清华考博《随机过程》2009真题

2009年清华大学博士生入学考试专业课试卷

电子工程系《随机过程》

（考后回忆版本，有些内容不是很精确，但知识点不会有错）

一：简答（约30分）

1：根据题设写出马氏链的转移矩阵并计算。三阶马氏矩阵，其中有一些，计算几步后的转移概率，较简单。

2：忘记，较简单。

3：按应用类型列举随机过程并分类。(具体题目的要求可能记得不是很准确了，但回答过程记得。例如高斯过程，属于二阶矩，宽平稳等于严平稳。反正把知道的典型过程的定义和性质都写出来，并且写多点，就好像得分了。) 二：设随机过程()()N t Y t X =，其中N(t)是参数为λ>0的泊松过程，随机变量X 与N(t)相互独立，P{X=1}=P{X=-1}=1/2，问此过程是否平稳？证明之。(此题印象不准确了) （约20分）

三：假定银行有N 个服务台，各个服务台为一个顾客服务所需要的时间是独立同指数分布的随机变量，参数为λ。有N+1 个顾客同时到达了银行，其中一个顾客为了攒“人品”，主动发扬风格，让其他N 个人先接受服务，自己等待；当先接受服务的人中有人服务结束离开后，该好心人开始接受服务。试计算，该好心人成为N+1 个人中最后一个完成服务离开的人的概率。（约30分） 注：四、五两题选作一题即可，两题都做取得分高者给分。

四：甲乙二人抛硬币，甲抛到背面换乙抛，乙抛到背面换甲抛。甲抛正面的概率为P 1, 乙抛正面的概率为P 2。（约20分）

1：平稳后，甲抛掷硬币的概率。

2：甲第10次抛正面、甲第11次抛正面、乙第12次抛正面、甲第13次抛正面的概率。

五：设平稳过程输入x(t)输入到如下所示的平均电路。（约20分）

1：证明系统的冲击响应为h(t)。1,0()0,t T h t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

2：证明y(t)的功率谱密度为22()[()sin (/2)]/(/2)Y X S S T T ωωωω=。

3：如果该电路的输入为平稳随机过程，其协方差函数为

200||(1),||()0,X X T T C τσττ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩

其它，求输出过程的方差()Y D τ。