武汉理工控制工程第四章习题解答

习题解答：

4-1 负反馈系统的开环传递函数，试绘制闭环系统的根轨迹。

解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。，。实轴上的根轨迹是（-∞，-2]及[-1,0]。

可得，，；是分离点。

根轨迹见图4-28。

图4-28

4-2系统的开环传递函数为，试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。

解：若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图4-29所示。

图4-29

对于，由相角条件

满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：

所以，，

4-3 已知开环零点，极点，试概略画出相应的闭环根轨迹图。（1），，，；

（2），，；

（3），；

（4），，，，；

解：

图4-30（1）图4-30（2）

图4-30（3）图4-30（4）

4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为

试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。

解：系统有五个开环极点：

1.实轴上的根轨迹：

2.渐近线：

3.分离点：

, (舍去) ,

4.与虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

可得，

，，（舍去）

5.根轨迹的起始角为：

由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图习题4-31所示。

图4-31 4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数试作出以b为参量的根轨迹图。

解：作等效开环传递函数G(s)=

1.实轴上的根轨迹：

2.分离点：

解得：

根轨迹如图4-32所示。

图4-32

4-6 单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的值范围。

解：根轨迹绘制如下：

图4-33

1.实轴上的根轨迹：

2.分离点：

可得：

3.与虚轴交点：

把s=j代入上方程，令

解得：

根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为；又，所以系统稳定的值范围为。

4-7 系统的框图如图4-26所示，试绘制以为变量的根轨迹图。

图4-26

解:系统的开环传递函数为

系统闭环传递函数

系统闭环特征方程，即

除以得

得等效开环传递函数

令

得等效开环极点，为时原系统的闭环极点。

按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点：，终点：0，-∞；（2）实轴上根轨迹：（-∞，0]区段；（3）分离点：，，，

取，分离角。画出根轨迹如图4-34所示。

图4-34

4-8实系数特征方程

要使其根全为实数，试确定参数的范围。

解：作等效开环传递函数

当时，需绘制常规根轨迹。

1.实轴上的根轨迹：，

2.渐近线：

3.分离点：

解得

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。

当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：，，。

由图4-35(2)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为

图4-35(1) 图4-36(2)

4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程

1. 绘制系统根轨迹图(0<<∞)；

2. 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。

解：1.系统的开环传递函数

(1)根轨迹的起点为：，，终点在无穷远处（无有限零点）。

(2)分支数。

(3)实轴上根轨迹为(-∞，-14]区段。

(4)渐近线为条。

(5)根轨迹离开复极点的出射角

由公式

根轨迹如图4-37所示

图4-37

2. ，按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点，为所求之闭环极点用幅值条件可得():

4-10 系统的特征方程为

1. 画出，，，，时的根轨迹。

2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。

解：1）时，特征方程为

根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38(a)。

，特征方程可写为

开环传递函数

3支根轨迹，起于0，0，，止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是，交点为

，；，

在实轴上的分离会合点按下述方法计算。

解得

当时，实轴上根轨迹是[-1,2]，

，(不在根轨迹上，舍去)

分离点是1.186，对应的

根轨迹见图4-38(b)

，实轴上根轨迹是[-6,-1]

，是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)

，实轴上根轨迹是[-9,-1]

对应的。根轨迹见图4-38(d)

，实轴上根轨迹是[-10,-1]

，，

对应的，。根轨迹见图4-38(e)

2）当分离会合点不是实数时，系统没有非零分离会合点

图3-38(a) 图3-38(b)

图3-38(c) 图3-38(d)

图3-38(e)

4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为

，

试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点，对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。

解：

1. 时，

(1)根轨迹起始于-1，0，0，终止于三个零点(为无限零点)；

(2)根轨迹分支数；

(3)实轴上的根轨迹位于（-∞，-1]区段；

(4)渐近线条。

由图4-39（1）可见，三条根轨迹分支，有两条位于右半平面。当从0→∞时，三个闭环极点中有两个位于右半平面，所以系统不稳定。

图4-39（1）图4-39（2）

2.增加负实零点时，。