线性代数试题和答案(精选版)
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数试题(试题与答案)
线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
线性代数试题(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有 一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。
错选或未选均无分。
A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（ ）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值 入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（ ） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个 数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题①空格内。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。
答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。
答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。
答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。
答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
线性代数考试题和答案
线性代数考试题和答案****一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（列）向量的最大个数，以下关于矩阵秩的描述正确的是（）。
A. 矩阵的秩等于其行数B. 矩阵的秩等于其列数C. 矩阵的秩是其行向量和列向量线性无关的最大数量D. 矩阵的秩与矩阵的行数和列数无关**答案：C**2. 向量组的线性相关性是指（）。
A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 向量组中所有向量都是零向量C. 向量组中至少有一个向量是零向量D. 向量组中所有向量都是线性无关的**答案：A**3. 对于一个n阶方阵A，若其行列式|A|=0，则矩阵A是（）。
A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的**答案：B**4. 矩阵A和B相乘，结果为零矩阵，即AB=0，以下说法正确的是（）。
A. A和B中至少有一个是零矩阵B. A和B都是零矩阵C. A和B线性相关D. A和B线性无关**答案：A**5. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是（）。
A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的行列式不为零C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于未知数的个数**答案：D**6. 矩阵的特征值是指（）。
A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的非零元素C. 满足|A-λI|=0的λ值D. 矩阵的行元素**答案：C**7. 两个向量α和β，若α=kβ（k≠0），则称向量α和β是（）。
A. 线性无关的B. 线性相关的C. 正交的D. 垂直的**答案：B**8. 矩阵A的转置记作（）。
A. A'B. A^TC. A^*D. A^H**答案：B**9. 以下哪个矩阵是对称矩阵（）。
A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 2 4]C. [1 2; 2 1]D. [1 0; 0 1]**答案：C**10. 以下哪个矩阵是正交矩阵（）。
A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 2; 3 4]D. [1 0; 0 -1]**答案：B**二、填空题（每题4分，共20分）11. 若矩阵A=[1 2; 3 4]，则矩阵A的行列式|A|=______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在线性代数中，矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C2. 如果一个矩阵A是可逆的，那么它的行列式值：A. 等于0B. 等于1C. 非零D. 无法确定答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列说法正确的是：A. 特征值一定为实数B. 特征向量一定为零向量C. 特征值可以是复数D. 特征向量可以是零向量答案：C4. 在线性代数中，若一个向量组线性无关，则：A. 该向量组可以由其他向量线性表出B. 该向量组中的向量可以任意组合C. 该向量组中的向量不能由其他向量线性表出D. 该向量组中的向量可以由其他向量线性表出答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式值为0，则矩阵A是________。
答案：奇异矩阵2. 一个向量空间的基是该空间中一组________的向量。
答案：线性无关3. 对于任意矩阵A，其转置矩阵记为________。
答案：A^T4. 若一个矩阵A的逆矩阵存在，则矩阵A称为________矩阵。
答案：可逆三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 &6 & 0 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的行列式值。
答案：首先，我们可以通过展开行列式来计算矩阵A的行列式值。
选择第一行展开，行列式为：\[ \text{det}(A) = 1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 6 & 0 \end{array}\right) -2 \cdot\text{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & 0\end{array}\right) + 3 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{array}\right) \]\[ = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) \]\[ = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) \]\[ = -24 + 40 - 15 \]\[ = 1 \]2. 已知矩阵B=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求矩阵B的特征值和特征向量。
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线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1=A Tの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
错填或不填均无分。
15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ijの代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=bの2个不同の解，则它の通解为.20.设A是m×n矩阵，Aの秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0の一个基础解系中含有解の个数为.21.设向量α、βの长度依次为2和3，则向量α+β与α-βの内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A の行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它の一个特征向量，则α所对应の特征值为 .24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)の秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T ；（2）|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3の线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A の列向量组の一个最大线性无关组30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪の全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用の满秩线性变换。
四、证明题32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b の一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0の一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b の解； （2）η0，η1，η2线性无关。
答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解31125134201115335111111310010553------=----- =5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而（A -2E ）-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 −→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪135011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解（2，1，1）T ，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632 −→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪1210203283000620002171212032830003100000=B . （1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3.（2）由于A 与B の列向量组有相同の线性关系，而B 是阶梯形，B の第1、2、4列是B の列向量组の一个最大线性无关组，故A の第1、2、4列是A の列向量组の一个最大线性无关组。
（A の第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A の属于特征值λ=1の2个线性无关の特征向量为ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T .经正交标准化，得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8の一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。