【2020同济大学(电磁学)】ch1质点运动学

其中
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
速度的大小为
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
陕西科技大学
cos vvx , cos vvy , cos vvz
x r cos t, y r sin t
位矢表示为
y
y
O
r
P(x, y)
ts
x
O
'
x
r
xi
yj
r
cos ti
r
sin
tj
自然坐标表示为 s rt
陕西科技大学
例 如图所示，以速
v
度v 用绳跨一定
滑轮拉湖面上的
l0
船，已知绳初长 l 0，岸高 h
h
l (t )
求 船的运动方程 解 取坐标系如图
1.2.2 速度( 描述物体运动状态的物理量 )
1. 平均速度 t r
v Δr r(t t) r(t)
Δt
t
r(t) r
o
r(t t)
2. 瞬时速度
v lim r(t t) r(t) dr
t0
t
dt
讨论
vA
A
B' B
r
(1) 速度有矢量性、瞬时性和相对性。
(2) 注意速度与速率的区别 v dr , v dr ds v dr
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
陕西科技大学
cos aax cos aay
cos aaz
运动学的二类问题
1. 第一类问题 已知运动学方程，求 r, s,v, a
例
已知一质点运动方程 r
2t
i (2 t2) j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(2) t =2s 时v，a
dt dt dt
dt
陕西科技大学
1.2.3 加速度（反映速度变化快慢的物理量）
v (t )
1. 平均加速度 t v a v v(t t) v(t)
A r(t)
t
t
v(t t)
B
r(t t)
2. 瞬时加速度
O
a
limv(t
t0
t) t
v(t)
dv dt
d2r dt 2
讨论
v (t) v
1.3.3 加速度
a dv dt
dv x
i
dv
y
j
dv
z
k
dt dt dt
d2x
i
d2
y
j
d2z
k
dt 2 dt 2 dt 2
a
axi
ay
j
azk
其中
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2y dt 2
,
az
dv z dt
d2z dt 2
大小为
a
第1章 质点运动学
本章内容：
1. 1 确定质点位置的方法 1. 2 质点的位移、速度和加速度 1. 3 用直角坐标表示位移、速度和加速度 1. 4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度 1. 5 圆周运动的角量表示 角量与线量的关系 1. 6 相对运动
1.1 确定质点位置的方法
1.1.1 质点运动学的基本概念 质 点: 可忽略形状和大小的物体 质点系: 若干质点的集合。
解 (1)
r1
2i
j
r2
4i
2
j
r
r2
r1
(4
2)i
(2
1)
j
2i
3
j
(2)
v
dr dt
2 j 2t
j,
a
d 2r dt 2
dv dt
z
参考物 r
O
x
y
P(x, y,z)
zy
x
位置矢量的大小：
r
x2 y2 z2
位置矢量的方向：cos
x
cos
y
r
r
cos
z
r
陕西科技大学
3. 自然坐标法 已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。
s st
1.1.3 运动学方程
参考物
•
O
s
s
P•
位置矢量 r r (t) x(t)i y(t)j z(t)k
直角坐标 自然坐标
x x(t)
s s(t)
y y(t) z z(t)
意义 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度。
陕西科技大学
例 一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。
解 以圆心O 为原点。建立直角坐标系 Oxy ，O 点为起始时刻，设t 时刻 质点位于P（x , y），用直角坐标 表示的质点运动学方程为
有质量而无形状和大小。
参考系:为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体
作为参考，被选作参考的物体称为参考系。
参照物 + 坐标系 任意性、方便性。
Z
地面系
日心系
o
Y
陕西科技大学
X 地心系
讨论 (1) 运动学中参考系可任选。 (2) 参考物选定后，坐标系可任选。 运动形式相同，数学表述不同。
(3) 常用坐标系
v(t t)
(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。
(2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
陕西科技大学
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
1.3.1 位移
时刻t ，质点位于P ，位矢为 r1 时刻t + t ，质点位于Q ，位矢为 r2
建如图r1所示x1坐i 标y，1 则j
直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系（ r,θ, ）
柱坐标系（ , , z ） 自然坐标系 ( s )
z
P
O
y
参照物
x
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1.1.2 确定质点位置的方法 1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位置矢量矢法
质点某时刻位置P 由位置矢量 r 表示。
r xi yj zk
z1k
r2
x2i
y2
j
z2k
x
z P (x1, y1, z1) r1 r
O
r2
y Q(x2, y2, z2)
时间 t 内质点的位移为 r r2 r1
r
xi
yj
zk
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
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1.3.2 速度 1. 平均速度 2. 瞬时速度
O
x(t)
x
依题意有
l(t) l0 v t
坐标表示为 x(t) (l0 v t)2 h2
说明
质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正
确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确 起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
陕西科技大学
1.2 质点的位移、速度和加速度
1.2.1 位移
z
PQ
r (t
t)
r (t)
r
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位 ) 的变化。
讨论：
O x
(1) 位移是矢量（有大小，有方向）
位移不同于路程 Δr Δs PQ
(2) 位移与坐标系原点的位置无关 (3)分清 r 与Δr 的区别
陕西科技大学
O O
P s
r(t
r
) r(t
Q
t)
y
r
r