数值分析分节复习(第四节数值积分)
第四章 数值积分
要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式
（2）插值型求积公式的构造及余项表达式
（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明
（4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式
（5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式
（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分
区间[a,b]的等分次数n
（7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论
（8）高斯型求积公式的概念
复习题：
1、已知求积公式为
(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式；
(2)
用此求积公式计算定积分1
-? 解：（1）依次取2
345()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端，
而当取6()f x x =时，左端 ≠可端
可见该是求积公式具有5阶代数精确度
由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =- 所以该求积公式为Gauss 公式 （1
）对于()f x = 有 故
3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分
?10dx e x ，比较二者的精度 解：利用梯形公式，
10101() 1.85922
x e dx e e ≈+≈? 注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分?-10dx e x
。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的
代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过61021-? 解：（1）011()0.68392T e e --=+≈， 00.511(4)0.63236
S e e e ---=++≈ （2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12
T b a R f f e η
ηη-=-∈-''=- 辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800S f f e b a R ηηη-=-∈-=- 可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p =
（3）根据复合辛普森公式的余项 5
(4)44()[](2880288)0n S b a e R f f n n
η
η----== 注意到44
1|[]|28802880n S e R f n n η-=≤
令64111028802n -≤?，解得 5.133n ≥ 可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求
5、确定下列公式
中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2
()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 4 016 + 3A B C A C A C ??++=?-+=???=?
， 解得 8343A C B ?==????=-??
得公式：224()(2(1)(0)2(1))3f x dx f f f -≈--+?
取3()f x x =代入公式，有左端=右端
取4
()f x x =代入公式，有左端≠右端 可见该求积公式代数精确度为3p = 6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度 解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433A C h B h ==
=- 代数精确度为3p =
最新第六章习题答案-数值分析
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
第六章习题答案数值分析.docx
第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2
数值分析 第六章 习题
第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.
数值分析习题六解答
习 题 六 解 答 1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。 (1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=? 解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--= 由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2； x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出： 可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。 （2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++= 由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1， 02 1000 (sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+= x 2=0.2， 122110.1 (sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2 x y y h x e e --=++=+?+=+?+= 指出： 本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。 2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。 22(00.5) (0)1 y x y x y '?=-≤≤? =? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 2 1(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-= 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：
第六章非线性方程的数值解法习题解答
第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。
数值分析6
31.（1）解：x (k+1)=（I-αA ）x (k)+αb 因此迭代矩阵B= I-αA=1?3α?2α?α1?2α 其特征值λ1=1-4α；λ2=1-α； 因为迭代收敛的充要条件是：ρ(B)<1，等价于|λ1|<1,且|λ2|<1 因此0<α<1/2时，迭代矩阵收敛。当谱半径最小时，收敛速度最大，等价于|λ1|和|λ2|在(0,1/2)上的最小值，求得当α=3/5时，谱半径最小，迭代速度最快。 (2)已知对称正定矩阵A 的最大和最小特征值分别为：λ1和λn ，且二者均大于0. 不妨设A 的特征值为λ，特征向量为x 。则(I-αA)x=x-αAx=(1-αλ)x 即迭代矩阵B= I-αA 的特征值为1-αλ,而且迭代矩阵收敛的充要条件是ρ(B)<1，即矩阵B 的特征值绝对值最大的要小于1，即|1-αλ1|<1且|1-αλn |<1，求得0<α<2(λ1)-1； 当谱半径最小，即在区间0<α<2(λ1)-1内，|1-αλn |和|1-αλ1|<1的最小值，求得α=2/(λ1+λn ) 32. 证明：因为SOR 方法的迭代矩阵L w =(D-wL)-1[(1-w)D+wU] 假设L w 存在一个特征值λ满足|λ|>1。 所以det(λI-L w )=0 所以det((D-wL)-1[(1-w)D+wU])=det(D-wL)-1*det[(1-λ-1(1-w))D-wL-λ-1wU]=0 (1) 由于矩阵A 是严格对角占优矩阵，所以a ii >0，因此(D-wL)-1的主对角
元素大于零，即det(D-wL)-1>0。 而由于|λ|>1，且0
清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明： 1 1 * *0 1 1 * *011**0 ()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()n m n m n m n m n m n n m n m x T x T x dx x T x dx t x x T x T x dx t T t dt t T t dt T x x T x T x dx t T t ρρρ---=--=-== = ???? ?令，则 由切比雪夫多项式1 01=02 m n dt m n m n ππ ≠??? =≠??==??? 所以*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ= *00*11* 22 2 2*33233()(21)1()(21)21 ()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x x T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+- 14.已知实验数据如下： 用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ?????? =???? ?????? ?? 即 5 5327271.453277277699369321.5a b ??????=???????????? 解得 0.972579 0.050035a b =?? =? 拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差 2 4 2 2 0[]0.015023i i i y a bx σ==--=∑ 21.给出()ln f x x =的函数表如下： 用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有 1 100.60.5 0.693147 0.510826 0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52 j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑ 所以1ln0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=-- 2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x === 由拉格朗日插值定理有
数值分析第六章 13和13题答案
13- 设函数()f x 具有二阶连续导数,{}(*)0,'(*)0,''(*)0,k f x f x f x x =≠≠是由牛顿迭代 法产生的序列,证明 121''(*)lim ()2'(*)k k k k k x x f x x x f x +→∞--=-- 解 牛顿迭代法为 1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=- = 故 1() '()k k k k f x x x f x +-=- 2112112 121212211()'()()'()()()(*)['()][()(*)]'() '()['()](*)'()['()](*)k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x x x f x f x x ξξ+--------??-=-=??-?? --=---- 其中k ξ介于k x 与*x 之间,1k ξ-介于1k x -与*x 之间,根据式(7.14)得 211222111'()['()]*lim lim () '()['()](*)1''(*)2'(*)k k k k k k k k k k k k x x f f x x x x x f x f x x f x f x ξξ+-→∞→∞-----=-=--- 公式7.14----12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞= 15- 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法) 21()(())()k k k k k k f x x x f x f x f x +=-+- 设()f x 有二阶连续导数,(*)0,'(*)0f x f x =≠,试证明该方法是二阶收敛的. 证明: 将(())k k f x f x +在k x 处作台劳展开,得 21(()) ()'()()''()()2k k k k k k f x f x f x f x f x f f x ξ+=++
数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案汇编
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4 ()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
数值分析实验——数值积分
桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告 实验室： 06406 实验日期： 2014 年 11 月 21 日 院（系） 数学与应用数学 年级、专业、班 姓名 成绩 课程 名称 数值分析实验 实验项目 名 称 实验积分 指导 教师 李光云 一 、实验目的 通过实验掌握利用Matlab 进行数值积分的操作，掌握Matlab 中的几种内置求积分函数，进一步理 解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分 二、实验原理 Matlab 中，有内置函数计算积分： >> z = trapz(x,y) 其中，输入x ，y 分别为已知数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。 >> z = quad(fun,a,b) 这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun 为被积函数，a ，b 为积分区间。 我们还可以利用复化梯形公式 ()()()()?? ? ??++-=∑-=11022n i i n x f x f x f n a b I 三、使用仪器，材料 电脑 MATLAB 四、实验内容与步骤 1. 编写复化辛普生公式的Matlab 的程序。 2. 利用复化梯形法程序计算1 2041I dx x =+?，记录下计算结果随着n 增加的变化情况，画图与复化梯形公式的情况比较收敛速度。 3. 积分 ?dx x x sin 的原函数无法用初等函数表达，结合Matlab 复化梯形程序，用描点法绘制其原函数?x dt t t 1sin 在区间[]50,1的图形。 五、实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
一、 复化Simpson公式程序： function s=Simpson(a,b,n) %输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数. h=(b-a)/(n*2); s1=0; s2=0; s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加. for k=1:n x1=a+h*(2*k-1); %利用循环计算其他点的相加. s1=s1+f(x1); end for k=1:(n-1) x2=a+h*2*k; %利用循环计算其他点的相加. s2=s2+f(x2); end s=s+h*(4*s1+2*s2)/3; 画图程序 format long; % k为等分区间个数，t存储积分值. k=2:1:40; for i=1:length(k) t(i)=Simpson(0,1,k(i)); disp([k(i),t(i)]); end plot(k,t,'.','MarkerSize',20) 二、 Simpson(0,1,26) ans = 3.14159265358779 >> Untitled6 2.00000000000000 3.14156862745098 3.00000000000000 3.14159178093604 4.00000000000000 3.14159250245871 5.00000000000000 3.14159261393922 6.00000000000000 3.14159264030538 7.00000000000000 3.14159264832065 8.00000000000000 3.14159265122482
数值分析第6章习题
数值分析第六章整合版（黑组） 一、填空题 1、已知 ()01 P x =，()1P x x =， () () 2 2312 x P x -= ，根据勒让德多项式的递推关系，则 求()3P x =（3532x x - ） 解：勒让德多项式的递推关系为()()()()()11121n n n n P x n xP x nP x +-+=+-，n=1，2……. 将()1P x x =，()() 2 2312 x P x -= 代入上式即可求出()3P x =3532 x x - 2、若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳3次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上存在5 个交替为 正、负偏差点。（考点：切比雪夫定理） 3、切比雪夫正交多项式可表示为(x)cos(narcosx)n T =，(x)n T 是最高次幂系数为12n - 的n 次多项式。（考点：切比雪夫多项式性质） 4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点 （考点：最佳一致逼近定理3） 二、选择题 1、求函数3)1()(+=x x f 在区间[0,1]，],[,21b a x x ∈上的一次最佳一致逼近多项式（D ） A x +4358.0 B x 34358.0+ C x 54358.0+ D x 74358.0+ 2、设 的2-其中 为定义在[a,b]上的（A ） A 权函数 B 反函数 C 幂函数 D 函数 3、x e =）（x f ，-1≤x ≤1，且设= p(x)x a a 1 +，求a a 1 , 0使得)(x p 为)(x f 于[] 1,0上的最佳平方逼近多项式（A ） A:() 1021--=e e a ,311e a -= B:() e a e a e 111 03 1,2---== ) (x ρ],[)(b a C x f ∈()f x
数值分析第六章思考题
思考题 10.设m T 是m 2+1个节点的复化梯形值，试证：143m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。 解：由复化梯形公式： 11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑?，其中b a h n -=。 由题中条件可知：节点为m 2+1时 11 21112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b -==++=-+++=-+++?∑∑ 节点为m+12+1时： 11111121112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b ++++-==++=-+++=-+++?∑∑ m+12+1的复化Simpson 公式为： 21112111()[()()4()2()]3(2)i m m m b i a k k b a f x dx f a f b f x f x -+-==+-≈+++∑∑? 12111111211 2121 411433 11312(2)2(2)[()()4()2()]3(2)[()()2()]2(2)[()()2()]2(2)m m m i m m m m m m m m m i k k k k T T S b a b a b a f a f b f x f x b a f a f b f a b b a f a f b f a b +-++++-====++-==++-=+---+++-+++?-+++?∑∑∑∑
数值分析第六章小结
第6章 数值积分 --------学习小结 一、 本章学习体会 本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes 求积公式、复化梯形公式与复化Simpson 公式、Gauss 型求积公式等。本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。 例如：高阶Newton-Cotes 公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes 公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a ，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。通过运用matlab 软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。 二、本章知识梳理 1 求积公式及其代数精度： 求积公式的一般形式： () 0()()n b n k k a k f x dx f x λ=≈∑? 截断误差或余项：)()(0 k b a n k k n x f dx x f R ?∑=-=λ 代数精度：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。 2 插值型求积公式： () ()()n b n k k a k f x dx f x λ =≈∑? 其中 ()()(0,1,...,) b n k k a l x dx k n λ ==?
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答 (1)()()123(1)()213(1)()()312(0 1.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186, 2.99999k k k k k k k k k T x x x x x x x x x x x +++ì??=---??????=-+í??? ??=-++????==-(17) 解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求 (1)()() 123(1)(1)() 213(1)(1)(1) 312 (0) (8) 15,2.0000012) 2112555 115 4213 3510 10 (1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012) T k k k k k k k k k T T x x x x x x x x x x ++++++-ì??=--- ??????=-+í??? ??=-+ + ????==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求
1 2 1 2:00.40.4.0.40 0.80.40.80||(0.8)(0.80.32) ()1.09282031,00.4 0.4() 00.160.6400.032 0.672D L U I B D L U l l l l - -骣--÷ ?÷?÷? ÷?÷=+= -- ?÷?÷÷? ÷?÷--÷ ?桫 -=-+- =>-? -- ????=-=-????è l J J J S 解(a )雅可比法的迭代矩阵 B （）B B 故雅可比迭代法不收敛 高斯塞德尔法迭代矩阵 1 3 1 ()||||0.810 2210122 0||02 2 02 300 2S J B D L U I B D L U l l ￥ - -?÷÷÷÷ ÷÷÷÷÷÷?÷??< 骣-÷ ?÷?÷? ÷?÷=+= --?÷?÷÷? ÷?÷--?÷ 桫 -=骣 -÷?÷?÷?÷ ?÷=-= -?÷?÷÷?÷?÷?桫 l l S J J S B 故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b )雅可比法的迭代矩阵 B （）， （B ）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵 B （）2 ||2S I B l l l ÷ -=- l S （）， （B ）=2 〉1故高斯-塞德尔法不收敛。
数值分析分章复习(第四章数值积分)
第四章 数值积分 要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分 区间[a,b]的等分次数n （7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题： 1、已知求积公式为 ( )( )(1 1158059f x dx f f f -? ?≈++?? ? (1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2) 用此求积公式计算定积分 1 -? 解：（1）依次取2345()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度 由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =- 所以该求积公式为Gauss 公式 （1 ）对于()f x = 有 ()0.5166, (0)0.426460.f f ===± 故 1 0.5166801 (50.9530.426450.51669 )-?+?+?≈≈?
3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分?1 dx e x ，比较二者的精度 解：利用梯形公式，1 01 1() 1.85922 x e dx e e ≈ +≈? 注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分 ? -1 dx e x 。 （1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过6102 1 -? 解：（1）011()0.68392T e e --= +≈， 00.511 (4)0.63236 S e e e ---=++≈ （2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12 T b a R f f e η ηη-=-∈-''=- 辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800 S f f e b a R η ηη-=-∈-=- 可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p = （3）根据复合辛普森公式的余项 5(4)44 ()[](2880288)0n S b a e R f f n n η η----== 注意到44 1 |[]|28802880n S e R f n n η-=≤ 令 64 11 1028802 n -≤?，解得 5.133n ≥ 可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求 5、确定下列公式 ? -++-≈2 2 )1()0()1()(Cf Bf Af dx x f 中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2 ()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 4 016 + 3A B C A C A C ? ?++=?-+=???=? ， 解得 83 43A C B ?==????=-??
《数值分析》第六章答案
习题6 1．求解初值问题 y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y 取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解 x e x y 21+-=相比较。 解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表 i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924 2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y )() (1i i i D i y x h y y ++=+ )() (11) (1D i i i C i y x h y y +++++= )(2 1) (1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i 计算结果列表如下 i i x i y ) (1D i y + ) (1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.031147
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解 （第6章 MATLAB 数值计算） 一、实验目的 1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。 2. 掌握代数方程数值求解的方法。 3. 掌握常微分方程数值求解的方法。 二、实验内容 1. 求函数在指定点的数值导数 232()1 23,1,2,302 6x x x f x x x x x == 程序及运行结果： 2. 用数值方法求定积分 (1) 22210 cos 4sin(2)1I t t dt π = ++? 的近似值。 程序及运行结果： 《数学软件》课内实验 王平
(2) 222 1I dx x π =+? 程序及运行结果： 3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组 6525494133422139211 x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-??-+-=? ? ++-=??-+=? 程序及运行结果： 4. 求非齐次线性方程组的通解 123412341 2342736352249472 x x x x x x x x x x x x +++=?? +++=??+++=? 5. 求代数方程的数值解 (1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。 程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）： (2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。 23 sin ln 70 3210 50y x y z x z x y z ?++-=?+- +=??++-=?
6. 求函数在指定区间的极值 (1) 3cos log ()x x x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。 (2) 332 12112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。 7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线 22 50(0)0 '(0)0xd y dy y dx dx y y ?-+=??? =??=??? 程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）： 令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组： '112' 21 12 5 1(0)0,(0)0 y y y x x y y y y ?=-??=??==?? 8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线 123213 312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1 y y y y y y y y y y y y =??=-?? =-??===? 程序及运行结果：
几种常用数值积分方法的比较
学科分类号110.3420 本科毕业论文 题目几种常用数值积分方法的比较 姓名潘晓祥学号1006020540200 院（系）数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学年级2010 级 指导教师雍进军职称讲师 二〇一四年五月
贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月日
贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书 毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较 作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级 所属学院数学与计算机科 学学院 专业数学与应用数学班级四班 指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日 期 2013年7月10日 主要目标 1．了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法； 2．对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析； 3．对各积分方法进行比较总结出优缺点。 主要要求 通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析，并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法，对几种常用数值积分方法的分析很必要。 主要内容 本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较，并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
《数值分析》习题6
习题六 （第1、3、5、6、7、9、10题） 1．求解初值问题 y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y 取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解 x e x y 21+-=相比较。 解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表 i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924 2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y )() (1i i i D i y x h y y ++=+ )() (11) (1D i i i C i y x h y y +++++= )(2 1) (1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i 计算结果列表如下 i i x i y ) (1D i y + ) (1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.031147