统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率
{}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q +=
(),()E X np Var X npq ==
()()tX t n E e q pe =+其中t -∞<<∞
解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率
几何分布()Geo p p 为成功概率
()x P X x pq ==
2(),()E X q p Var X q p ==
()),ln tX t E e p qe t q =-<-
解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次
负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率
1{}x k x k x P X x C p q +-==
2(),()E X kq p Var X kq p ==
()(),ln 1tX k t p E e t q qe
=<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率
泊松分布()P λ
{},0!x
P X x e x λλλ-==>
(),()E X Var X λλ==
(1)()t
tX e E e e λ-=，t -∞<<∞
解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数
均匀分布(,)U a b
1
(),X f x a x b b a =<<-；(),X x a
F x a x b b a -=<<-
2
()(),()212a b
b a E X Var X +-==
11
()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+-
正态分布2(,)N μσ
2
1()
2()x X f x μσ--=
2(),()E X Var X μσ==
2
2
12()t t tX E e e μσ+=
对数正态分布2log (,)N μσ
2
1ln ()
2()x X f x μσ--=2
221
22(),()(1)E X e Var X e e μσμσσ++==-
22
1
2()t t t E X e μσ+=
解释：如果X~2log (,)N μσ,则logX ～2(,)N μσ
指数分布()Exp λ
()x X f x e λλ-=，()1x X F x e λ-=-
21
1
(),()E X Var X λλ==
(1)
()r r r E X λΓ+=
1
()(1),X t M t t λλ-=-<
伽马分布(,),0,0Gamma αλαλ>>；形状参数，规模参数
1()()
x X f x x e ααλλα--=Γ 2(),()E X Var X ααλλ=
= ()()()r r r E X αλαΓ+=Γ ()(1),X t M t t αλλ
-=-< 解释：
帕累托分布(,),0,0Pareto αλαλ>>；比例参数，规模参数 1(),0()X f x x x αααλλ+=>+ ()1()X F x x αλ
λ=-+ 2
2(),1;(),21(1)(2)E X Var X λ
αλααααα=>=>---(1)()(),()r r
r r E X r λαααΓ+Γ-=>Γ 韦伯分布(,)Weibull c r
1(),0;()1r r
r cx cx X X f x crx e x F x e ---=>=-2121121(1)(1)(1)(),()()r r r r r r E X Var X c c c Γ+Γ+Γ+==- (1)()r
r E x c ωω
ωΓ+= 解释：对于指数分布，用r
x 替代x 则得到韦伯分布 2χ分布2n χ自由度n
112221
()2()2n x X n f x x e n --=Γ
2()2(),()2,()()2
r r n r E X n Var X n E x n Γ+===Γ 21()(12),2n tx E e t t -=-< 解释：n 个独立的标准状态分布随机变量的平方和服从2χ分布。

2
χ分布是伽马分布的特例2n χ＝1(,)22
n Gamma 。

2χ分布常用来作检验对分布的拟合是否恰当（非参数检验）。

贝塔分布(,),0,0Beta αβαβ>>
11()()(1),01()()
X f x x x x αβαβαβ--Γ+=-<<ΓΓ 2(),()()(1)
E X Var X α
αβαβαβαβ==++++ ()()()()()
r r E X r αβααβαΓ+Γ+=Γ++Γ 解释;n 个取自（0，1）上均匀分布的随机样本的r 阶统计量服从(,1)Beta r n r -+ T 分布n t 自由度
n
1221(
)2()(1)()2
n
X n x f x n n +-+Γ=+ ()0,1;(),22n E X n Var X n n =>=>- 解释：如果1(0,1)X N 和22n X χ
n t 。

例如取自正态母体的样本
均値标准化后服从t 分布。

F 分布,m n F m 为分子的自由度，n 为分母的自由度
1222(
)2()()(1)()()22m m m n X m n m mx f x x m n n n
+--+Γ=+ΓΓ 22
2(2)(),2;(),42(4)(2)n n m n E X n Var X n n m n n +-=>=>--- ()()()22(),2()()22
r r n m n r r m E X n r m n +Γ-=>ΓΓ 解释：如果21m X χ和22n X χ相互独立，则1,2m n X m
F X n 。

例如两个取自正态母体的样
本方差之比服从F 分布。

F 分布用于检验对方差的估计。

布尔分布(,,)Burr αλγ
1
1()()X x f x x αγγααγλλ-+=+
1
11()(1)
1
(),()E X λλαγγααγ
Γ-Γ+=>Γ 2
222()(1)
2
()[()],()Var X E X λλαγγααγΓ-Γ+=->Γ ()(1)
(),()E ω
λωωωλαω
γγλααγΓ-Γ+=>Γ
广义帕累托分布(,,)Pareto k αλ 1()()()()()k X k k x f x k x αααλαλ-+Γ+=ΓΓ+ 22(1)
(),1;(),21(1)(2)k k k E X Var X λλαααααα+-=>=>---()()
(),()()r r r k r E X r k λαααΓ+Γ-=>ΓΓ。