统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率

{}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q +=

(),()E X np Var X npq ==

()()tX t n E e q pe =+其中t -∞<<∞

解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率

几何分布()Geo p p 为成功概率

()x P X x pq ==

2(),()E X q p Var X q p ==

()),ln tX t E e p qe t q =-<-

解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次

负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率

1{}x k x k x P X x C p q +-==

2(),()E X kq p Var X kq p ==

()(),ln 1tX k t p E e t q qe

=<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率

泊松分布()P λ

{},0!x

P X x e x λλλ-==>

(),()E X Var X λλ==

(1)()t

tX e E e e λ-=，t -∞<<∞

解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数

均匀分布(,)U a b

1

(),X f x a x b b a =<<-；(),X x a

F x a x b b a -=<<-

2

()(),()212a b

b a E X Var X +-==

11

()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+-

正态分布2(,)N μσ

2

1()

2()x X f x μσ--=

2(),()E X Var X μσ==

2

2

12()t t tX E e e μσ+=

对数正态分布2log (,)N μσ

2

1ln ()

2()x X f x μσ--=2

221

22(),()(1)E X e Var X e e μσμσσ++==-

22

1

2()t t t E X e μσ+=

解释：如果X~2log (,)N μσ,则logX ～2(,)N μσ

指数分布()Exp λ

()x X f x e λλ-=，()1x X F x e λ-=-

21

1

(),()E X Var X λλ==

(1)

()r r r E X λΓ+=

1

()(1),X t M t t λλ-=-<

伽马分布(,),0,0Gamma αλαλ>>；形状参数，规模参数

1()()

x X f x x e ααλλα--=Γ 2(),()E X Var X ααλλ=

= ()()()r r r E X αλαΓ+=Γ ()(1),X t M t t αλλ

-=-< 解释：

帕累托分布(,),0,0Pareto αλαλ>>；比例参数，规模参数 1(),0()X f x x x αααλλ+=>+ ()1()X F x x αλ

λ=-+ 2

2(),1;(),21(1)(2)E X Var X λ

αλααααα=>=>---(1)()(),()r r

r r E X r λαααΓ+Γ-=>Γ 韦伯分布(,)Weibull c r

1(),0;()1r r

r cx cx X X f x crx e x F x e ---=>=-2121121(1)(1)(1)(),()()r r r r r r E X Var X c c c Γ+Γ+Γ+==- (1)()r

r E x c ωω

ωΓ+= 解释：对于指数分布，用r

x 替代x 则得到韦伯分布 2χ分布2n χ自由度n

112221

()2()2n x X n f x x e n --=Γ

2()2(),()2,()()2

r r n r E X n Var X n E x n Γ+===Γ 21()(12),2n tx E e t t -=-< 解释：n 个独立的标准状态分布随机变量的平方和服从2χ分布。2

χ分布是伽马分布的特例2n χ＝1(,)22

n Gamma 。2χ分布常用来作检验对分布的拟合是否恰当（非参数检验）。

贝塔分布(,),0,0Beta αβαβ>>

11()()(1),01()()

X f x x x x αβαβαβ--Γ+=-<<ΓΓ 2(),()()(1)

E X Var X α

αβαβαβαβ==++++ ()()()()()

r r E X r αβααβαΓ+Γ+=Γ++Γ 解释;n 个取自（0，1）上均匀分布的随机样本的r 阶统计量服从(,1)Beta r n r -+ T 分布n t 自由度

n

1221(

)2()(1)()2

n

X n x f x n n +-+Γ=+ ()0,1;(),22n E X n Var X n n =>=>- 解释：如果1(0,1)X N 和22n X χ

n t 。例如取自正态母体的样本

均値标准化后服从t 分布。

F 分布,m n F m 为分子的自由度，n 为分母的自由度

1222(

)2()()(1)()()22m m m n X m n m mx f x x m n n n

+--+Γ=+ΓΓ 22

2(2)(),2;(),42(4)(2)n n m n E X n Var X n n m n n +-=>=>--- ()()()22(),2()()22

r r n m n r r m E X n r m n +Γ-=>ΓΓ 解释：如果21m X χ和22n X χ相互独立，则1,2m n X m

F X n 。例如两个取自正态母体的样

本方差之比服从F 分布。F 分布用于检验对方差的估计。