模糊控制技术 (2)
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第２章 模糊逻辑的数学基础
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法 2.2 模糊语言逻辑及其算子 2.3 模糊关系与模糊逻辑推理 2.4 解模糊判决方法
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法
2.1.1 经典集合 集合可以表达概念。符合某概念的对象的全体就构成此
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
1 , x A X A(x) 0 , x A
（2.1）
第２章 模糊逻辑的数学基础
扎德（L.A.Zadeh）提出一种表示集合的方法。例如， 小于10的数构成偶数集合A，可表示为
A010101010 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
以上表示方法为列举法，等号右边不表示分数之和， 各分数的分母表示集合中的元素，其分子表示该元素对于 集合A的特征函数。
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1.2 模糊集合 1. 模糊集合的定义 在现实世界中，有很多事物的分类边界是不分明的，或
者说是难以明确划分的。比如，将一群人划分为“高”和 “不高”两类，就不好硬性规定一个划分的标准。如果硬性 规定1.80 m以上的人算“高个子”，否则不算，那么两个本 来身高“基本一样”的人，例如一个身高1.80 m，另一个身 高1.79 m，按照上述划分个子的规定，却被认为一个“高”， 一个“不高”，这就有悖于常理，因为这两个人在任何人看 来都是“差不多高”。这种概念外延的不确定性称为模糊性。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普
通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即
S={u∈U|μபைடு நூலகம்(u)>0}
（2.3）
例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开
区间（35，60）。
定义2.3 模糊单点（Singleton）: 如果模糊集合F的支
（2.2）
第２章 模糊逻辑的数学基础
这个映射称为模糊集合 F~ 的隶属函数（Membership Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合 F~ 简记为F。
上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u 从属于F的程度很高；μF(u)的值接近于0，表示u从属于F的程 度很低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。
是指，对于论域（Universe of Discuss）U中的任意元素u∈U，
都指定了［0，1］闭区间中的某个数μF(u)∈［0，1］与之对 应，称为 u 对 F 的隶属度（Degree of Membership），通常将
模糊集合表示为 。这就F~ 定义了一个映射μF：
μF∶U→［0，1］ i→μF(u)
第２章 模糊逻辑的数学基础 当μF(u)的值域为{0，1}时，μF锐化成一个经典集合的特
征函数，模糊集合F便锐化成一个经典集合。由此不难看出， 经典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是经典集合的概 念推广。
现在我们以人的年龄为论域，讨论“年轻”、“中年”、 “老年”这三个模糊集合的划分情况，分别用模糊集合A、 B、C来表示。它们的论域都是［1，100］，论域中的元素 是u，我们规定模糊集合A、B、C的隶属函数μA(u)、μB(u)、 μC(u)如图2.1所示。
集在论域U上只包含一个点u0，且μF(u0)=1，则F就称为模糊 单点，即
F={u0∈U|μF(u0)=1}
（2.4）
第２章 模糊逻辑的数学基础
模糊单点的隶属函数如图2.2所示，它是位于u0 点的一条竖直的线段，线段的高度为1。模糊单点 也可以看成是一个普通的集合，它只包含一个点u0。
集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示； 集 合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示； u∈U， 表示元素u在集合论域U内。一个集合如果由有限个元素 组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。 集合可以是连续的，也可以是离散的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之 间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其 一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100 的自 然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。
1. 经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一 类，或不归于这一类。 集合是具有某种特定属性的对象的全体。
第２章 模糊逻辑的数学基础
2. 表示方法 （1） 列举法（适用于具有有限元素的集合）。 （2） 定义法（适用于具有很多元素而不能一一列举的集 合），用集合中元素的性质来描述，例如，所有奇数的集合 A={x|x为奇数}。 （3） 特征函数表示法，利用经典集合非此即彼的明晰性 来表示，例如某集合A，某元素x，其特征函数为
第２章 模糊逻辑的数学基础 图2.1 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属函数
第２章 模糊逻辑的数学基础
如果u1=30，u1对A的隶属度μA(u1)=0.75，这意味着30岁 的人属于“年轻”的程度是0.75。如果u2=40，u2既属于A集 合又属于B集合，μA(u2)=0.25，μB(u2)=0.50，这说明40岁的 人已不太年轻，比较接近中年，但属于中年的程度还不太大， 只有0.50。再比如u3=50，μB(u3)=1.00，这说明50岁正值中年， 但即将走向“老年”。对比普通集合，用阈值来划分三个年 龄段的方法，显然模糊集合能够比较准确、更加真实地描述 人们头脑中的原有概念，而用普通集合来描述模糊性概念反 而不准确、不真实，也可以说是粗糙的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
由此可见，普通集合在表达概念方面有它的局限性。普
通集合只能表达“非此即彼”的概念，而不能表达“亦此亦彼”
的现象。为此，美国加州大学控制专家扎德（L.A.Zadeh）教
授创立了模糊集合论，提出用模糊集合来刻画模糊概念。
定义2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：论域U上的模糊集合F
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法 2.2 模糊语言逻辑及其算子 2.3 模糊关系与模糊逻辑推理 2.4 解模糊判决方法
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法
2.1.1 经典集合 集合可以表达概念。符合某概念的对象的全体就构成此
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
1 , x A X A(x) 0 , x A
（2.1）
第２章 模糊逻辑的数学基础
扎德（L.A.Zadeh）提出一种表示集合的方法。例如， 小于10的数构成偶数集合A，可表示为
A010101010 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
以上表示方法为列举法，等号右边不表示分数之和， 各分数的分母表示集合中的元素，其分子表示该元素对于 集合A的特征函数。
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1.2 模糊集合 1. 模糊集合的定义 在现实世界中，有很多事物的分类边界是不分明的，或
者说是难以明确划分的。比如，将一群人划分为“高”和 “不高”两类，就不好硬性规定一个划分的标准。如果硬性 规定1.80 m以上的人算“高个子”，否则不算，那么两个本 来身高“基本一样”的人，例如一个身高1.80 m，另一个身 高1.79 m，按照上述划分个子的规定，却被认为一个“高”， 一个“不高”，这就有悖于常理，因为这两个人在任何人看 来都是“差不多高”。这种概念外延的不确定性称为模糊性。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普
通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即
S={u∈U|μபைடு நூலகம்(u)>0}
（2.3）
例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开
区间（35，60）。
定义2.3 模糊单点（Singleton）: 如果模糊集合F的支
（2.2）
第２章 模糊逻辑的数学基础
这个映射称为模糊集合 F~ 的隶属函数（Membership Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合 F~ 简记为F。
上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u 从属于F的程度很高；μF(u)的值接近于0，表示u从属于F的程 度很低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。
是指，对于论域（Universe of Discuss）U中的任意元素u∈U，
都指定了［0，1］闭区间中的某个数μF(u)∈［0，1］与之对 应，称为 u 对 F 的隶属度（Degree of Membership），通常将
模糊集合表示为 。这就F~ 定义了一个映射μF：
μF∶U→［0，1］ i→μF(u)
第２章 模糊逻辑的数学基础 当μF(u)的值域为{0，1}时，μF锐化成一个经典集合的特
征函数，模糊集合F便锐化成一个经典集合。由此不难看出， 经典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是经典集合的概 念推广。
现在我们以人的年龄为论域，讨论“年轻”、“中年”、 “老年”这三个模糊集合的划分情况，分别用模糊集合A、 B、C来表示。它们的论域都是［1，100］，论域中的元素 是u，我们规定模糊集合A、B、C的隶属函数μA(u)、μB(u)、 μC(u)如图2.1所示。
集在论域U上只包含一个点u0，且μF(u0)=1，则F就称为模糊 单点，即
F={u0∈U|μF(u0)=1}
（2.4）
第２章 模糊逻辑的数学基础
模糊单点的隶属函数如图2.2所示，它是位于u0 点的一条竖直的线段，线段的高度为1。模糊单点 也可以看成是一个普通的集合，它只包含一个点u0。
集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示； 集 合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示； u∈U， 表示元素u在集合论域U内。一个集合如果由有限个元素 组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。 集合可以是连续的，也可以是离散的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之 间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其 一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100 的自 然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。
1. 经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一 类，或不归于这一类。 集合是具有某种特定属性的对象的全体。
第２章 模糊逻辑的数学基础
2. 表示方法 （1） 列举法（适用于具有有限元素的集合）。 （2） 定义法（适用于具有很多元素而不能一一列举的集 合），用集合中元素的性质来描述，例如，所有奇数的集合 A={x|x为奇数}。 （3） 特征函数表示法，利用经典集合非此即彼的明晰性 来表示，例如某集合A，某元素x，其特征函数为
第２章 模糊逻辑的数学基础 图2.1 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属函数
第２章 模糊逻辑的数学基础
如果u1=30，u1对A的隶属度μA(u1)=0.75，这意味着30岁 的人属于“年轻”的程度是0.75。如果u2=40，u2既属于A集 合又属于B集合，μA(u2)=0.25，μB(u2)=0.50，这说明40岁的 人已不太年轻，比较接近中年，但属于中年的程度还不太大， 只有0.50。再比如u3=50，μB(u3)=1.00，这说明50岁正值中年， 但即将走向“老年”。对比普通集合，用阈值来划分三个年 龄段的方法，显然模糊集合能够比较准确、更加真实地描述 人们头脑中的原有概念，而用普通集合来描述模糊性概念反 而不准确、不真实，也可以说是粗糙的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
由此可见，普通集合在表达概念方面有它的局限性。普
通集合只能表达“非此即彼”的概念，而不能表达“亦此亦彼”
的现象。为此，美国加州大学控制专家扎德（L.A.Zadeh）教
授创立了模糊集合论，提出用模糊集合来刻画模糊概念。
定义2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：论域U上的模糊集合F