初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：

在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=

∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数

【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

第1题图

①斜边)(sin =A ＝______， 斜边

)

(sin =

B ＝______； ②斜边

)

(cos =A ＝______， 斜边

)

(cos =B ＝______；

③的邻边A A ∠=

)

(tan ＝______，

)

(tan 的对边

B B ∠=

＝______．

例2. 锐角三角函数求值：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，

sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．

求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

典型例题：

类型一：直角三角形求值

1．已知Rt △ABC 中，,12,43

tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=

∠4

3sin AOC 求：AB 及OC 的长．

3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠5

3

sin AOC

(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17

8

sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练：

（西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为

A B C ．12

D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5

3

，那么tan A 的值等于（ ）.

A ．35

B . 45

C . 34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．

求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y

轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．

12

B ．32

C ．35

D ．4

5

3.（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．

4.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3

sin 5

A =，则这个菱形的面积= cm 2．

5.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的

半径为

3

2，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43

6. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )

Ａ．34 Ｂ．43

Ｃ．3

5

Ｄ．

45

A D E

C

B F

7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若

1

tan 5

DBA ∠=

，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2

C ．1

D ．2

8. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3

3

16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.

图6

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长． 例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=

3

1

sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．

例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．

求：sin ∠ABC 的值．

对应训练

1．（2012•重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是

A.23 cm 2

B.43 cm 2

C.63 cm 2

D.12 cm 2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 （2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．

12 B ．55 C ．1010 D ．25

5

对应练习：

1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到

''B AC ∆，则'tan B 的值为

A.

41 B. 31 C.2

1

D. 1

3．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）

A ． 5 5 B. 2 5 5 C.1

2 D. 2

特殊角的三角函数值

锐角α

30°

45°

60°

C

B

A A

B O