求二面角的基本方法

求二面角的基本方法

——定义法与法向量法

一、 在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。

例1 如图1,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC,且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.

解析 由于SB ＝BC,且E 是SC 的中点,因此BE 是等腰三角形

SBC 底边SC 的中线,所以SC ⊥BE. 又已知SC ⊥DE,BE ∩DE ＝E,

∴SC ⊥面BDE,∴SC ⊥BD.

又∵SA ⊥底面ABC,BD 在底面ABC 上,∴SA ⊥BD.

而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC.

∵DE ＝面SAC ∩面BDE,DC ＝面SAC ∩面BDC,

∴BD ⊥DE,BD ⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC.设SA ＝a, 又因为AB ⊥

BC,

∴∠ACS ＝30.又DE ⊥SC, 所以∠EDC ＝60°即所求的二面角等于60°.

二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M 向另一个半平面引

1

图

垂线（垂足为H ），过H 向棱l 引垂线（垂足为N ），由三垂线定理可知l PN ⊥，则PNH ∠即为平面角（或其补角）。

例2 如图2，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ∆沿11C B 折起到111C B A ∆的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：二面角M C B A --111 的大小。

解析 连接AM ，A 1G ，∵G 是正三角形ABC 的中心，

且M 为BC 的中点，

∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC(图3) ．

∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1，

GA 1⊥B 1C 1，∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角．

∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ，

∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°。在Rt △A 1GM 中，由

A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=60°，即二面角A 1—

B 1

C 1—M

的大小是60°。

对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是：

先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考 虑使用射影面积公式S S 射影

=θcos ，这里给出下述两例：

例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，

∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，

ＡＤ＝21．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．

解析 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所

2图3图4

图

求二面角的棱。

∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ，∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ，∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角。∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222，∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝2

2=SB BC ，即所求二面角的正切值为2

2。 例4 如图5,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥ 侧面AC 1.若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数.

解析 本题考虑常规解法可作出棱后找平面角（为

11C CA ∠，解略），这里使用公式S S 射影

=θcos ：CE A 1∆在

底面上的射影为111C B A ∆，设AA 1=A 1B 1=a ，易算得 .4

6,43221111a S a S CE A C B A ==∆∆ 于是S S 射影

=θcos =

.42246432211

11πθ=⇒==∆∆a a S S CE A C B A 三、法向量法

求二面角是近些年来高考经常考查的内容,要求考生能尽快分析出空间线面关系,准确作出二面角的平面角;未给出二面角棱的，要先作出棱,后找平面角再计算,这些都需要很强的空间想象能力与灵活转化能力,一般考生难以完成;而应用法向量来解决,只需求两半平面法向量的夹角,

用公式21n n cos ⋅=θ即可.这

5

图

样,避免了空间线线、线面、面面关系的抽象分析，从而使考生从复杂抽象的思考中解放出来，提高解题效率.如对上述例3：

建系如图4,()()001001,,C ,,,B ,()1000210,,S ,,,D ⎪⎭

⎫ ⎝⎛平面SAB 的法向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=021

0,,。⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021

1,,，⎪⎭⎫

⎝⎛-=1210,,。 设()z ,y ,x =为面SCD 的法向量，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅0

21

21

z y y x C D n ，

得⎩⎨⎧==z y z

x 2，取()121,,n =，

则()36

2160121

201-

=⋅⨯+-⨯+⨯==cos θ

故二面角为θπ-，其正切值是22

。

x y