巧算的几种常见方法

巧算的几种常见方法

一、知识梳理：

1、有理数的相关概念和性质法则

有理数的运算法则

①加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。

②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。

④除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。

⑤有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

2、运算顺序及注意事项：

①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。

②对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。

③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。

3、常用运算技巧

⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消）⑷分组相约法⑸倒写相加法

⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法

二、【典型例题】

(一). 符号与括号

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。

例1. 计算

+--++--+---+++--+ 12345678910111219971998199920002001

(二). 巧用运算律

例2.计算

例3计算：

(三). 巧用添项法凑整

例4计算

(四). 巧用拆项法

例5. 计算：

例6.

计算 100

32114321132112111 ++++++++++++++

＝________

例7.

(五). 巧用反序相加减的方法

例8.计算

_____

（六）. 巧用整体换元法

例9. 计算

（七）、巧用错位相减

例10. ；

（八）. 巧用倒数法例11、计算

（九）、等比数列例12. 计算：

（十）、巧用整体

例13．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种物品各一件共需多少元？

（十一）、巧相约

例14、计算：

例15 、计算11111

-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=

(1)(1)(1)(1)(1)

20042003100210011000

三、培优训练

1、 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+

⨯⨯+÷-

2、 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-

3、 计算：8.36

11315544322611-+-+--

4. 计算：

5、 计算：

6、计算：

7、计算：

8、计算

9、已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。

10、111111

261220309900

++++++

11、

1111122222333335859 ()()()() 2345960345596045659605960 ++-+++++++++++++++++（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）

12、计算：

111 111315131517293133

+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯

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