为_______________．试题分析：设a 与b 的夹角为θ，∵向量a ，b满足(∴22146a a b b a b +⋅+=+⋅+=，∴a b ⋅=1．∴cos a b a b⋅⋅=12，再由围为[0，ππ．若向量a 与b 满足||2a =，||2b =，()a b a -⊥．则向量a 与b 的夹角等于 ；||a b += 10. 试题分析：()a b a -⊥，()0a b a -⋅=，22a a b ∴=⋅=，2cos ,2a b a b a b⋅∴==，,4a b π=，()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+24410=++=.222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-，1a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b ⋅<>==，,a b π<>=．考点：向量的数量积与向量的夹角．三、解答题（题型注释）,若b ka -与.（2）13k =-.2）两向量()(),,,a x y b x y ==平行，满足条件是)．)()()2,21,3,1x --=-，则分5,6.- 分⑵因为()()1,31,5=-，)(()4,12,2,1BC =--, 8分所以)()2,51k k k -==---a b ，)7,2-． 10分 70=，向量共线.BM ＝BC ，CN ＝CD ，OA ＝，OB＝b ，用a 、b 表示OM 、ON 、MN . 26【解析】BA ＝，BM ＝6BA ＝6，OM ＝OB ＋BM ＝6a ＋6b .OD ，ON ＝OC ＋CN ＝2OD ＋6OD ＝3OD ＝3a ＋3b .MN ＝ON －OM ＝2a －6b（2）小问cos6014a b a b ⋅=⋅=⨯()()222222a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+2）∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()20a b a b λ+⋅-=，∴()22220a a b b λλ+-⋅-=，∴()22320λ--=，点评：解决此题的关键是掌握平面向量数（1试题解析：（1）因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，2分4分因为cos 0θ≠，所以6分（2）由a ∥b ，得8分11分14分考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式33．（本题满分9分）已知向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，（1）求cos()αβ-的值； （2，求sin α的值。

北京中国人民大学附属中学平面向量及其应用经典例题doc

北京中国人民大学附属中学平面向量及其应用经典例题doc

一、多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 3．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=4．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=5．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 6．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△b = ）A ．1cos 2B =B ．cos B =C ．a c +=D ．a c +=7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．cos cos 0AB +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=8．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =9．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 10．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量 13．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 18．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=B ．1a b ⋅=C ．a b =D ．0a b ⋅=19．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．120．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =A ．310B ．38C ．25D ．42121．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-22．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <23．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4 B ．72C ．258D ．25926．题目文件丢失！27．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）A B ．3CD ．1928．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3πB ．23π C ．56π D ．6π30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆③ABC ∆的周长为4+ ④ABC ∆外接圆半径3R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-432．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1333．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．434．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（） A．(-∞B．)+∞C．(-∞D．)+∞35．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）ABCD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解解析：ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.4．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-， 则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】 本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．5．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，故sin C =，因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin 2B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．6．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．8．BCD【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确.【详解】解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.9．ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线， ∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题. 10．BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.11．BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】 本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题. 12．AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.13．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 14．AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+，∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.15．AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个，所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．C【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.18．C【分析】取,a b 夹角为3π，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π，则0a b -≠，12a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C .【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.19．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号）， 当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.20．A【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON =， ∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 21．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.22．C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．23．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值24．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 25．C 【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BCR A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===，所以258R =， 此三角形的外接圆半径是258故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．无27．A 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．D 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 29．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a ba b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，则0a b ⋅=，由2a b b +=，平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a bcos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ，故选D. 【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 30．C 【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】 4c =，3C π∠=，可得42sin 3sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径3R =，④正确；()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos4sin cos A B A B B A B A BA A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得a =，b =4+；面积为12bc =；则②③成立；若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==， 可得43a =，83b =，则三角形的周长为443a b c ++=+；面积为11438383sin sin 223333S ab C π==⋅⋅⋅=； 则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 31．D 【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3mOC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S DCD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333mOA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3OD mm CD∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系. 32．A 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos3＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－13．令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 33．B【解析】 【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=； 又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 34．A 【分析】不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,(.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=因为a c b d T -+-≥恒成立，+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即。

平面向量经典练习题(含答案)

平面向量经典练习题(含答案)

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

平面向量及其应用单元测试题含答案

平面向量及其应用单元测试题含答案

一、多选题1 .己知口5忑是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A. 因5防|B.若出6 =。

6且则5=5c.两个非零向量a, 6,若I 万-5I =I 万i + ibi,则后与B 共线且反向D.已知5 = （1,2）, 5 = （1,1）,且万与5 + /1〃的夹角为锐角，则实数丸的取值范围是 5 ,4-00 1 3 J2 .给出下列结论，其中真命题为（）A .若7囚=0’ 则6=0B .向量3、B 为不共线的非零向量，则（£ 3）=7万3 .若非零向量［、B 满足,+5『=|浦+ ］邛，则［与B 垂直D .若向量£、B 是两个互相垂直的单位向量，则向量i+B 与的夹角是巳 23.在△48C 中，点E, F 分别是边8c 和4c 上的中点，P 是AE 与8F 的交点，则有（） A. AE = ^AB+^ACB. 6 = 2升乙乙-> 1 -> 1 ->T 2 T 2 TC. CP = — CA+ — CBD. CP = —CA T ——CB3 3334.设P 是△A6C 所在平面内的一点，血+/=3衣则（） B . PB +PC = 6D. PA + PB + PC = 05 .在△△6c 中，内角4、8、C 所对的边分别为a 、b 、c,不解三角形，确定下列判断错 误的是（） A. 8=60。

，c=4, b = 5,有两解 B. 8=60% c=4, b=3.9,有一解 C. 8=60。

，c=4, b=3,有一解 D. 8 = 60°, c=4, b = 2,无解6 .下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知4、8、C 是平面中三点，若加,微不能构成该平面的基底，则4、8、C 共线 8 .若 4 ・ B B • C 且 5 H 。

,则 4 = c c.若点G 为加sc 的重心，则G 4+G 月+G 3 = 6D.已知£ = （1,-2）,石二（2瓜），若£, B 的夹角为锐角，则实数人的取值范围为义<1A. PA + PB = o C ・ PA + AB = PB7.在中，。

(完整word版)平面向量(逐题详解)

(完整word版)平面向量(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A ．5B ．10C ．25D ．102 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=（ ）A ．13B ．23 C ．43D ．24 ．（2012年高考（四川文））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．||||a b =且//a bB ．a b =-C ．//a bD ． 2a b =5 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =（ ）A ．—1B ．—12C ．12D ．16 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=ab （）A ．12B ．1C ．32D ．527 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,28 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =9 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（ ）A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b -D ．4455a b -二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

人教A版数学必修第二册第六章【平面向量及其应用(向量篇)典型例题实战(练透核心考点)】

人教A版数学必修第二册第六章【平面向量及其应用(向量篇)典型例题实战(练透核心考点)】

平面向量及其应用（向量篇）典型例题实战（练透核心考点）练透核心考点一：平面向量的概念1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A ．且B．C．D．4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．零向量与其它向量都共线练透核心考点二：平面向量的线性运算角度1：向量的加法与减法运算1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．A．B．C．D．2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.A．内心B．外心C．重心D．垂心3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（ ）A．B．C．D．4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上5．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则P点（ ）A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且6．（2023·高一课时练习）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.角度2：平面向量的数乘运算1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）A．B．C．D．4．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）A．B．C．D．5．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）A．外心B．内心C．重心D．垂心高频考点三：平面向量基本定理1．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.4．（2023秋·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则______，若是线段的中点，且，则______.练透核心考点四：平面向量数量积运算角度1：用定义求向量的数量积一、单选题1．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（ ）A．4B．C．D．32．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）A ．0B．C．1D．3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）A．B．C．D．14．（2023·全国·高三专题练习）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D ，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．角度2：已知数量积求模1．（2023秋·云南·高二统考期末）设，夹角为，则等于（ ）A．37B．13C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知为单位向量，且，则__________. 4．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.5．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知向量，若与垂直，则___________.角度3：已知模求参数1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）A．B．C．D．2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．3．（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则_______ _．4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量，，若，，则______.角度4：向量模的最值问题1．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.2．（2022·高一单元测试）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．3．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．4．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知向量满足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．5．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值．角度5：求向量的夹角1．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，若与的夹角为，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·高一课时练习）设向量，，若与的夹角大于，则实数的取值范围为____________.3．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知平面向量，，其中，．(1)求与的夹角；(2)若与共线，求实数的值．4．（2023·高一课时练习）平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．5．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考阶段练习）已知向量，.(1)若，求实数m的值；(2)若非零向量满足，求与的夹角.角度6：向量数量积的最值问题1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（ ）A．2B．3C．4D．52．（2023·高一课时练习）如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.3．（2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.4．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）已知中，，，的对边，，成等比数列，，延长至点，使.求：(1)的大小；(2)的取值范围.5．（2023·高三课时练习）已知P是边长为2的正六边形内的一点，求的取值范围．角度7：向量的投影（向量）1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）A．B．3C．D．12．（2023·全国·高三专题练习）已知，则在上的投影向量是（ ）A．B．C．D．3．（2023·上海黄浦·统考一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______.4．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.5．（2023秋·浙江·高三期末）已知向量，则在方向上的投影向量是______________．练透核心考点五：平面向量的共线（平行）问题1．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知空间向量，若，则（ ）A．B．C．D．2．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）如图，已知平行四边形中，点为的中点，，，若，则（ ）A．2B．1C．-1D．-23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．(1)求；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．4．（2023·高一课时练习）已知，，，且与平行，求m的值．5．（2023·全国·高一专题练习）平面内给定三个向量，，．(1)若，求实数；(2)若满足，且，求的坐标．高频考点六：已知向量成锐角（钝角）求参数1．（2022春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．4．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知，，(1)求在方向上的投影．(2)求．(3)若，求k的值．(4)若与的夹角为锐角，求的范围．练透核心考点七：平面向量的垂直问题1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知向量，，若，则实数__________．2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则___________. 3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．4．（2023·高一单元测试）已知向量，，．(1)当k为何值时，与平行；(2)若向量满足，且，求．5．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知向量，．(1)求；(2)若向量与互相垂直，求的值．练透核心考点八：三点共线的等价关系1．（2023·全国·高三专题练习）在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）在中，是边上一点.若，则的值为（ ）A．B．C．D．3．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为A．B．C．D．4．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）A．B．C．D．5．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）A．B．C．6D．8练透核心考点九：向量在物理中的应用举例1．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．2．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、的合力对该质点所做的功为______．3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．4．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.5．（2023·全国·高三专题练习）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：(1)的大小；(2)与夹角的大小．练透核心考点十：向量新定义题1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）A．B．C．D．2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）图1 图2A．若，则B．若，则C ．D．3．（多选）（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（ ）A．B．，则C．在方向上的投影向量为D．的最小值是-34．（多选）（2022·全国·高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）A．与能构成一组基底B．C．D．5．（2023·全国·高三专题练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．答案解析练透核心考点一：平面向量的概念1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误；对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形【答案】D【详解】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A ．且B．C．D．【答案】D【详解】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，所以是成立的充分条件，故选项D正确；故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【详解】中，因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B5．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．零向量与其它向量都共线【答案】D【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.故选：D.练透核心考点二：平面向量的线性运算角度1：向量的加法与减法运算1．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意可知，，故选：A2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【详解】因为，且D为中点，，则，又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心故选:A3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知得，.故选：B4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上【答案】B【详解】因为，得，所以，所以三点共线，且点 在 的延长线上，故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则P点（ ）A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且【答案】B【详解】由题设，，则，所以共线且在延长线上，.故选：B6．（2023·高一课时练习）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.【答案】相等， 证明见解析【详解】证明：由向量加法三角形法则知：，所以，因为，所以，所以角度2：平面向量的数乘运算1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意可得：.故选：A.3．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】如图，因为，所以,又因为，所以，所以，又因为,所以且所以相似于相似比为，所以,,所以，故选:B.4．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在中，，设点P，Q满足.若，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】设，则，，，，由，得，即.故选：.5．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B高频考点三：平面向量基本定理1．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】，，故.故选：C2．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：如图，因为点为的中点，，所以，，，所以，即，解得所以，的值为.故选：B3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.【答案】【详解】如图，连结并延长交于点，设点到的距离为，点到的距离为，因为，所以设,设，，所以，所以，即，，所以.故答案为：4．（2023秋·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则______，若是线段的中点，且，则______.【答案】【详解】由，，所以，所以；由是的中点，所以,所以又，所以，化简可得，又，所以，所以故答案为:练透核心考点四：平面向量数量积运算角度1：用定义求向量的数量积一、单选题1．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（ ）A．4B．C．D．3【答案】B【详解】如下图所示：在平行四边形中，因为，所以，因此.又，所以，故.故选：B2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）A ．0B．C．1D．【答案】C【详解】由知是边中点，因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，且，因为，所以△为等边三角形，所以，，所以，故选：C.3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）A．B．C．D．1【答案】A【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.【答案】【详解】如图，作，垂足为，作于，于，则，当是锐角时，，此时，当是钝角时，，此时，取最小值，当是直角时，，综上，的取值范围是．故答案为：．5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D ，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．【答案】【详解】如图，取线段EF的中点P，连DP，则有，，在正中，当点E与B重合时，， ，则，此时，即，点E从点B开始向点C移动，线段DP长逐渐增大，当点F与C重合时，，，则，则，，所以的取值范围是.故答案为：角度2：已知数量积求模1．（2023秋·云南·高二统考期末）设，夹角为，则等于（ ）A．37B．13C．D．【答案】D【详解】解：∵．夹角为，所以，故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知，，，所以．故选：B．3．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知为单位向量，且，则__________.【答案】【详解】已知，均为单位向量，所以.，所以.故答案为：4．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.【答案】【详解】由，得，所以，得，所以，则.故答案为：.5．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知向量，若与垂直，则___________.【答案】【详解】∵与垂直，∴，则，解得，∴，则，∴，故答案为：.角度3：已知模求参数1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由题得，所以，所以在方向上的投影向量模长为，解得.故选：B2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由，可得，又，则，即，解之得故选：A.3．（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则_______ _．【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案为：.4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量的夹角为，，，则的取值范围是____ ____.【答案】【详解】可设，.，故答案为：5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量，，若，，则______.【答案】【详解】由题意得，，，所以，所以，解得或.当时，，不符合题意；当时，.所以.故答案为：.角度4：向量模的最值问题1．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.【答案】【详解】.因为,所以，当且仅当时取等号，所以,则的最小值是.故答案为：.2．（2022·高一单元测试）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．【答案】3【详解】因为，所以，所以，即，则．因为点是圆内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3．故答案为：3.3．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．【答案】12【详解】因为，不妨设，由向量，得，所以，因为，所以，，则，所以当时，取最大值12．故答案为：12.4．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知向量满足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：；（2）又，，所以令所以所以当时，取到最小值为5．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值．【答案】(1)-6(2)或（1）解：因为，，，，所以．（2）因为点M在直线上移动，所以设，则，，，当时，的最小值为，则，故．又，所以或．角度5：求向量的夹角。

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。

(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题

(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB =CG−EH+EG CG−EH ×DE =EG×DE CG−EH +DE ＝ 表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．2、已知单位向量a ⃗，b⃗⃗，则下列说法正确的是（ ） A ．a ⃗=b ⃗⃗B ．a ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗C ．|a ⃗|=|b ⃗⃗|D ．a ⃗//b⃗⃗ 答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，向量a ⃗，b⃗⃗的方向不一定相同，A 错误； 对于B ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，但向量a ⃗， b⃗⃗不一定为相反向量，B 错误； 对于C ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，则|a ⃗|=|b⃗⃗|=1，C 正确； 对于D ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，向量a ⃗，b ⃗⃗的方向不一定相同或相反，即a ⃗与b⃗⃗不一定平行，D 错误. 故选：C.3、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃗⃑=(2,4)，若a ⃑与b⃗⃑共线，则m =（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m =−4，即m =−2.故选：C4、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ）A ．向东南走3√2kmB ．向东北走3√2kmC ．向东南走3√3kmD ．向东北走3√3km答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km ，即向东北走3√2km .故选：B.5、已知向量a ⃑,b ⃗⃑满足|a ⃑|=2,|b ⃗⃑|=1,a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃗⃑)=2，则a ⃑与b⃗⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：B分析：由题意，先求出a ⃑⋅b⃗⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃗⃑)=a ⃑2−2a ⃑⋅b ⃗⃑=|a ⃑|2−2a ⃑⋅b ⃗⃑=4−2a ⃑⋅b ⃗⃑=2，所以a ⃑⋅b⃗⃑=1， 设a ⃑与b ⃗⃑的夹角为θ，则cosθ=a ⃗⃑⋅b ⃗⃑|a ⃗⃑||b ⃗⃑|=12， 因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.6、已知非零平面向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃗⃗；（2）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则a ⃗//b⃗⃗ （3）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗−b ⃗⃗|，则a ⃗⊥b ⃗⃗（4）若(a ⃗+b ⃗⃗)⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=0，则a ⃗=b ⃗⃗或a ⃗=−b⃗⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃗⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃗⃗或(a ⃗−b ⃗⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则a ⃗与b ⃗⃗同向，所以a ⃗//b⃗⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗−b ⃗⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2+2a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2−2a ⃗⋅b ⃗⃗，所以2a ⃗⋅b ⃗⃗=0，则a ⃗⊥b⃗⃗；即（3）正确； （4）若(a ⃗+b ⃗⃗)⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃗⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃗⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C =30∘，c =10.如果△ABC 有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．[10,20]B ．[10,10√3]C ．(10,10√3)D ．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a 的不等式，由此可解得a 的取值范围.如下图所示：因为△ABC 有两解，所以asinC =12a <c =10<a ，解得10<a <20.故选：D.8、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑C ．CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑，所以12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑. 故选：D.9、向量a ⃗，b ⃗⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃗⃗|=1，|a ⃗+b ⃗⃗|=√3，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影为（ ）A ．-1B ．−12C ．12D ．1 答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b⃗⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 因为向量a ⃗，b ⃗⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃗⃗|=1，|a ⃗+b⃗⃗|=√3， 所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃗⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃗⃗=−1， 所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →|=−12. 故选：B.10、如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，动点M 从顶点B 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F ，若FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑的最大值和最小值分别是m ，n ，则m +n =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12答案：D分析：连接AC ，根据正六边形的特征可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，从而可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩，再根据当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐减小，即可求得m ，n ，从而得出答案.解：连接AC ，在正六边形ABCDEF 中，FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃑，∴FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩，∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=2√3， 因为当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐减小，所以当M 在CD 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩取得最大值，为2√3，当M 移动到点F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩取得最小值，为0．∴m =2√3×2√3=12，n =2√3×0=0，∴m +n =12．故选：D.小提示：填空题11、已知△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=1，O 为△ABC 所在平面内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑，则AO⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑的值为___________ 答案：−1分析：在OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑中，将OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑代入，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑表示AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，可得AO⃗⃗⃗⃗⃗⃑=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，故AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)，展开根据已知条件代入数据计算即可. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)+3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=0⃗⃑，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑2−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=−1.所以答案是：−1.小提示：关键点点睛：解答本题的关键点在于将AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑用AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑线性表示，将AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑之间的数量积运算问题来求解.12、若OA →=a →，OB →=b →，则∠AOB 平分线上的向量OM →可以表示为________．答案：λ(a →|a →|+b →|b →|)，λ∈R分析：根据题意，以OA →|OA →|，OB →|OB →|为邻边作平行四边形OACB 则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得OC →=OA→|OA →|+OB →|OB →|=a →|a →|+b →|b →|，由OM →，OC →共线，最后根据向量共线定理得OM →=λOC →，从而得出答案.解：∵ OA →=a →，OB →=b →，∴ OA→|OA →|=a→|a →|，OB →|OB →|=b →|b →|，∴以OA →|OA →|，OB →|OB →|为邻边作平行四边形OACB 则为菱形，∴OC 平分∠AOB ，∴根据向量加法的平行四边形法则可得：OC →=OA→|OA →|+OB→|OB →|=a →|a →|+b→|b →|，∵ OM →，OC →共线，∴由共线定理可得存在唯一的实数λ使得：OM →=λOC →=λ(a →|a →|+b →|b →|).所以答案是：λ(a →|a →|+b →|b →|)，λ∈R .小提示：本题考查平面向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，解题的关键是利用菱形的对角线平分对角这一重要性质.13、点A (−1,0)，B(5，−4)，AP⃗⃗⃗⃗⃗⃑=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，点P 的坐标为______． 答案：(2,−2)分析：设P(x,y),由已知条件，利用向量的坐标运算求解即可.由已知得，设P (x,y ),由已知得(x,y )−(−1,0)=(5,−4)−(x,y ),∴(x,y )=(2,−2),所以答案是：(2,−2).小提示：本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.14、已知向量a ⃑、b ⃗⃗、c ⃑，且|a ⃑|=3，|b ⃗⃗|=5，|c ⃑|=1，a ⃑⋅b ⃗⃗=0，则|a ⃑+b ⃗⃗−c ⃑|的最小值为______．答案：√34−1##−1+√34分析：根据题意，建立直角坐标系，写出a ⃗、b ⃗⃗、a ⃗+b ⃗⃗坐标，求出c ⃑终点轨迹，数形结合即可求解.不妨设a ⃗=(3,0)，b ⃗⃗=(0,5)，a ⃗+b⃗⃗=(3,5)， |c ⃑|=1，则c ⃑起点在原点，终点轨迹为单位圆x 2+y 2=1，∴当a ⃗+b ⃗⃗与c ⃑同向时，|a ⃑+b ⃗⃗−c ⃑|最小，为√32+52−1= √34−1.所以答案是：√34−1.15、已知a ⃑､b ⃗⃑是平面内两个互相垂直的单位向量，若c ⃑满足(a ⃑−c ⃑)⋅(b ⃗⃑−c ⃑)=0，则|c ⃑|的最大值为___________.答案：√2分析：首先根据数量积公式展开，再化简|c⃑|=√2cosα，利用三角函数的有界性求最值.(a⃗−c⃗)⋅(b⃗⃗−c⃗)=0⇔a⃑⋅b⃗⃑−(a⃑+b⃗⃑)⋅c⃑+c⃑2=0，∴|c⃗|2=(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=|a⃗+b⃗⃗||c⃗|cosα=√2|c⃑|cosα，即|c⃑|=√2cosα，|c⃑|max=√2.所以答案是：√2解答题16、已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的，且在△ABC中，2AB−BC=AC2+AB2−BC2AB．(1)求角B的大小；(2)若∠BAD=π3，∠ADC=5π6，AD=1，BC=2．求AB的长．答案：(1)B=π3 (2)AB＝3分析：（1）由余弦定理结合2AB−BC=AC 2+AB2−BC2AB，即可求出角B的大小.（2）设AC＝x，∠CAB＝α，在△ABC中，由正弦定理可得√3=x sinα①，在△ADC中，由正弦定理可得x= 12sin(α−π6)②，联立①②，可得tanα=√32，在△ABC中，由正弦定理可求出AC，再由余弦定理即可求出AB的长.（1）∵2AB−BC=AC 2+AB2−BC2AB，∴整理可得，BC2+AB2﹣AC2＝BC•AB，∴在△ABC中，由余弦定理可得cos B=BC2+AB2−AC22AB⋅BC =12，0＜B＜π，∴B=π3．（2）∵B=π3，∠BAD=π3，∠ADC=5π6，AD=1，BC=2，∴设AC＝x，∠CAB＝α，则在△ABC中，由正弦定理BCsin∠CAB =ACsinB，可得2sinα=xsinπ3，可得√3=x sinα，①在△ADC中，由正弦定理ACsinD =ADsin(π−∠D−∠DAC)，可得xsin5π6=1sin[π6−(π3−α)]，可得x=12sin(α−π6)，②，∴联立①②，可得sinα＝2√3sin（α−π6），可得tanα=√32，可得cosα=√11+tan2α=2√77，sinα=√217，∴在△ABC中，由正弦定理BCsinα=ACsinB，可得AC=2×sinπ3√217=√7，∵由余弦定理AC2＝BC2+AB2﹣2AB•BC•cos B，可得7＝4+AB2﹣2×2×AB×12，可得AB2﹣2AB﹣3＝0，∴解得AB＝3，（负值舍去）．17、在锐角△ABC中，已知m⃗⃗⃑=(2sin(A+C),√3)，n⃗⃑=(cos2B,2cos2B2−1)，且m⃗⃗⃑//n⃗⃑．(1)求角B的大小；(2)若AC=1，求△ABC面积的最大值．答案：(1)π6(2)2+√34分析：（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得ac最大值，代入面积公式，即可得答案. (1)因为m⃗⃗⃑//n⃗⃑，所以2sin(A+C)(2cos2B2−1)=√3cos2B，因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，所以2sinBcosB=sin2B=√3cos2B，所以tan2B=sin2Bcos2B=√3，因为锐角三角形，B∈(0,π2)，所以2B∈(0,π)，所以2B=π3，B=π6.(2)设角A、B、C所对的边为a,b,c，则AC=b=1，由余弦定理得cosB=a 2+c2−b22ac=√32，所以a2+c2−1=√3ac，即a2+c2=√3ac+1，又a2+c2≥2ac，所以√3ac+1≥2ac，解得ac≤2+√3，当且仅当a=c时等号成立，所以△ABC面积的最大值S max=12acsinB=12×(2+√3)×12=2+√34.18、已知向量a⃑=(1,1)，b⃗⃑=(0,−2)，在下列条件下分别求k的值：(1)a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑平行；(2)a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑的夹角为2π3．答案：(1)−1(2)−1±√3分析：（1）首先求出a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；（1）解：因为a⃑=(1,1)，b⃗⃑=(0,−2)，所以a⃗+b⃗⃗=(1,−1)，ka⃗−b⃗⃗=(k,k+2)，又a⃗+b⃗⃗与ka⃗−b⃗⃗平行，所以−k=k+2，解得k=−1；（2）解：因为a⃗+b⃗⃗=(1,−1)，ka⃗−b⃗⃗=(k,k+2)，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)=1×k+(−1)×(k+2)=−2，因为a⃗+b⃗⃗与ka⃗−b⃗⃗夹角为2π3，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)=|a⃗+b⃗⃗||a⃗−b⃗⃗|cos2π3，即−2=−√2×√k2+(k+2)2×12，解得k=−1±√3．19、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=π3，a=3.(1)若A=π4，求b.(2)若______，求c的值及△ABC的面积.请从①b=√13，②sinC=2sinA，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.答案：(1)3√62；(2)选①c=4，S△ABC=3√3；选②c=6，S△ABC=9√32分析：(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可.(1)B=π3，a=3，A=π4，由正弦定理，得bsinB=asinA，所以b=asinA ×sinB=√22√32=3√62；(2)选①：由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB，即13=c2+9−2×3c×12，整理，得c2−3c−4=0，由c>0，得c=4，所以S△ABC=12acsinB=12×3×4×√32=3√3；选②：因为sinC=2sinA，由正弦定理，得c=2a，所以c=6，所以S△ABC=12acsinB=12×6×3×√32=9√32.。

平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库

平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库
， ，故 正确．
故选：
【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
解析：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应 ，若 ，则向量 长度相等，方向相同，故 ，故 正确；
对于 ，当 且 时， ，但 ， 可以不相等，故 错误；
对应 ，若 ， ，则 方向相பைடு நூலகம்或相反， 方向相同或相反，
故 的方向相同或相反，故 ，故 正确；
对应 ，若 ，则 ，
A．－1B．1C． D．
25．在 中 , 则 在 方向上的投影为（）．
A．4B．3C．-4D．526．题目文件丢失！
27．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 ， ，则① ＝－ － ；② ＝ ＋ ；③ ＝－ ＋ ；④ ＋ ＋ ＝0.其中正确的等式的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解
B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解
D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
7．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（）
A．8+ B．8
C．8﹣ D．
8．下列各式中，结果为零向量的是（）
A． B．
C． D．
32．在 中，若 ，那么 一定是（）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形

高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m →，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =n →，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．3m →−2n →B ．−2m →+3n →C ．3m →+2n →D ．2m →+3n →答案：B分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗ =−2m →+3n →．故选：B ．2、已知单位向量a →，b →，则下列说法正确的是（ ）A ．a →=b →B ．a →+b →=0→C ．|a →|=|b →|D ．a →//b →答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同，A 错误；对于B ，向量a →，b →为单位向量，但向量a →， b →不一定为相反向量，B 错误；对于C ，向量a →，b →为单位向量，则|a →|=|b →|=1，C 正确；对于D ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同或相反，即a →与b →不一定平行，D 错误. 故选：C.3、向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA u u u rCA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11.故选：C.4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD的中点，与BF 交于点O ，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417D ．56答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得AO⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −xBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅43BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0，解得x =817,y =617，所以x +y =1417. 故选：C.5、若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13) AE答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围. 因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以，||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即3≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13. 故选：C.6、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D7、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→ 所以3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +518AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +119AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B 分析：以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B多选题9、在△ABC 中，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值可以为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：BC分析：利用余弦定理边化角可整理得到sinB ，结合B ∈(0,π)可得结果.∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴a 2+c 2−b 22ac ⋅tanB =cosB ⋅sinB cosB =sinB =√32， 又B ∈(0,π)，∴B =π3或2π3.故选：BC.10、下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }中，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量.B ．在平面向量基本定理中，若a =0⃗ ，则λ1=λ2=0.C ．若单位向量e 1⃗⃗⃗ ､e 2⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，则e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量是−12e 2⃗⃗⃗ .D ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.答案：ABC分析：由平面向量基本定理，依次判定即可选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量，故A 正确； 选项B ：a =0⃗ =0⋅e 1⃗⃗⃗ +0⋅e 2⃗⃗⃗ ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B 正确；选项C ：e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为：e 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗ =−12e 2⃗⃗⃗ ，故C 正确； 选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC11、如图，B 是AC 的中点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则下列结论正确的为（ ）A ．当x =0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x =−12，y =52C ．若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x −y 的最大值为−1答案：BCD解析：利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可判断出D 正确. 当x =0时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +52OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 对 x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；又OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴x ⩽0，y ⩾1； 由图形看出，当P 与B 重合时：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ； 此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x −y 取最大值−1，故D 正确故选：BCD小提示：名师点评若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A,B,C 三点共线⇔x +y =1. 12、下列说法正确的有（ ）A ．若|a →+b →|=|b →|且b →≠0，则a →=0→B ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →C ．若a →b →=a →c →且a →≠0，则b →=c →D ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ，使得a →=λb → 答案：BD分析：A. 举反例说明该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 分析得a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．A. 若a →=−2b →≠0→也满足已知，但是a →≠0→，所以该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →2+b →2+2a →⋅b →=a →2+b →2−2a →⋅b →,∴a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则|a →|2+|b →|2+2a →b →=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|，得a →b →=−|a →||b →|，则a →,b →的夹角的余弦cosθ=−1，则a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．故选：BD13、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，∠C =45°,c =√2,a =x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的值可能为（ ）A ．1B ．1.5C ．1.8D ．2答案：BC分析：利用正弦定理求得sinA =12x ，再根据三角形有两解的条件可得A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，由此求出x 的范围即可得解.在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinC c =∘√2=12x ， 因满足条件的三角形有两个，则必有A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，即√22<sinA <1， 于是得√22<12x <1，解得√2<x <2，显然x 可取1.5，1.8. 故选：BC填空题14、给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；③若向量a 与向量b ⃗ 的模相等，则a ，b⃗ 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确命题的序号是________.答案：①②分析：根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.①正确；②正确，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向均相同；③|a|=|b ⃗ |，不能确定其方向，所以a 与b ⃗ 的方向不能确定；④只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ .综上可知，正确命题为①②. 故答案为:①②15、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝√2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________. 答案：329 sin sin a c A C分析：由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A 为原点， AB 所在直线为x 轴的平面直角坐标系，分别写出A 、B 、E 的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积.解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB ＝√2，BC ＝2，∴A (0，0)，B (√2，0)，C (√2，2)，D (0，2)，∵点E 在边CD 上，且DE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E (2√23,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2√23,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−√23,2)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−49+4=329. 16、设a →,b →为单位向量，且|a →+b →|=1，则|a →−b →|=______________.答案：√3分析：整理已知可得：|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2，再利用a ,b ⃗ 为单位向量即可求得2a ⋅b ⃗ =−1，对|a −b⃗ |变形可得：|a −b ⃗ |=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2，问题得解. 因为a ,b ⃗ 为单位向量，所以|a |=|b⃗ |=1 所以|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2=√|a |2+2a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=√2+2a ⋅b⃗ =1 解得：2a ⋅b⃗ =−1 所以|a −b ⃗ |=√(a −b ⃗ )2=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=√3 所以答案是：√3小提示：本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.解答题17、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在Rt△CDM中，由CD=CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=30°，由正弦定理AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，得CM=sin∠CAMsin∠ACM ⋅AM=√2ABsin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.18、如图，在直角梯形OABC中，OA//CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点．（1）用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求OD DM ；（3）设OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ⋅μ的取值范围． 答案：(1)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)3；(3)[0,34]. 分析：(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 将由这一组基向量的唯一表示出而得解； (3)由动点P 设出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)，结合平面向量基本定理，λ⋅μ建立为x 的函数求解. (1)依题意CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2t 3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，2t 3+2t 3=1，则t =34，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3； (3)由已知OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因P 是线段BC 上动点，则令CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ+μx)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(μ−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则有{μ−λ=1λ+μx =12⇒{λ=μ−1μ=32+2x， 0≤x ≤12⇒1≤x +1≤32⇒1≤μ≤32， λ⋅μ=μ(μ−1)=(μ−12)2−14在μ∈[1,32]上递增，所以μ=1,(λ⋅μ)min =0,μ=32,(λ⋅μ)max =34，故λ⋅μ的取值范围是[0,34].小提示：由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．。

平面向量及其应用经典例题doc

平面向量及其应用经典例题doc

一、多选题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 2．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 4．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =35．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =-D ．3BG GD =8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22-9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-10．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 12．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等13．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-14．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同二、平面向量及其应用选择题16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 18．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶219．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ）A ．MB ．NC ．D ．120．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．523．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ）A ．4B ．72C ．258D ．25924．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7226．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1028．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形29．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆83③ABC ∆的周长为43+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个30．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABCS S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-431．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．432．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8333．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．不确定34．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．32B 2C ．312D 21 35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利 解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin cos 22B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =，由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c =设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．2．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.3．CD 【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(解析：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(a b-)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则2110a b⋅=-=>，则,a b的夹角为锐角，错误；对于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为22a bb⋅=，错误；对于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则a b-=(1，2)，若(a b-)∥c，则(﹣n)=2(m ﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn12= (2m•n)12≤(22m n+)2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.4．AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】中，，由得，A正确；锐角三角形中，，∴，B正确；中，解析：AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin sin 603a R A ===︒，3R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．5．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.6．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.7．AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，解析：AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系8．AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．9．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.10．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.11．C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.12．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.13．AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.14．BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 15．ABD 【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时解析：ABD 【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 17．C 【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C．函数 是周期函数，最小正周期是
D． 中，若 ，则 为钝角三角形
14．如图， 的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量 （以图中的格点 为起点，格点 为终点），则（）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有11个
B．满足 的格点 共有3个
C．存在格点 ，ห้องสมุดไป่ตู้，使得
D．满足 的格点 共有4个15．题目文件丢失！
24．若点 是 的重心， 分别是 ， ， 的对边，且 .则 等于（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
25．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点 ， 分别是△ 的外心、垂心，且 为 中点，则（）
D．若向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一直线上
11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（）
A． B． C． D．
12．已知正三角形 的边长为2，设 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
13．下列命题中，正确的有（）
A．向量 与 是共线向量，则点 、 、 、 必在同一条直线上
B．若 且 ，则角 为第二或第四象限角
A． B． C． D．
32．如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，测得点 的仰角为60°，再由点 沿北偏东15°方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是（单位： ）（ ）
A． B． C． D．10
33．已知点O是 内一点，满足 ， ，则实数m为（）
A．2B．-2C．4D．-4
29．在 中 , 则 在 方向上的投影为（）．
A．4B．3C．-4D．5
30．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为 ，则山高BC=（）
A．500米B．1500米C．1200米D．1000米
31．在 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若 ，则 等于（）
．存在负数 ，使得 ，则 与 反向共线，夹角为 ，此时 成立，
当 成立时，则 与 夹角满足 ，则 与 不一定反向共线，即“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分而不必要条件成立，故 正确，
A． B．
C． D．
26．在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
27．在 中，若 ，则 的形状一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
28．已知 的面积为30，且 ，则 等于（）
A．72B．144C．150D．300
A．8+ B．8
C．8﹣ D．
8．在 中，角 ， ， 所对各边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
9．在 中， ， ， ，则 =（）
A． B． C． D．
10．给出下列命题正确的是（）
A．一个向量在另一个向量上的投影是向量
B． 与 方向相同
C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
A． B． C． D．
21．已知在四边形 中， ，则四边形 的形状是( )
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．以上都不对
22．在三角形 中，若三个内角 的对边分别是 ， ， ， ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
23．已知点O是 内部一点，并且满足 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则
A． B．
C． D．
A． B． C． D．
19．下列说法中说法正确的有（）
①零向量与任一向量平行；②若 ，则 ；③ ④ ；⑤若 ，则 ， ， 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
20．在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，若 ，则 的面积为（）
A．已知 是非零向量， ，若 ，则 ⊥（ ）
B．向量 ， 满足| |＝1，| |＝2， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影向量为
C．点P在△ABC所在的平面内，满足 ，则点P是△ABC的外心
D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形
7．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（）
一、多选题1．题目文件丢失！
2．下列说法中正确的是（）
A．对于向量 ，有
B．向量 ， 能作为所在平面内的一组基底
C．设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分而不必要条件
D．在 中，设 是 边上一点，且满足 ， ，则
3．在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ， ，且 ，则（）
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误，
．，
解析：BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解： ．向量数量积不满足结合律，故 错误，
． ， 向量 ， 不共线，能作为所在平面内的一组基底，故 正确，
二、平面向量及其应用选择题
16．已知 ，且关于 的方程 有实根，则 与 的夹角的取值范围是( )
A． B． C． D．
17．已知 所在平面内的一点 满足 ，则 （）
A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．2∶1∶1D．1∶1∶2
18． 为 内一点内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且 ，若 ，则边 所对的 外接圆的劣弧长为（）
34．在 中， ， ， ， 为 的外心，若 ， 、 ，则 （）
A． B． C． D．
35． 内有一点 ，满足 ，则 与 的面积之比为（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题
1．无
2．BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
A． B． C． D．
4．已知 的面积为3，在 所在的平面内有两点P，Q，满足 ， ，记 的面积为S，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． D．
5．已知 是边长为2的等边三角形， ， 分别是 、 上的两点，且 ， ， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
6．下列结论正确的是（）
相关文档
最新文档