统计学常用分布
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用
统计学三大分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
这些分布在统计学中应用广泛，下面将分别介绍其应用。
正态分布是自然界中最常见的分布之一，常用于描述连续性变量。
例如，身高、体重、智商等连续性变量都可以用正态分布来描述。
在假设检验、置信区间估计和回归分析等统计学方法中，正态分布也是一个非常重要的理论基础。
t分布是由威廉·塞德威克·高斯特(W.S.Gosset)于1908年提
出的，用来解决小样本量的问题。
t分布的形状与正态分布非常接近，但是在样本量较小的情况下，t分布的尾部更宽一些，因此在小样本量的情况下，使用t分布进行假设检验和置信区间估计更为合适。
卡方分布是概率论中一个重要的分布，通常应用于描述计数数据。
例如，在卡方检验中，卡方分布常常用来处理分类数据，如调查中统计“喜欢”或“不喜欢”某种产品或服务的人数。
卡方分布也常用于多项式回归和逻辑回归等模型中。
综上所述，正态分布、t分布和卡方分布在统计学中应用非常广泛，是统计学的重要组成部分。
对于从事统计学研究或相关领域的人员来说，深入理解和熟练运用这些分布是非常重要的。
- 1 -。
统计学常见分布、概念
统计学常见分布、概念⾮常有必要搞清楚统计学种⼀些常⽤的分布离散型随机变量分布1.两点分布/伯努利分布伯努利分布是⼆项分布在n=1时的特例。
⼀次随机试验，成功概率为p，失败概率为q=1-p。
2.⼆项分布⼆项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。
⼆项分布的典型例⼦是扔硬币，硬币正⾯朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正⾯的概率即为⼀个⼆项分布概率。
3.超⼏何分布对N件产品（其中M件次品）进⾏不放回抽样，在n次抽样种抽到次品数X，服从超⼏何分布。
4.⼏何分布X记⾸次成功的概率，服从⼏何分布。
5.负⼆项分布X记第k次成功时总的实验次数，当k=1时，为⼏何分布。
“⼆项分布”是固定试验总次数N的独⽴试验中，成功次数k的分布；⽽“负⼆项分布”是所有到成功r次时即终⽌的独⽴试验中，失败次数k的分布。
例⼦：Pat is required to sell candy bars to raise money for the 6th grade field trip. There are thirty houses in the neighborhood, and Pat is not supposed to return home until five candy bars have been sold. So the child goes door to door, selling candy bars. At each house, there is a 0.4 probability of selling one candy bar and a 0.6 probability of selling nothing.What's the probability of selling the last candy bar at the nth house?6.泊松分布有些事件，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发⽣时间。
统计学上三大分布推导方法
统计学上三大分布推导方法统计学涉及到众多的概率分布，其中三大分布推导方法是统计学中的重要内容。
这三种分布分别是正态分布、指数分布和泊松分布。
首先，我们来介绍正态分布。
正态分布又称为高斯分布，是统计学中常见且重要的分布之一。
正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐递减。
我们经常可以在生活中观察到符合正态分布的现象，如人的身高、体重等。
正态分布的推导方法主要基于中心极限定理，通过对大量独立随机变量求平均值的方式得到。
正态分布的参数包括均值和标准差，通过对原始数据进行变换和标准化，可以将任意分布转化为标准正态分布。
正态分布在统计学中有广泛的应用，如假设检验、置信区间估计等。
接下来，让我们看看指数分布。
指数分布是一种描述随机事件发生时间间隔的分布，常用于描述连续事件的无记忆性。
例如，指数分布可以用于描述等待某件事情发生的时间，如等待公交车到站的时间。
指数分布的推导方法主要基于随机过程理论中的泊松过程。
指数分布的参数是速率参数，参数的倒数表示了事件发生的平均等待时间。
指数分布的特点是呈右偏态分布，即事件发生的概率逐渐减小。
在实际应用中，指数分布常用于可靠性分析、风险评估等方面。
最后，我们来了解一下泊松分布。
泊松分布是一种用于描述单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，泊松分布可以用于描述在一段时间内电话呼叫的次数、邮件的接收量等。
泊松分布的推导方法主要基于稀有事件的统计推断，通过限制时间段内的事件次数来得到。
泊松分布的参数是平均发生次数，参数越大，分布形状越集中在平均发生次数附近。
泊松分布的特点是呈正偏态分布，即事件发生的概率逐渐增加后逐渐减小。
在实际应用中，泊松分布常用于建模离散事件的发生情况，如交通流量、事故发生率等。
综上所述，正态分布、指数分布和泊松分布是统计学中重要的三大分布推导方法。
通过对中心极限定理、随机过程理论和稀有事件统计推断的研究，我们可以得到这三种分布。
这些分布在实际问题的建模和分析中有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。
数学分布类型
数学分布类型
1. 均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。
2. 正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
3. t分布
在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
统计学 三种常用分布
以其中二只死亡的概率是多少为例，则3只 白鼠中2只死亡的概率为上述概率之和
引出
P＝3×π2（1-π）＝ C32? 2 (1? ? )
?? ?? ?? P( X ? k) ? Cnk k (1 ?
)n?k
?
?n?
? ?
k
? ?
k (1 ?
)n?k ?
n!
k!(n ? k)!
k (1 ?
)n?k
Bernoulli试验的三个条件
?注意:单双侧
正态分布法
百分位数法
双侧
单侧
双侧
单侧
%
下限 上限
下限 上限
90 x ? 1.64 x ? 1.28s x ? 1.28 s P5~P95
P10
P90
95 x ? 196s x ? 1.64s x ? 1.64s P2.5~P9.75 P5
P95
99 x ? 2.58s x ? 2.33s x ? 2.33s P0.5~P99.5 P1
x 第一只白鼠 第二只白鼠 第三只白鼠 发生的概率
0 存活 1 死亡
存活
存活 存活 死亡
存活 存活 存活
P=（1-π）3 P=π（1-π）2 P=π（1-π）2
存活
存活
死亡
P=π（1-π）2
2 死亡 死亡 存活
3 死亡
死亡 存活 死亡 死亡
存活 死亡 死亡 死亡
P=π2（1-π） P=π2（1-π） P=π2（1-π） π3
? 每一次试验结果，只能是两个互斥的结果之一 （成功与失败）
? 每次试验成功的概率不变 ? 各次试验相互独立
如果服从以上三个条件，那么n次试验中， 成功次数X服从二项分布。记为X～B(n,? )
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用统计学是一门重要的学科，它通过收集、整理和分析数据来揭示事物之间的潜在规律和关系。
在统计学中，分布是一种揭示数据特征的重要工具。
在统计学中，有三大常见的分布，它们分别是正态分布、均匀分布和指数分布。
这些分布在各个领域都有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释现象。
首先，正态分布是统计学的核心概念之一。
正态分布也被称为高斯分布，它的形状近似为一个钟形曲线。
正态分布在自然界中广泛存在，例如人的身高、体重等，也在许多地方出现，如测试成绩、产品质量等。
统计学家常常使用正态分布来研究和描述各种现象，并通过计算均值和标准差来分析数据的集中度和离散程度。
正态分布也是许多假设检验和参数估计方法的基础，为我们进行科学研究和决策提供了强有力的工具。
其次，均匀分布是一种简单且常见的分布形式。
在均匀分布中，所有的取值都具有相同的概率。
这种分布可以用来模拟随机实验的结果，例如抛硬币的正反面、掷骰子的点数等。
均匀分布还在随机数生成、概率推断等方面发挥着重要作用。
在实际应用中，均匀分布也可以用来描述一些特定的自然现象，如某些地区的降雨量、温度等。
通过研究和理解均匀分布，我们可以更好地预测和解释这些现象。
最后，指数分布是描述事件发生时间的一种重要分布。
在指数分布中，事件发生的概率密度函数随时间指数级衰减。
这种分布常常用于研究和模拟一些连续系统的寿命、等待时间等。
指数分布也在信号处理、通信理论、生物学等领域中得到广泛应用。
通过对指数分布的研究，我们能够更好地理解和预测事件的发生模式，为我们提供关键信息，以便做出合理的决策。
总而言之，正态分布、均匀分布和指数分布是统计学中三大重要分布。
它们在各个领域都有广泛的应用，帮助我们更好地理解和解释现象，提供科学依据和决策支持。
通过对分布的研究和应用，统计学可以发挥重要作用，推动科学发展和社会进步。
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。
统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。
以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。
正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。
每次试验的成功概率由固定的参数p确定。
二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。
二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。
这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。
泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。
均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。
均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。
6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。
与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。
t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。
7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。
统计学分布类型
统计学分布类型
统计学分布是根据数据分析所有可能的可能的量的范围，把它们分类成多个分组，并建立相应的概率函数，以描述这些变量出现的可能性。
统计学分布由以下几种类型：
1、正态分布：正态分布是最常见的统计学分布，又称钟形曲线。
它具有两个参数：平均值μ和标准差σ，针对一些机器运行正态分布可以用来模拟变量的分布情况；
2、均匀分布：均匀分布是指变量的概率分布在一个给定的范围内是均匀的，它由两个参数：最小值a和最大值b决定；
3、伽马分布：伽马分布又称卡方分布，是描述连续随机变量采样期望值与其标准差之比的分布。
它包含一个参数，即期望值与标准差之比γ；
4、负指数分布：负指数分布也称指数分布，是一个经典的概率分布，它可以解释一系列以负指数或非负指数的累积概率分布，它包含一个参数λ，它是和具体分布有关的常数；
5、卡方分布：卡方分布是一种统计分布，又称伽马分布，是描述连续随机变量采样期望值与其标准差之比的分布。
卡方分布由一个参数ν决定，变量ν是采样期望与标准差之比；。
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二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率
{}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q +=
(),()E X np Var X npq ==
()()tX t n E e q pe =+其中t -∞<<∞
解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率
几何分布()Geo p p 为成功概率
()x P X x pq ==
2(),()E X q p Var X q p ==
()),ln tX t E e p qe t q =-<-
解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次
负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率
1{}x k x k x P X x C p q +-==
2(),()E X kq p Var X kq p ==
()(),ln 1tX k t p E e t q qe
=<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率
泊松分布()P λ
{},0!x
P X x e x λλλ-==>
(),()E X Var X λλ==
(1)()t
tX e E e e λ-=，t -∞<<∞
解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数
均匀分布(,)U a b
1
(),X f x a x b b a =<<-；(),X x a
F x a x b b a -=<<-
2
()(),()212a b
b a E X Var X +-==
11
()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+-
正态分布2(,)N μσ
2
1()
2()x X f x μσ--=
2(),()E X Var X μσ==
2
2
12()t t tX E e e μσ+=
对数正态分布2log (,)N μσ
2
1ln ()
2()x X f x μσ--=2
221
22(),()(1)E X e Var X e e μσμσσ++==-
22
1
2()t t t E X e μσ+=
解释：如果X~2log (,)N μσ,则logX ～2(,)N μσ
指数分布()Exp λ
()x X f x e λλ-=，()1x X F x e λ-=-
21
1
(),()E X Var X λλ==
(1)
()r r r E X λΓ+=
1
()(1),X t M t t λλ-=-<
伽马分布(,),0,0Gamma αλαλ>>；形状参数，规模参数
1()()
x X f x x e ααλλα--=Γ 2(),()E X Var X ααλλ=
= ()()()r r r E X αλαΓ+=Γ ()(1),X t M t t αλλ
-=-< 解释：
帕累托分布(,),0,0Pareto αλαλ>>；比例参数，规模参数 1(),0()X f x x x αααλλ+=>+ ()1()X F x x αλ
λ=-+ 2
2(),1;(),21(1)(2)E X Var X λ
αλααααα=>=>---(1)()(),()r r
r r E X r λαααΓ+Γ-=>Γ 韦伯分布(,)Weibull c r
1(),0;()1r r
r cx cx X X f x crx e x F x e ---=>=-2121121(1)(1)(1)(),()()r r r r r r E X Var X c c c Γ+Γ+Γ+==- (1)()r
r E x c ωω
ωΓ+= 解释：对于指数分布，用r
x 替代x 则得到韦伯分布 2χ分布2n χ自由度n
112221
()2()2n x X n f x x e n --=Γ
2()2(),()2,()()2
r r n r E X n Var X n E x n Γ+===Γ 21()(12),2n tx E e t t -=-< 解释：n 个独立的标准状态分布随机变量的平方和服从2χ分布。
2
χ分布是伽马分布的特例2n χ＝1(,)22
n Gamma 。
2χ分布常用来作检验对分布的拟合是否恰当（非参数检验）。
贝塔分布(,),0,0Beta αβαβ>>
11()()(1),01()()
X f x x x x αβαβαβ--Γ+=-<<ΓΓ 2(),()()(1)
E X Var X α
αβαβαβαβ==++++ ()()()()()
r r E X r αβααβαΓ+Γ+=Γ++Γ 解释;n 个取自（0，1）上均匀分布的随机样本的r 阶统计量服从(,1)Beta r n r -+ T 分布n t 自由度
n
1221(
)2()(1)()2
n
X n x f x n n +-+Γ=+ ()0,1;(),22n E X n Var X n n =>=>- 解释：如果1(0,1)X N 和22n X χ
n t 。
例如取自正态母体的样本
均値标准化后服从t 分布。
F 分布,m n F m 为分子的自由度，n 为分母的自由度
1222(
)2()()(1)()()22m m m n X m n m mx f x x m n n n
+--+Γ=+ΓΓ 22
2(2)(),2;(),42(4)(2)n n m n E X n Var X n n m n n +-=>=>--- ()()()22(),2()()22
r r n m n r r m E X n r m n +Γ-=>ΓΓ 解释：如果21m X χ和22n X χ相互独立，则1,2m n X m
F X n 。
例如两个取自正态母体的样
本方差之比服从F 分布。
F 分布用于检验对方差的估计。
布尔分布(,,)Burr αλγ
1
1()()X x f x x αγγααγλλ-+=+
1
11()(1)
1
(),()E X λλαγγααγ
Γ-Γ+=>Γ 2
222()(1)
2
()[()],()Var X E X λλαγγααγΓ-Γ+=->Γ ()(1)
(),()E ω
λωωωλαω
γγλααγΓ-Γ+=>Γ
广义帕累托分布(,,)Pareto k αλ 1()()()()()k X k k x f x k x αααλαλ-+Γ+=ΓΓ+ 22(1)
(),1;(),21(1)(2)k k k E X Var X λλαααααα+-=>=>---()()
(),()()r r r k r E X r k λαααΓ+Γ-=>ΓΓ。