cad第四章

[x'
y '] = [x
− 1 0 y ] = [− x − y ] 0 − 1
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2) 对x轴对称变换 当A=1，D=-1，变换矩阵为：
[x'
y '] = [x
1 0 y ] = [ x − y] 0 − 1
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3）对Y轴对称变换 当A=-1,D=1时。变换矩阵为：
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四．尺寸驱动法
1．概念 是一种交互式的变量设计方法。首先按设计者的意图，先 将草图快速勾画于屏幕之上，然后根据产品结构形状需要，为 草图建立尺寸和形位约束。草图就受到这种约束的驱动而变得 横平竖直起来，尺寸大小也一一对应。 2．特点 没有了繁琐的几何坐标点的提取和计算，保留了图形所需 的矢量，尺寸绘图质量好、效率高;它使设计者不再拘泥于一 些绘图细节，而把精力集中在该结构是否能满足功能要求上， 支持快速的概念设计，怎么构思就怎么画，所想即所见，绘图 和设计过程形象、直观。
第二步: 完成所需要的旋转
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第三步: 将旋转后的结果平移回原来的中心Q
所得的变换结果是上面的三个矩阵的乘积
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2．相对任意点的比例变换 利用平移矩阵和比例变换矩阵，经过三步有序的变换， 可以得到相对于任意一点Q(L,M)的比例变换的组合矩阵。其 变换顺序如下： 第一步： 将原图中任意一点Q，平移到坐标原点，整个图形随之移 动，这样为下一步使用相对原点的比例变换矩阵做好了准备
[x'
y '] = [x
− 1 0 y ] = [− x变换
在变换矩阵中，令变换矩阵的主对角线上的元素 A=D=1,对点(X,Y)进行变换。变换矩阵为：
[x'
y '] = [x
1 y ] C
B = [ x + Cy 1
y + Bx]
从上面的变换公式可以看出，C和B两元素分别使点产生 了沿X方向的比例移动和沿Y方向的比例移动。其图形的变化 类似于金属的错切变形，如下图C所示，这种移动称为错切， 这种变换称为错切变换。
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点沿x轴和y轴平移M，N，平移表达式为：X’=X+M， Y’=Y+N 对应的变换矩阵为：
平移效果如图所示。
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7．通用变换矩阵： 通用变换矩阵：
综上所述，我们可以总结出以上变换的通用变换矩阵：
所有变换情况s=1，Q=P=0 1）恒等变换：，M=N=0，C=B=0，A=D=1 2）比例变换：B=C=M=N=0，A，D大于零 3）对称变换：对X轴A=1，D=-1，B=C=M=N=0 对Y轴A=-1，D=1，B=C=M=N=0 对原点A=D=-1，B=C=M=N=0 4）错切变换：A=D=1，M=N=0，B，C不同时为0 5）旋转变换：A=D=CosQ，C=-sinQ，B=sinQ，M=N=0 6）平移变换：A=D=1，B=C=0，M，N不等于0
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2．变换距阵
设[A]变换后的点为[B]， 即[B]的表达式可用[A]与一 个变换矩阵[M]的乘积来表示。更确切地说，[B]可以表达为:
新点的位置取决于变量A，B，C，D的值。
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二．基本变换类型
1.恒等变换 1.恒等变换
点（x，y）在变换前后位置不变。即x`=x,y`=y，变换矩 阵为：
[ B ] = [x'
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第一步:沿Y轴平移-b使直线过原点。平移后的图形如图B。
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第二步:顺时针旋转θ角，使直线y=ax+b位于X轴上。旋转后 的情形如图C所示。
第三步:物体对X轴对称变换，变换后的图形如图d
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第四步 应用步骤二的逆过程, 结果如图e
第五步 应用步骤一的逆过程,结果如图f
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第四、第五步的目的是返回物体到原来的位置。 表达这五步的完整变换是
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一．三维图形的基本变换
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第二节 二维图形变换的基本原理
在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的连 线构成，点是最基本的图形元素，图形的几何变换，实际上 是点的坐标变换。
一．概述
1．点的表示
在二维空间中，表达一个点P可以用直角坐标(X,Y)来表示， 其矩阵形式为[x,y]或 x ，表示点的矩阵通常被称为点的位 y 置向量， 若一个图形有多个点组成，则其矩阵形式为
第四章 计算机绘图
第一节 计算机绘图的方法 第二节 第三节 二维图形变换的基本原理 三维图形变换的基本原理
第四节 复合变换 第五节 第六节 窗视变换与裁减 隐藏线与隐藏面的处理
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第一节 计算机绘图的方法
一、轮廓线法
1．概念 将组成任何一个二维图形的线条逐一绘出，它只取决于线 条的端点坐标，不分先后，没有约束 2．特点 比较简单，适应面也广，但绘图工作量大、效率低，容易出 错，尤其是不能满足系列化产品图形的设计要求，生成的图形 无法通过尺寸参数加以修正。图形重用率低。 3．绘图方法 1）静态的自动绘图方式：编制程序，成批绘制图线，程序 一经确 定，所绘图形也就确定了，若要修改图形，只有修改程 序，这是一种程序控制的。 2）交互式绘图软件系统：把计算机屏幕当作图板，通过鼠 标或键盘点取屏幕上的菜单，按照人机对话方式生成图形， AutoCAD绘图软件就属于这种方式。
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二、参数化法
1．概念 建立图形与尺寸参数的约束关系，每个可变的尺寸参数用 变量表示，并赋予一个缺省值。绘图时，修改不同的尺寸参数 即可得到不同规格的图形。 2．特点 简单、可靠、绘图速度快，但不适于约束关系不定的、结 构可能会经常变化的新产品的设计，通常用于建立已定型系列 化产品的图形库。 3．绘图方法 1）程序绘图 程序绘图需将参数代入程序或在程序 运行初期输入其中; 交互绘图则先将赋有缺省值的参数图以图形文件形式存入系统， 使用时 调入，再以人机对话方式逐一改变参数。 2）交互绘图
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第二步，实施比例变换。
第三步，将任意点Q平移至原来位置，整个图形随之移动。
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这样就完成了相对任意点的比例变换。上述连续变换的 组合矩阵为：
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3．对任意直线作对称变换 假如要将一个三角形对直线y=ax+b作对称变换，如图a 所示 ,也可以使用基本的变换方法来实现。 直线与Y轴的交点(0,b), 与X轴的夹角θ =Arctg｜a｜ 对任意线y=ax+b作对称变换具体步骤如下:
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3．特点 这种方法可用于新产品的设计和绘制，图形元素的定义和 建库都是针对本单位产品形状特征的，很难建立一个包罗万 象的、通用的图形元素库。图形元素拼合法要以参数化法为 基础，每一个图形元素实际上就是一个小参数化图形。 4．绘图方法 图形元素拼合法既可以交互方式通过屏幕菜单拾取选项加 以拼合，也可以通过在总控程序中选择调用各图形元素子程 序实现操作。
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当A,D是大于0的任何数时，A＝D>1图形放大,A＝D<1 图形缩小。且图形只是大小发生了变化,图形形状不变， 从图中完全可以看出，放大的结果都是相对于XY坐标系 统的原点进行的。 当A≠D,其形状就会发生畸变。 下图为比例变换的几种情况。
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3.对称变换 3.对称变换
在变换矩阵[M]中，当A或D或者两者都是负值时，其它都 为零。变换后产生的坐标与原坐标关于X轴、Y轴或原点对称， 如下图所示。这种产生对称图形的变换称为镜像变换或对称 变换。 1) 对原点对称变换 当A=D=-1，其余为零，变换矩阵为：
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尺寸驱动法 基本思想： 1）基本思想： 在工程图中，图元的形、位是由尺寸标注确定的， 通过变动所标注的尺寸就能自动地得到几何图形的相 应变化。
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2）方法： 方法： 要修改图形，并不是直接修改图形实体特征点 （如直线段的起始点、终点）的坐标，而是修改图 实体的尺寸（参变量）。尺寸标注线可以认为是 形实体的尺寸 实体的尺寸 一个向量 向量，如下图，上面标注的内容就是参变量的 向量 现值，反映了图形的尺寸大小，其方向反映了几何 数据的变化趋势，终点坐标就是要修改的几何数据， 驱动点。被驱动实体所对应 其终点称为该尺寸线的驱动点 驱动点 的点为被动点 被动点。当要改变参数值时，就可以根据尺 被动点 寸线向量计算出新的终点坐标，以此来修改数据库 中被动点的几何数据，使它们得到新的坐标值。
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三、图元拼合法
1．概念 将各种常用的、带有某种特定专业含义的图形元素存储建 库，设计绘图时，根据需要调用合适的图形元素加以拼合。 2．举例 如图所示，图（a）是原图，可以看出轴类零件是由几个 基本的图形元素组成，将这些基本的图形元素做成子程序。调 用不同的图形元素的子程序，即可组成不同类型的轴件。
T=T1×R(-θ) ×T2×R(θ)×T3
在多个矩阵进行级联时，要注意矩阵的顺序。
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第三节 三维图形变换的基本原理
三维变换和二维变换一样，三维坐标的齐次坐标的表达式 为：P=[X Y Z 1],对应的变换矩阵为：
同二维变换一样，也可以分四个区，左上角可以完成，比 例变换、对称变换、旋转变换、错切变换等。左下角完成平移 变换，右上角完成透视变换，右下角完成全比例变换。
θ θ cos sin [x' y'] =[x y] θ θ θ θ =[xcos − ysin ycos + xsin ] θ θ −sin cos
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变换的效果如图所示。
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6．平移变换 齐次坐标
齐次坐标表示法就是用N+1维向量来表示一个N维向量。在 齐次坐标系统中，点(X,Y)用(X,Y,H)来表达，其中H为非零的 一个任意数。点(X,Y)的标准齐次坐标表达为(X/H,Y/H,1)， 由于H是一个任意非零常量，为了简便起见，我们通常取H=1。 齐次坐标系统中的点(X,Y,1)包含有笛卡尔坐标上的点(X,Y)。 采用齐次坐标原2×2变换矩阵现在应扩展成3×3的矩阵: 该矩阵可以分为四个部分，其中左上 角可以完成，比例变换、对称变换、旋转 变换、错切变换等。左下角完成平移变换， 右上角完成透视变换，右下角完成全比例 变换。从变换结果看，3×3的变换矩阵包 含了2×2的变换矩阵的全部结果。
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五．三维实体投影法
1．概念 利用三维几何建模软件系统中提供的二维图投影功能实现 二维图的绘制，再加上一些必要的修改，补充好尺寸标注、公 差和技术要求。 2．特点 设计直观，二维绘图工作量大大减小。另外，因为二维图 是三维实体投影而来，二者之间有着一对一的映射关系，故对 二维图中尺寸变量加以修改后，能直接反馈到三维实体，三维 实体也随之改变。
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如图 5-13中，尺寸线d 可看成为（0，0）到（1， 0）的向量。长度为参量a的现值， 方向为0°，表示 B点将沿水平方向变化。终点D（与B点重合）就是驱 动点。线段L的端点B就是被动点。若令a值为2，尺寸 线向量可算出新的终点坐标（2，0），并替换原数据 中驱动点、被动点的坐标。线段L 伸长为L’，尺寸 线d 也变成d’ ，这就达到尺寸驱动图形变化的目的。
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沿Y轴错切： 假定矩阵中A=D=1，而C=0。这样 (X’ Y’)=(X Y+BX ), 沿X轴错切： 假定矩阵中A=D=1，而B=0。这样 (X’ Y’)=(X+DY Y),
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5．旋转变换
旋转变换是将图形绕某一固定点顺时针或逆时针旋转一 个角度。规定：逆时针旋转方向为正，顺时针为负。绕原点 逆时针旋转θ角的数学表达式为： X’=XCOSθ-YSINθ Y’=YCOSθ+XSINθ 用变换矩阵表示为：
y '] = [x
1 0 y ] = [x 0 1
y]
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2. 比例变换
点按到原点的距离比例放大或缩小，当B＝C＝0，比例 因子为A，D，变换表达式为x`=Ax,y`=Dy,变换矩阵为:
[x'
y '] = [x
A 0 y ] = [ Ax Dy ] 0 D
这种类型的变换矩阵使点(X，Y)在X，Y轴方向上均按A、D 比例发生变比，因而称之为比例变换。 当A=1，D>0时，点的坐标在Y方向发生了伸缩。 当 D=1,A>0时，点的坐标在X方向发生了伸缩。
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三．复合变换： 复合变换：
1．绕任意点的旋转 当一个图形绕任意点Q(L,M)的旋转。如图 所示，由于只 知道绕原点的旋转，对于绕任意一点的旋转，我们可以将问题 分解成三个不同的基本问题，这需要三种连续的变换:
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第一步: 平移旋转中心Q到原点，图形也随着一起平移。 这样旋转中心变为原点，可以利用绕原点的旋转矩阵。