第四章不相交集数据结构Union-Find分析

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给出数组A[1…n]，将其中的元素用如 下方法以非降序有效排序。 step 1.首先将A变换成堆，并使其具有 这样的性质，每个元素的键值是该元素本 身，即key(A[i])= A[i],1 ≤i ≤n。
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step 2.由于A中各项的最大值存储在 A[1]中，可以将A[1] 和A[n]交换，使得 A[n]是数组中最大元素。 (排序：将数据依大小，顺序放在数组 中，最后一个是最大的，故交换A[1]和 A[n])

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算法4.5 HEAPSORT 输入：n个元素的数组A[1…n] 输出：以非降序排列的数组A 1.MAKEHEAP(A) 2. for j n downto 2//j从n依次递减 3. 互换A[1] A[j] 4. SIFT-DOWN(A[1…j-1],1) 5. end for 定理4.2 算法HEAPSORT对n个元素排序 要用O(n log n)时间和Θ(1)的空间。
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定义 4.1 一个（二叉）堆是一个几乎完全的 二叉树，它的每个节点都满足堆的特性： 如果v和p(v)分别是节点和它的父节点， 那么存储在p(v)中的数据项键值不小于存储 在v中数据项的键值。（大顶堆）
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数据结构中堆的定义: 堆是满足下列性质的数列{r1, r2, …，rn}：
ri r2i (小顶堆) ri r2i 1
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删除复杂度： 这些在算法DELETE中描述。有观察结论 3.4可知，堆树的高度是 log n ，所以从 一个大小为n的堆中删除一个元素所需要的 时间是O(log n)。
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算法4.3 DELETEMAX//删除根节点 输入：堆H[1…n] 输出：返回最大值元素 x并将其从堆中删 除 1. x H[1] 2. DELETE(H,1) 3. Return x
，根据递推式求解：O(logn)
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算法4.1 INSERT 输入：堆H[1…n]和元素x 输出：新的堆H[1…n+1]， x为其元素之 一 1. n= n+1{增加H的大小} 2. H[n] x 3. SIFT-UP(H, n)

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插入 （1）先将堆大小加1，然后将x添加到H 的末尾，再根据需要，把x上移，直到满足 堆特性， （2）观察结论3.4可知，如果n是新堆的 大小，那么堆树的高度是 log n ，所以将 一个元素插入大小为n的堆中所需要的时间 是O(log n)。
log n
n ) h 1 2
（ 1）
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数论上存在如下等式成立：
x kx 2 (1 x ) k 0
k

设x=1/2带入（1）的右边的和式
h 2 2 k 2 1 2 (1 ) h 0 2

1
O( n
h 0
log n
(k i)2
i 1
k 1
i
2 (k ) 2 (k 1) ... 2 (1) 2n
0 1
k 1
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观察sift-down函数，每一次循环过程，包含有 两个if语句，故最多两次元素比较，故元素比较的总 次数上界是2*2n=4n； 观察下界：调用sift-down函数至少要执行一次 循环，所以元素的最小比较次数应为: 2*n/2>=n-1。 定理4.1 算法MAKEHEAP用来构造一个n个元素 的堆，令C(n)为执行该算法的元素比较次数，那 么n-1≤ C(n) ＜4n。因此，算法需要Θ(n) 时间和 Θ(1) 空间构造一个n元素的堆。
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看另外一个堆建立方法： 在Θ(n)的时间内，用n个元素来建 立一个堆，下面给出这种方法的实现细 节。

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(1) 将堆H[1…n]的树的节点以自顶向下、 从左到右的方式从1到n编码。
(2)把一棵n个节点的几乎完全的二叉树 转换成堆H[1…n]。 (3) 从最后一个节点开始（编码为n 的 那个）到根节点（编码为1的节点），逐 个扫描所有的节点，根据需要，每一次将 以当前节点为根节点的子树转换成堆。
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过程：Sift-up算法 输入：数组H[1…n]和位于1和n之间的索引i 输出：上移H[i]，以使它不大于父节点 1.done false 2.if i=1 then exit //节点i是根 3.repeat 4. if key(H[i])>key(H [i/2 ]) then 互换H[i]和H [i/2]//对比交换 5. Else done true 6. i i/2 7. Until i=1 or done
第四章
堆和不相交集数据结构
4.1 引言
4.2 堆 4.3 不相交集数据结构
1
4.2 堆
在许多算法中，需要支持下面两种运 算的数据结构：
插入元素和寻找最大元素。
支持这两种运算的数据结构称为优先队 列。 普通队列:那么寻找最大元素需要搜索整 个队列，开销较大；
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排序数组: 那么插入运算就需要移动很多元素， 开销也较大. 优先队列的有效实现是使用一种称为 堆的简单数据结构。
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算法复杂度分析： (1)设T是一个完全二叉树，高度是k=logn 。
(2)设A[j]对应第i层的第j个结点，则调用 sift-down函数需要调用的次数应该最多是 k-i(注：k是树的高度)（自底而上扫描连接 的数据）。 (3)根据二叉树的理论知：二叉树的第i层最 多有2i个结点，则循环的上界应该为：
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Sift-down 算法： 前提： 当i≤n/2 , 设H[2i]和H[2i+1]中最大值为 max，如果H[i]中元素的键值变成了小于 max，这样就违反了堆的特性，树就不再 表示一个堆。 调整策略： 使H[i]渗到二叉树中适合它的位置上；
沿着这条路径的每一步，都将H[i]键值 和存储在它子节点中的两个键值里最大的 那个相比较。
n ) O (2 n ) O ( n ) h 1 2
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4.2.3 堆排序 算法SELECTIONSORT(选择排序)的复 杂度： 用线性搜索来找最小值的时间需要用 Θ(n)的时间，算法就要用Θ(n2) 时间。 如何提高选择排序的复杂度呢，使用堆 是一个好的选择。
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这时， A[1] 中的元素可能小于存放在 它的一个子节点中的元素，于是用过程 SIFT-DOWN将A[1…n-1]转换成堆。 (调整堆) 接下来将 A[1] 和A[n-1]交换，并调整 数组A[1…n-2]成为堆。交换元素和调整 堆的过程一直重复，直到堆的大小变成1 为止，这时A[1] 是最小的。
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算法复杂度分析
Sift_down的复杂度分析： （1）以i结点和2i+1,2i+2的调整复杂度所 用时间为 （2）以2i+1或2i+2结点为父结点来调整的时间最坏是多 少？ 发生调整的几率的树最多是2n/3，（即最底层恰好是 半满）。 则：
(1)
T (n) T (2n / 3) (1)
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一个n元素的堆的高度是 ，在任意的高度h上，最多有结点数
log n
h 1 n / 2
设SIFT-DOWN()在h层上的作用时间是O(h)，则 应该有一个上确界：
log n

h 0
n O(h) O(n h 1 2 h 0
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删除最大值复杂度分析： （1） 在堆中返回最大键值元素需要Θ(1) 的时间，因为这个元素是树的根节点。 (2)修复堆需要一定的时间。 显然，这项运算的时间复杂性就是删除 运算的时间复杂性，即O(log n)。
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4.2.2 创建堆 给出一个A[1…n]，创建一个包含这些元 素的堆是容易的： 从空的堆开始，不断插入一个元素，直 到A完全被转移到堆中为止。 因为插入第j个键值用时O(log j)，因此 用此方法创建堆栈的时间复杂性是O(n log n)。
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元素H[j]的父节点如果不是根节点，则存 储在H[ j/2 ]中。
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4.2.1 堆上的运算 下面是两个辅助运算 Sift-up 运算 : 前提：假定对于某个i>1, H[i]变成了键值 大于它父节点键值的元素，非堆结构。 处理方案：调整破坏堆的数据的位置； 实际方法： 沿着从H[i]的根节点的唯一一条路经， 把H[i]移到适合它的位置上。在沿着路径的 每一步上，都将H[i]键值和它父节点的键值 H[i/2 ]相比较。
见例4.3 创建堆的例子(手写)
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算法MAKEHEAP构建了一个堆，其 数据项是存储在数组A[1…n]中的元素。 算法 4.4 MAKEHEAP 输入：n个元素的数组A[1…n] 输出： A[1…n]转换成堆 1. For i n/2 downto 1 2. SIFT-DOWN(A, i) 3. End for //注：叶子节点不需要处理，所以必须 从n/2开始处理，A[n/2+1]， A[n/2+2],..A[n]对应于数的叶子节点

堆的特性蕴含着：沿着每条从根到叶子 的路径，元素的键值以非升序排列。 （ 大顶堆）
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有n个节点的堆T（一棵几乎完全的二叉 树），可以有一个数组H[1…n]用下面的方 式来表示。
T的根节点存储在H[1]中。 假设T的节点x存储在H[j]中，如果它有 左子节点，这个子节点存储在H[2j]中；如 果它也有右子节点，这个子节点存储在 H[2j+1]中。
ri
r2i
例如:
36
65 81 73 55 40 49 34 12
r2i+1
27
98
是堆
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对数据结构支持下面的运算： Delete-max[H]：删除最大键值的数据项 Insert[H,x]：插入项x到堆H中 Delete[H,i]：从堆H中删除第i项 Makeheap[A]：将数组A转换成堆