二面角的求法精华版

D1 z
C1
∴ A1O⊥BD，C1O⊥BD
∴
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?? ? ?? ?
OA1, OC1
即为二面角A1-BD－C1
A1
B1
的平面角。
??? ???
?
??? ???
cos ? OA1, OC1 ??
OA 1 ?OC1
???
???
OA1 ?OC1
? ???? 1 3
A
D
O
y
C
1 ∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 arccos 3
C
O a
?
B
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。 三垂线法: 过B作BE⊥AC于E，过E作ED⊥PC于D，连结BD，
则∠BDE就是此二面角的平面角。
P
3
∵△ABC为正△，∴ BE= 2 a
在Rt△PAC中，E为AC中点，
则DE= 2 a
D
4
E A
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
x
B
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
?m n ?
如图：二面角的大小等于?-<m ,n>
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
αm
2、三垂线法:在一个平面 ?内选一点A向另一平面 作? 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥? 于B，作AC⊥ ?于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
?
A
A
?
OB
A
?
?
?B
a O
二面角的大小。
DG C
D1 E
C1
A1
B1
A FEB
G
A1
C
A
D
F
C
B
cos? ? S? AFCG
S? A1FCE
F
练习3：三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。
P D
cos ? ? S? ABC
D
cos? ? S? A1B1C 1
S? EB1C
A
C B
E D1
C1
A1 B1
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1
E
C1
B1
G
DH
C
A
FB
DG C H
A FB
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中
点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐
二面角? －AB－ ?
A
C
二面角? － l－ ?
?
B
D
l
?
? B?
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角 :
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l
?
P
B
A
P1
B1
? A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0??180?
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
S? PBC
AE
C
B
二、向量法：
1、方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。
?
D B C
l
?
A
二面角? ? l ? ? 中, B、C ? l, AB? ? , CD ? ? ,且
uuur uuur
AB? l, CD ? l，二面角的大小等于 BA,CD
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD， AD= 1 SA=AB=BC=1，
2
求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S ?0,0,1?,C ??1,1,0?,
D
???0,
在Rt△DEB中
C tan ∠ BDE=
BE ? DE
6
B
∴∠ BDE=arctan 6
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。
复 习: 二面角的定义 :
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
?
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
?
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
?
???
DB uuur
? ?2,2,0?,
uuur
???
OA1
?
?2,0,2??
?1,1,0??
?1,? 1,2 ?,
???
OC1
?
??
1,1,2?
? uDuuBr ?uOuuAur1 ? 2 ? 1? 2 ?（? 1）? 0 ? 2＝0 DB ? OC1 ? 2 ? (?1) ? 2? 1? 0 ? 2 ? 0
?
uuur uuur BA, CD
uuur uuur ? arccos BuuAur ?uCuuDr
BA CD
例3：在正方体 AC1中，求二面角 A1 ? BD ? C1的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则
B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
1 2
,0
???,
B ?? 1,0,0