大学物理第十七章
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二、 惠更斯—菲涅耳原理：
波在传播过程中，在同一波阵面S上的各面 元都可看作子波源，所发出的子波是相干波， 经传播而在空间相遇时，可相互叠加而产生干 涉现象。
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
12
2016/11/22
波阵面S上面元dS在P点 引起的振动可表示为：
dS 2 dEp C K ( ) cos( t r 0 ) r K ( ) 2 Ep C cos( t r 0 )dS S r
a sin
nA 1
sin(
a sin u sin ) nA 1 u
其中a是狭缝宽 度，为衍射角。
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2016/11/22
sin u A sin( a sin ) A0 u a sin 其 中u a sin , A0 nA1 .最 后 得:
22
2016/11/22
B
1.0 0.8 0.6
I/I0
0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6
u/
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单缝夫琅禾费衍射的强度分布（三维立体图）
各级明、暗纹中心的角位置
2 BC a sin (2k 1) , 2
BC a sin 2k ,
1 a sin (k ) 2
k 1,2,3...
利用近似条件 sintan 和上述衍射方程，得：
750 (nm) k 1,2,3... 1 k 2
k=1, = 5000 Å (符合题意)；
k=2, = 3000 Å (不符合题意)；
其余更大的k导致的解都在可见光之外
2 当单缝分为奇数倍个半波带时，P点的光强两两 抵消后还剩一个不能完全抵消，因此可产生亮纹， 明纹角位置满足
BC a sin 2k ,
k 1,2,3,
暗纹中心
2 对于衍射角=0的中央位置上，所有平行光线的光 程差都为零，所以是亮纹，称为中央明纹。
中央明纹中心 BC a sin 0
a K
光源
b
17-1 衍射现象
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2016/11/22
二、衍射的分类
菲涅耳衍射：光源到衍 射屏、衍射屏到接收屏 为有限距离的衍射。
衍射屏 光 源 接 收 屏 衍射屏 光 源 夫琅禾费衍射 接 收 屏
夫琅禾费衍射：光源到衍 射屏、衍射屏到接收屏为 无限远距离的衍射。
菲涅耳衍射
17-1 衍射现象
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d sin u 2 ( ) 0 (3)各级明纹：各级明纹中心将出现在 du u
即tan(u) = u决定，求解此方程可知，它们不在相邻两暗纹 的中心点，但是与由半波带法所得的结果接近， u 值为： u1.430，2.459，3.470和4.479，相对光强分别是 0.04718 ， 0.01648 ， 0.00834和 0.00503 。 ( 注意极大的位置与 半波带方法决定的结果有些许区别)
波的衍射 波传播过程中经过障 碍物时，可绕过障碍物 传播。
A B
d
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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波的反射和折射
波的反射 波阵面AB上B点发出子 波到达C点时，A点到 达D点，由于入射波和 反射波在同一媒介，波 速不变。
A1 i i' A E1 E2 n A2 B D n i i' C N
k 1,2,3, k 1,2,3,
x P
sin
对于非常小的角度
1 2k k 1,2,3, 暗 纹中心 2 a ( 2k 1) 1 k 1,2,3,明 纹中心 2 a
a
f
o
中央明纹中心位置
0
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17-1 衍射现象
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线光源的单缝衍射图样
方 孔 衍 射 图 样
圆 盘 衍 射 图 样
3
17-1 衍射现象
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本课时教学基本要求
1 、理解惠更斯 — 菲涅尔原理，了解如何应用该 原理处理光的衍射问题；
2 、掌握半波带法分析夫琅和费单缝衍射光强分 布的规律，会分析缝宽及波长对衍射条纹分 布的影响；
大学物理 甲
第17章 光的衍射
王业伍 yewuwang@zju.edu.cn 浙江大学物理系
2016年11月22日
克里斯蒂安· 惠 更 斯 (Christiaan Huygens ， 1629—1695)荷兰物理学家、天文学家、数学家。 13岁时曾自制一台车床。1663 年他被聘为英国 皇家学会第一个外国会员，1666年刚成立的法 国皇家科学院选他为院士。在摆钟的发明、天 文仪器的设计、弹性体碰撞和光的波动理论等 方面都有突出成就。 菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）法国 土木工程师，物理学家，波动光学的奠基人之 一。 1823 年当选为法国科学院院士， 1825 年被 选为英国皇家学会会员。1827年7月14日因肺病 医治无效而逝世，终年仅 39 岁。菲涅耳的科学 成就主要有两个方面：一是衍射；二是偏振。 惠更斯——菲涅耳原理
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
§ 17-3 单缝夫琅禾费衍射 单缝衍射：平行光线透过一条细长直缝后， 在远处观察屏上呈现出衍射图样的现象。
K L1 S 线光源的 单缝衍射 图样 A B 单缝衍射实验装置图 L2 E
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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一、 菲涅耳半波带法
A B C 3/2 P a θ P0 θ
17-1 衍射现象
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§ 17-1 衍射现象
一、光的衍射现象
机械波如水波、声波在传播过程中，绕过障碍 物的边缘而偏离直线传播的现象，称为波的衍射。 当光遇到的障碍物尺寸与光波的波长相当时，也会 产生光的衍射现象。
17-1 衍射现象
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衍射的特点：
光束在衍射屏上的什么方向上受到了限制，则在接受屏上 的衍射图样就沿该方向扩展；光孔越小，对光束的限制越厉 害，则衍射图样越扩展，衍射效应越厉害。
A A１ B C
P
θ
a θ
P0 3/2
2/2 AB分为两个半波带
分为三个半波带
每条半波带边缘光线到P点的光程差为半个波长，相邻 半波带对应点的光线到P点的光程差为半个波长。 相邻两半波带透射出的光在P点干涉相消。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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二、 明暗纹发生的条件 当N为偶数时， P点的光强两两抵消，P点为暗条纹， 暗纹角位置满足
x
f
P x o
中央明纹位置
x=0
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17-3 单缝夫琅禾费衍射
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中央明纹的宽度
两个第一级暗纹中心之间的距离定义为中央明纹 的宽度，相对应的角距离称为角宽度，则第一级暗 纹（k=1）的衍射角1便是中央明纹的半角宽度 中央明纹的角宽度 0 2 1 2 中央明纹的宽度
nA1 sin u A A0 u 2 sin u I I 0 u2
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sin 2 u I I 0 2 u
单缝夫琅禾费衍射的光谱结构
(1)中央明纹： u=0，I=I0。中央明纹又称为零级主极大； (2)暗纹位置：当u ≠ 0和sin(u) = 0时，asin=k，解和半波 带方法的结论一致;
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理 一、惠更斯原理 媒质中波动所到达的各点 都可以看作一个新的子波源， 这些子波源向空间发射子波， 在以后的任一时刻，这些子波 的包络面就是波在该时刻的新 的波阵面。
A
a
B
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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uΔt
S2
S1 ut
uΔt
S1
S2
用惠更斯原 理求新的波 阵面
上式即为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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K ( )被定义为方向因子:
=0，K ( )=K max ; K ( ) ; , K ( ) 0
2
60 余年后，基尔霍夫 (1882) 进 一步修正了菲涅耳理论中方向 因子的错误。
【例题】如图所示，已知一雷达位于距离路边 d = 15m处，雷达射束与公路成15夹角，天线宽度a = 0.20m，射束波长 = 30mm。求：该雷达监视范围内 公路长L =?
半波带
2/2 AB分为两个半波带
分为三个半波带
在衍射角 方向上，宽为a的单缝两边缘 AB两点到 P 点的光程差为 =BC ，如 BC 为 N 个半波长，以半波长 为间隔，做一系列垂直于BC的平面，将单缝AB分割成 N个同宽度的窄带——半波带。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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M
AD BC ut , 又
ABC ADC 900
Δ BAC 和Δ DCA 全等，则
i BAC DCA i'
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§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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波的折射 设t时刻有波阵面AB ，经Δt时间，子波由B 点传播到C点，相应A 点传播到D点。CD为 折射波的波阵面。由 图可知：
θ1
a 2 f x0 2 x1 a
其他各级明纹的宽度定义为两相邻 暗纹中心的距离，在 很小时有
1 x 2( k 1) 2k x 0 2 a 2 a a 2
f
f
f
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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衍射效应
若波长一定，减小缝宽a，则各级衍射角增大， 衍射现象更为显著，反之，a增大，条纹变细变密衍 射现象逐渐不明显，以至消失。所以几何光学是波 动光学在/a0（即a >> ）时的极限情形。 若a一定，增加波长，则衍射角增大，白光照射时， 出现色散现象，形成衍射光谱，内紫外红。
色散现象
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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【例题】用单色平行光垂直照射到宽度为a = 0.500 mm的单 缝上，在缝后放置一个焦距为 f = 100 cm的凸透镜，则在焦 平面的屏幕上形成衍射条纹。若在离屏上中央明纹中心距 离为1.50 mm处的P点为一明纹，试求：
①入射光的波长；②P点条纹的级数和该条纹对应的衍射角； ③狭缝处波面可分为几个半波带；④中央明纹的宽度。 【解】首先考虑一个在垂直入射的半波带的明纹方程：
BC a sin (2k 1) ,
k 1,2,3, 明纹中心
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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如BC不能分为N个半波长，光 强介于近邻最明和暗纹之间。
a 三、 单缝衍射图样特征 衍射光强分布 I o
中央明纹光强最大，随 着k增加，波带数增多，未 被抵消的波带面积变小， 条纹光强减弱。
n M i A A2 A1 i E1 B
v1
E2 r C N
r
v2
D
i BAC, r ACD
BC v1t AC sin i
AD v2t AC sin r
sin i v1 n21 sin r v 2
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§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
2016/11/22
惠更斯原理定性地解决了波的传播方向问 题，用惠更斯原理可以解释波的衍射、反射和 折射等现象。但无法对波的衍射强度进行定量 描写。1816年，菲涅耳提出了惠更斯—菲涅耳 原理，解决了波的强度分布问题。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
20来自百度文库6/11/22
各级明、暗纹中心的坐标位置
若单缝后透镜的焦距为 f ，条 纹P点离中心o的距离为x，因有 f>>x ，即 角通常很小，有关系 a x sin tan f f 2k k 1,2,3, 暗 纹 中心 2 a x ( 2k 1) f k 1,2,3, 明 纹 中心 2 a
a
a
sin
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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振幅矢量叠加法（只须了解其基本原理）
n nA n 1 MN R ( n ) nA P点 ：A 2 R sin 2 sin 1 2 n 2 2 a sin 上下边缘到 P点 的 位 相 差 ： n a sin ( 是波数） 所以： A
波在传播过程中，在同一波阵面S上的各面 元都可看作子波源，所发出的子波是相干波， 经传播而在空间相遇时，可相互叠加而产生干 涉现象。
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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波阵面S上面元dS在P点 引起的振动可表示为：
dS 2 dEp C K ( ) cos( t r 0 ) r K ( ) 2 Ep C cos( t r 0 )dS S r
a sin
nA 1
sin(
a sin u sin ) nA 1 u
其中a是狭缝宽 度，为衍射角。
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sin u A sin( a sin ) A0 u a sin 其 中u a sin , A0 nA1 .最 后 得:
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B
1.0 0.8 0.6
I/I0
0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6
u/
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单缝夫琅禾费衍射的强度分布（三维立体图）
各级明、暗纹中心的角位置
2 BC a sin (2k 1) , 2
BC a sin 2k ,
1 a sin (k ) 2
k 1,2,3...
利用近似条件 sintan 和上述衍射方程，得：
750 (nm) k 1,2,3... 1 k 2
k=1, = 5000 Å (符合题意)；
k=2, = 3000 Å (不符合题意)；
其余更大的k导致的解都在可见光之外
2 当单缝分为奇数倍个半波带时，P点的光强两两 抵消后还剩一个不能完全抵消，因此可产生亮纹， 明纹角位置满足
BC a sin 2k ,
k 1,2,3,
暗纹中心
2 对于衍射角=0的中央位置上，所有平行光线的光 程差都为零，所以是亮纹，称为中央明纹。
中央明纹中心 BC a sin 0
a K
光源
b
17-1 衍射现象
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二、衍射的分类
菲涅耳衍射：光源到衍 射屏、衍射屏到接收屏 为有限距离的衍射。
衍射屏 光 源 接 收 屏 衍射屏 光 源 夫琅禾费衍射 接 收 屏
夫琅禾费衍射：光源到衍 射屏、衍射屏到接收屏为 无限远距离的衍射。
菲涅耳衍射
17-1 衍射现象
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d sin u 2 ( ) 0 (3)各级明纹：各级明纹中心将出现在 du u
即tan(u) = u决定，求解此方程可知，它们不在相邻两暗纹 的中心点，但是与由半波带法所得的结果接近， u 值为： u1.430，2.459，3.470和4.479，相对光强分别是 0.04718 ， 0.01648 ， 0.00834和 0.00503 。 ( 注意极大的位置与 半波带方法决定的结果有些许区别)
波的衍射 波传播过程中经过障 碍物时，可绕过障碍物 传播。
A B
d
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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波的反射和折射
波的反射 波阵面AB上B点发出子 波到达C点时，A点到 达D点，由于入射波和 反射波在同一媒介，波 速不变。
A1 i i' A E1 E2 n A2 B D n i i' C N
k 1,2,3, k 1,2,3,
x P
sin
对于非常小的角度
1 2k k 1,2,3, 暗 纹中心 2 a ( 2k 1) 1 k 1,2,3,明 纹中心 2 a
a
f
o
中央明纹中心位置
0
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17-1 衍射现象
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线光源的单缝衍射图样
方 孔 衍 射 图 样
圆 盘 衍 射 图 样
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17-1 衍射现象
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本课时教学基本要求
1 、理解惠更斯 — 菲涅尔原理，了解如何应用该 原理处理光的衍射问题；
2 、掌握半波带法分析夫琅和费单缝衍射光强分 布的规律，会分析缝宽及波长对衍射条纹分 布的影响；
大学物理 甲
第17章 光的衍射
王业伍 yewuwang@zju.edu.cn 浙江大学物理系
2016年11月22日
克里斯蒂安· 惠 更 斯 (Christiaan Huygens ， 1629—1695)荷兰物理学家、天文学家、数学家。 13岁时曾自制一台车床。1663 年他被聘为英国 皇家学会第一个外国会员，1666年刚成立的法 国皇家科学院选他为院士。在摆钟的发明、天 文仪器的设计、弹性体碰撞和光的波动理论等 方面都有突出成就。 菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）法国 土木工程师，物理学家，波动光学的奠基人之 一。 1823 年当选为法国科学院院士， 1825 年被 选为英国皇家学会会员。1827年7月14日因肺病 医治无效而逝世，终年仅 39 岁。菲涅耳的科学 成就主要有两个方面：一是衍射；二是偏振。 惠更斯——菲涅耳原理
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
§ 17-3 单缝夫琅禾费衍射 单缝衍射：平行光线透过一条细长直缝后， 在远处观察屏上呈现出衍射图样的现象。
K L1 S 线光源的 单缝衍射 图样 A B 单缝衍射实验装置图 L2 E
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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一、 菲涅耳半波带法
A B C 3/2 P a θ P0 θ
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§ 17-1 衍射现象
一、光的衍射现象
机械波如水波、声波在传播过程中，绕过障碍 物的边缘而偏离直线传播的现象，称为波的衍射。 当光遇到的障碍物尺寸与光波的波长相当时，也会 产生光的衍射现象。
17-1 衍射现象
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衍射的特点：
光束在衍射屏上的什么方向上受到了限制，则在接受屏上 的衍射图样就沿该方向扩展；光孔越小，对光束的限制越厉 害，则衍射图样越扩展，衍射效应越厉害。
A A１ B C
P
θ
a θ
P0 3/2
2/2 AB分为两个半波带
分为三个半波带
每条半波带边缘光线到P点的光程差为半个波长，相邻 半波带对应点的光线到P点的光程差为半个波长。 相邻两半波带透射出的光在P点干涉相消。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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二、 明暗纹发生的条件 当N为偶数时， P点的光强两两抵消，P点为暗条纹， 暗纹角位置满足
x
f
P x o
中央明纹位置
x=0
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中央明纹的宽度
两个第一级暗纹中心之间的距离定义为中央明纹 的宽度，相对应的角距离称为角宽度，则第一级暗 纹（k=1）的衍射角1便是中央明纹的半角宽度 中央明纹的角宽度 0 2 1 2 中央明纹的宽度
nA1 sin u A A0 u 2 sin u I I 0 u2
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sin 2 u I I 0 2 u
单缝夫琅禾费衍射的光谱结构
(1)中央明纹： u=0，I=I0。中央明纹又称为零级主极大； (2)暗纹位置：当u ≠ 0和sin(u) = 0时，asin=k，解和半波 带方法的结论一致;
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理 一、惠更斯原理 媒质中波动所到达的各点 都可以看作一个新的子波源， 这些子波源向空间发射子波， 在以后的任一时刻，这些子波 的包络面就是波在该时刻的新 的波阵面。
A
a
B
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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uΔt
S2
S1 ut
uΔt
S1
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用惠更斯原 理求新的波 阵面
上式即为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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K ( )被定义为方向因子:
=0，K ( )=K max ; K ( ) ; , K ( ) 0
2
60 余年后，基尔霍夫 (1882) 进 一步修正了菲涅耳理论中方向 因子的错误。
【例题】如图所示，已知一雷达位于距离路边 d = 15m处，雷达射束与公路成15夹角，天线宽度a = 0.20m，射束波长 = 30mm。求：该雷达监视范围内 公路长L =?
半波带
2/2 AB分为两个半波带
分为三个半波带
在衍射角 方向上，宽为a的单缝两边缘 AB两点到 P 点的光程差为 =BC ，如 BC 为 N 个半波长，以半波长 为间隔，做一系列垂直于BC的平面，将单缝AB分割成 N个同宽度的窄带——半波带。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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M
AD BC ut , 又
ABC ADC 900
Δ BAC 和Δ DCA 全等，则
i BAC DCA i'
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§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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波的折射 设t时刻有波阵面AB ，经Δt时间，子波由B 点传播到C点，相应A 点传播到D点。CD为 折射波的波阵面。由 图可知：
θ1
a 2 f x0 2 x1 a
其他各级明纹的宽度定义为两相邻 暗纹中心的距离，在 很小时有
1 x 2( k 1) 2k x 0 2 a 2 a a 2
f
f
f
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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衍射效应
若波长一定，减小缝宽a，则各级衍射角增大， 衍射现象更为显著，反之，a增大，条纹变细变密衍 射现象逐渐不明显，以至消失。所以几何光学是波 动光学在/a0（即a >> ）时的极限情形。 若a一定，增加波长，则衍射角增大，白光照射时， 出现色散现象，形成衍射光谱，内紫外红。
色散现象
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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【例题】用单色平行光垂直照射到宽度为a = 0.500 mm的单 缝上，在缝后放置一个焦距为 f = 100 cm的凸透镜，则在焦 平面的屏幕上形成衍射条纹。若在离屏上中央明纹中心距 离为1.50 mm处的P点为一明纹，试求：
①入射光的波长；②P点条纹的级数和该条纹对应的衍射角； ③狭缝处波面可分为几个半波带；④中央明纹的宽度。 【解】首先考虑一个在垂直入射的半波带的明纹方程：
BC a sin (2k 1) ,
k 1,2,3, 明纹中心
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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如BC不能分为N个半波长，光 强介于近邻最明和暗纹之间。
a 三、 单缝衍射图样特征 衍射光强分布 I o
中央明纹光强最大，随 着k增加，波带数增多，未 被抵消的波带面积变小， 条纹光强减弱。
n M i A A2 A1 i E1 B
v1
E2 r C N
r
v2
D
i BAC, r ACD
BC v1t AC sin i
AD v2t AC sin r
sin i v1 n21 sin r v 2
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§ 17-2 惠更斯-菲涅尔原理
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惠更斯原理定性地解决了波的传播方向问 题，用惠更斯原理可以解释波的衍射、反射和 折射等现象。但无法对波的衍射强度进行定量 描写。1816年，菲涅耳提出了惠更斯—菲涅耳 原理，解决了波的强度分布问题。
17-3 单缝夫琅禾费衍射
20来自百度文库6/11/22
各级明、暗纹中心的坐标位置
若单缝后透镜的焦距为 f ，条 纹P点离中心o的距离为x，因有 f>>x ，即 角通常很小，有关系 a x sin tan f f 2k k 1,2,3, 暗 纹 中心 2 a x ( 2k 1) f k 1,2,3, 明 纹 中心 2 a
a
a
sin
17-3 单缝夫琅禾费衍射
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振幅矢量叠加法（只须了解其基本原理）
n nA n 1 MN R ( n ) nA P点 ：A 2 R sin 2 sin 1 2 n 2 2 a sin 上下边缘到 P点 的 位 相 差 ： n a sin ( 是波数） 所以： A