闭区间上二次函数最值问题教案
“二次函数在闭区间上的最值”的教学设计与反思-
“二次函数在闭区间上的最值”的教学设计与反思教学内容分析本节课是高三第一轮复习课，二次函数作为高中数学函数中的重点内容，它与其他章节有着密切的联系，为此，学生必须把二次函数问题理解得比较清撤.对于二次函数的整体内容，笔者分成了两大节来处理.一节是二次函数的基本知识及其运用，另一节是二次函数在闭区间上的最值问题，这是运用二次函数解决的多见问题，并且是个难点.本节课属于第二大节，希望通过学生自己动手，在处理问题的过程中加深对二次函数闭区间上的最值问题的理解，同时感受新的学习方式带来的学习数学的欢乐.学生学习情况分析由于是高三第一轮复习课，学生再次接触到二次函数的相关问题已经不太陌生.但由于间隔时间比较长，大部分学生有所遗忘，且部分学生学习的依赖性较强，学习的信心不够，对数学存在或多或少的恐惧感.因此，需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色，让学生能在复习的过程中加深理解且增加对数学学习的兴趣.通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳、数形结合等数学思想方法.设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与课堂的机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课的教学中笔者引导学生从最基本的二次函数在已知闭区间上的最值出发，通过不断地变动区间，从中总结出求二次函数闭区间上最值的基本解题思路，体会数形结合的必要性.在教学重、难点上，笔者步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，用讨论的方式来加深理解，力求很好地突破难点和提高教学效率，让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.教学目标1．通过学生不断地探究，掌握二次函数在闭区间上的最值的求解方法；2．在学习过程中渗透分类讨论和数形结合的思想方法；3.培养学生的探究意识，严格的思维品质以及类比、分析、归纳的能力.教学重点和难点重点：二次函数在闭区间上最值的求解方法；难点：渗透分类讨论和数形结合的思想方法.教学过程实录1.知识回顾、提出问题（约7分钟）笔者首先请每个学生在事先准备好的纸上将自己对二次函数的认识记录下来.然后笔者请几位学生讲一下他们所写的内容.（下面附三位学生的记录材料）设计意图：通过学生对二次函数的自我回顾，查看学生对二次函数的印象，同时凑巧是对二次函数基本知识的复习整理.教师：二次函数最多见的运用是什么？学生1：求函数最值.学生2：求区间上的最值.设计意图：由此引出课题二次函数在闭区间上的最值.教师：好，那么如何求解二次函数在闭区间上的最值？大家可以讨论一下.学生：先看二次函数的开口方向，再看对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左边、中间、右边三种情况讨论.教师：非常好，看来同学们对求二次函数在闭区间上的最值掌握得比较好.下面我们就详尽地来操作一下.2.师生互动、加深理解（约30分钟）教师：以函数f（x）=x2－2x+2为例，我们来研究二次函数在闭区间上的最值.（1）求f（x）=x2－2x+2，x∈R的最值；学生：将f（x）=x2－2x+2变形为f（x）=（x－1）2+1，得对称轴为x=1，然后画草图知，f（x）min=f（1）=1，无最大值.教师：很好.下面请每位同学自行给定三个闭区间，写出相应的最值，并请大家展示他所给定的三个区间及最值.学生1：区间［－1，1］；区间［1，3］；区间［1，2］；由图象可得三个闭区间上的最值分别为：?摇?摇f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（－1）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（3）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f （2）=2.原先设计：学生所给区间与对称轴的三种位置关系都有，但学生给出的区间类型不够.为此，笔者只能想办法补充其他情形.教师：我们一起来看看刚给出的三个区间都有什么特点.学生：分别是在对称轴的左边和右边.教师：那如果区间包含对称轴呢？笔者再请一位学生给出一个区间.学生2：要看区间端点与对称轴的距离，如区间［－1，4］，f（x）min=f （1）=1，f（x）max=f（4）=10.设计意图：用一些比较简单的区间来求二次函数在闭区间上的最值，为引出二次函数在动区间上的最值做准备；同时让学生自行给出区间计算，激发学生学习的兴趣和欲望.教师：总结上面的几种情形，我们发现二次函数在闭区间上总有最大值和最小值.那么，解题的关键是什么呢？学生：画出函数草图，判断对称轴与闭区间的位置关系.师：接下来，我们把区间进一步的变化，让已知不动的区间“动起来”.学生相互讨论，有部分学生不知道如何让区间“动起来”.因此，进一步提问：怎样才能让区间“动起来”？学生：让区间端点变成变量.教师：好，那么我们先动一个端点，请大家给出你自己的区间，并写最值.学生：区间［a，3］，讨论对称轴x=1与x=a的大小关系.教师：分类讨论后，我们只需要依据图象“看图说话”，写最值即可.设计意图：针对学生对上述问题的研究，进一步地加深难度，使问题从已知闭区间到一个端点变化的动区间，激发学生探究问题的兴趣；对学生进行数学思想方法（数形结合、分类讨论）的渗透.教师：再进一步，我们能不能让两个端点都“动起来”，那么最值又如何求解？比如区间［a，a+3］.学生1：要分类讨论对称轴与区间的位置关系.详尽过程如下：当a+3≤1，即a≤－2时，f（x）max=f（a），f（x）min=f（a+3）；当a≤1当a>1时，f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+3）.学生2：最大值还要继续分类讨论.我有两种分类讨论方法.法一：看区间端点与对称轴的距离分类.若1－a≤a+3－1，即－≤a≤1时，f（x）max=f（a+3）；若1－a>a+3－1，即－2法二：看区间端点与区间中点a+的位置关系.若a≤1≤a+，即－≤a≤1时，f（x）max=f（a+3）；若a+②让学生阐述解题步骤，使学生有成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③分类讨论是一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然.3.变式训练、提升总结（约8分钟）教师：我们刚刚讨论的所有问题都是已知二次函数，区间在不断地变动，那么如果把变量转移到二次函数上，区间已知，则最值如何求解？（教师给出题目）（1）f（x）=x2－2ax+2，x∈［－2，0］.学生：对称轴x=a，区间已知，所以只要讨论对称轴在区间的左边、右边和包含在区间内部三种情形.教师：那么对称轴变化和区间变化两类题之间有什么联系？学生：都只要看区间和对称轴的位置关系.设计意图：由学生阐述解题思路即可，不进行详尽的书写.通过本题与上面内容的对比，加深理解此类问题的共同特点仍旧是通过图象处理.（2）f（x）=ax2－2ax+2（a≠0），x∈［－2，0］.教师：如果变量转移到二次项系数上，那么又如何处理？学生1：还是和前面一样.教师：有没有补充的？学生2：还应该讨论开口方向，再看对称轴和区间的位置关系.教师：很好，请大家课后把统统过程进行书写整理.我们回头从头审视一下本堂课所做的这一系列的练习，看看你的解题体会是什么？请大家课后谈谈你的解题体会.（附个别学生的体会）设计意图：①再一次增加难度,让学生讨论二次函数开口方向，让学生体会本节课的研究方法，以便能整体把握本节课的内容；②总结本节课中所用到的数学思想方法；③强调各种题型之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通.3.作业布置教学反思1．本节课改变了以往多见的高三第一轮复习课的讲解模式，让学生主动参与到课堂中去研究二次函数在闭区间上的最值问题，并且层层深入加深难度，引导学生融入到研究的气氛中，激发学生的兴趣.对二次函数在闭区间上的最值问题进行全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到解题方法，更严重的是让学生体会一类问题的融会贯通，以便能将其迁移到其他函数问题的研究中去，“授之以鱼”不如“授之以渔”.2．在教学过程中不断向学生渗透分类讨论与数形结合的思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美，体会数学思想方法之严重，最终完成图形语言与符号语言的转化.在课堂中，也有一些需要改进的地方，如各个例题处理的详略，课堂节奏的把握等.当学生理清思路后，规范的书写也是必须要强调的，教师在板书示范的同时，应该对表达的要点及要求加以说明，引导学生体会为什么要这样书写，而不能仅仅是从示范到模仿.3.随着课程改革的不断深入，“预设”和“生成”这两个相互对立的概念融入到了我们的教学实践中.如何处理好“预设”与“生成”之间的关系，使“预设”与“生成”共舞？《数学课程标准》指出：“教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体”.由预设走向生成已是大势所趋，人心所向，但教学设计依然是严重的备课活动，只有充分研究教材中知识的形成与发展过程，关注学生的学情和思维“最近发展区”，学生的主体地位才有可能体现，学生的潜力才有可能被开发，课堂才有可能新鲜.。
闭区间上二次函数的最值问题(教案)
闭区间上二次函数的最值问题一、 教材分析1、教学背景二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。
二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。
二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。
这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
2、学情分析从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。
从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题二、 教学目标分析1. 会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。
《二次函数的最值问题》教案
二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。
二次函数的最值教案
二次函数的最值教案【教学内容分析】在解决二次函数最值问题时，学生要先知道二次函数的图象是一个抛物线。
通过观察，可以发现二次函数图象的开口向上还是向下、顶点的坐标的位置与二次函数的系数之间存在一定的关系。
对于开口向上的二次函数，其顶点是图象的最小值点；对于开口向下的二次函数，其顶点是图象的最大值点。
因此，要想求二次函数的最值，就需要找到二次函数的顶点。
二次函数最值问题是二次函数教学中的难点和重点之一，教师要灵活运用多种方法进行指导，从图象、公式和实际问题三个层面全面分析解决问题的途径。
【教学目标】1.知识与技能：通过本课学习，学生将掌握求解二次函数最值问题的方法，并且能够运用所学知识解决相关实际问题。
2.过程与方法：培养学生分析问题、提炼问题和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们在解决实际问题时运用数学方法的能力。
【教学重难点】重点：二次函数最值问题的解法。
难点：如何将实际问题转化成数学问题，并解决对应的二次函数最值问题。
【教学方法】以问题为导向的教学方法、探究式学习方法、讲授与讨论相结合的教学方法。
【教学准备】教师准备：教案、PPT、黑板、彩色粉笔等。
学生准备：课本、笔记本、作业本等。
【教学过程】Step 1 导入新课教师提问：你学过的二次函数有什么特点？学生回答后，教师出示一道二次函数的题目：求函数y=3x^2-2x+1的最小值或最大值。
思考讨论几分钟，引导学生注意二次函数的图象和顶点与最值之间的关系。
Step 2 理解二次函数的最值1.教师通过PPT呈现二次函数图象，并引导学生观察抛物线的开口方向和顶点位置。
2.教师解释开口向上的二次函数顶点是图象的最小值点，开口向下的二次函数顶点是图象的最大值点。
并出示几个开口向上和开口向下的二次函数图象，让学生观察并总结。
Step 3 寻找二次函数的最值1.教师通过示例问题引导学生寻找二次函数最值的方法。
例如：求函数y=2x^2-4x+3的最小值或最大值。
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
二次函数的最值问题 教案
二次函数的最值问题教案教案目录：I. 教学目标II. 教学过程A. 导入与扩展（约5分钟）B. 理论讲解与示范（约15分钟）1. 二次函数及其图像特征2. 最值问题的概念和求解方法C. 练习与巩固（约20分钟）1. 练习题示例解析2. 学生自主练习D. 拓展与应用（约15分钟）1. 实际问题应用示例2. 提出相关拓展问题E. 总结与评价（约5分钟）III. 教学延伸IV. 教学评价V. 参考资料I. 教学目标本教案旨在帮助学生理解二次函数的最值问题，掌握求解最大值和最小值的方法，并能将其应用到实际问题中。
II. 教学过程A. 导入与扩展在导入部分，教师可以通过一个简单的问题或实例引起学生对二次函数的兴趣，并与他们分享相关的实际应用领域，如物理学中的抛物线运动等。
B. 理论讲解与示范1. 二次函数及其图像特征- 介绍二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。
- 讲解二次函数图像的性质：开口方向、顶点、对称轴等。
使用图像示例进行说明。
2. 最值问题的概念和求解方法- 说明最值问题是指在一定条件下，找出二次函数的最大值或最小值。
- 分别介绍求最大值和最小值的方法：- 最大值：判断二次函数的开口方向，如果是向下的，则最大值为顶点的纵坐标；如果是向上的，则最大值为无穷。
- 最小值：判断二次函数的开口方向，如果是向上的，则最小值为顶点的纵坐标；如果是向下的，则最小值为无穷。
C. 练习与巩固1. 练习题示例解析- 指导学生通过解析一些具体的练习题来加深他们对最值问题的理解。
- 解答中要注重引导学生观察二次函数的图像、判断开口方向，并运用求最值的方法进行解答。
2. 学生自主练习- 要求学生独立解决一定数量的练习题，以巩固所学知识。
- 鼓励学生思考如何将问题转化为二次函数，并运用最值求解方法。
D. 拓展与应用1. 实际问题应用示例- 提供一些与日常生活或实际应用相关的问题，如最高飞行物体的模型、成本与利润的优化等。
二次函数的最值问题(详案)
二次函数的最值问题执教： 位育中学 左双奇教学目标：在教师的引导下，学生通过自己由浅入深的探究，掌握求各种二次函数最值的方法，感受数学知识结构本身的魅力，体验探究的艰辛和成功的喜悦。
教学重点、难点：重点是理解和掌握由二次函数对称轴相对于闭区间的位置，来求二次函数在闭区间上的最值的方法。
难点是怎样寻求适当方法求二次函数的最值。
教学过程：基本问题：二次函数122++-=x x y 有最大值吗?有最小值吗? 分别在区间:(1)[-2,0] (2)[-1,2] (3)[0,3] (4)[2,3]上探求函数的最大值和最小值. 通过学生的主动探究，教师引出函数的最值的定义：()()()()()()()()()()()()0min 000max 0000,,,.,,,.,x f y x f y x f x f x f x x f y x f y x f x f x f x x f x x f y ==≥==≤=记作的最小值叫做函数那么都成立不等式如果对于定义域内任意记作的最大值叫做函数那么都成立不等式如果对于定义域内任意处的函数值是在设函数一般地教师引导学生分析出函数最大值定义的两层含义：（1） 值域中的任意函数值不大于最大值。
（2） 值域中至少存在一个函数值等于最大值。
对于最小值让学生说出其中的两层含义。
通过此基本问题的解答，学生在教师的引导下得到以下关于二次函数最值的三点重要结论：1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最值与对称轴相对于闭区间的位置有关.2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的两个端点及图象的顶点处取得.3.二次函数在某一闭区间上的最大值不大于其在整个实数集上的最大值.问题1:二次函数y=122++-ax x 在[-1.5,2]上的最大值是多少?.453123223232232312max --=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--<a a y x a 时，上单调递减，函数在时，）当（解：问题2:二次函数()1122+-+=x a ax y 在[-1.5,2]上有最大值3,求a. .取到的端点处或图象顶点处区间）该在函数的定义域（闭解：二次函数的最值应 .,]2,23[,47,137323231)12(2349,,232max 符合题意单调递减上函数在对称轴此时则函数有最大值时若-∴-=+--=-=∴=+--=-=x x x y a a a y x ()2max 12232a y a x a +==≤≤-时，时，当34,22,23,2)3(max -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡->a y x a 时上单调递增函数在时当.02)23(00,121,,2131)12(24,,22max 符合题意且对称轴为此时则函数有最大值时若∴-<--=+==∴=+-+==x x y a a a y x .3221,.],2,23[2,2122121014434211221222max -=∴-∉--=+--=-==++∴=--=-=或综上所述不符合题意，对称轴为，此时，）（时，函数有最大值，则若a x x x y a a a aa y a a x 针对学生不进行检验，教师引导学生挖掘为什么要检验的深层原因。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
分析：将 f ( x ) 配方，得顶点为 - ， ( [ ]（ 1 ）当 - ∈ m ，n 时，f ( x ) 的最小值是 f - ⎪=[ ]若 - < m ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是学习必备欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 fx ) = ax 2 ++bxc (a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n] 上的最大值与最小值。
⎛ b 4ac - b 2⎫ b⎪ 、对称轴为 x =-⎝ 2a 4a ⎭ 2a当 a > 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f ( x ) 的最值：b ⎛b ⎫4ac - b22a ⎝ 2a ⎭ 4a，f ( x ) 的最大值是f (m ) 、f (n ) 中的较大者。
（2）当 -b∉[m ，n ]时2ab 2af (n )若 n < -b，由 f ( x ) 在[m ，n ]上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f (n )2a当 a < 0 时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例 1. 函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习.已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2+x+1的最值。
《二次函数最值问题》教学设计
《二次函数最值问题》教学设计一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。
主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。
本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。
2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。
进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。
渗透转化及分类的数学思想方法。
3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。
(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。
本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。
二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。
通过数学方法解决问题。
学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。
三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。
充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。
因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
二次函数的最值问题教案
一、教学目标：1.了解二次函数的概念和特点；2.掌握求二次函数的最值的方法；3.学会应用最值的概念解决实际问题。
二、教学重点：1.二次函数的最值问题；2.如何应用二次函数的最值解决实际问题。
三、教学难点：怎样将实际问题转化为二次函数的最值问题，并求解出最优解。
四、教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、实例练习题。
五、教学过程：1.导入新课（5分钟）通过引导学生回顾二次函数的概念和特点，例如二次函数的图像形状是抛物线、对称轴方程、顶点坐标等，为今天的课堂引入做铺垫。
2.探究二次函数的最值问题（20分钟）引导学生思考二次函数的图像特点以及对称轴的位置，然后通过实例来说明二次函数的最值问题。
3.求解二次函数的最值（15分钟）教师以简单的二次函数为例，引导学生掌握求解二次函数最值的方法。
首先，通过求得二次函数的导数来判断最值的存在性；其次，应用一元二次方程的求解方法来求最值点横坐标；最后，带入横坐标得到纵坐标。
4.拓展应用实例（15分钟）通过给出一些实际问题的例子，教师引导学生将问题转化为二次函数的最值问题，并通过求解最值来解决实际问题。
例如，有一块矩形草地，其中一边与一堵墙紧贴，另外三边用篱笆围起来，若只有10米篱笆，求该矩形的最大面积。
5.练习与拓展（20分钟）学生自主进行练习题，巩固所学的求解二次函数最值的方法和实际问题的转化。
六、课堂小结（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，并对学生提出的问题进行答疑。
七、课后作业：1.完成教材上相关课后练习；2.自主寻找和解决实际问题，并将其转化为二次函数的最值问题。
八、教学反思：通过本节课的教学，学生在导入环节对二次函数的概念和特点进行了回顾，为学习后续的内容打下了基础。
在探究和求解二次函数最值的过程中，通过引导学生自主思考和举一反三，提高了学生的参与积极性。
在拓展应用环节，通过实际问题的转化，培养了学生应用二次函数求解实际问题的能力。
通过练习与拓展，巩固了学生的求解二次函数最值的方法。
二次函数最值问教学设计与反思
二次函数的运用（1）教学设计何时获得最大利润教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。
教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？教学反思何时获得最大利润1、本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，在这节课中我引导学生从多个角度体会了函数的最值的求法。
二次函数的最值问题微教案公开课
《二次函数的最值问题》微教案一、学习目标1 .能从实际问题中抽象归纳出二次函数模型，写出二次函数表达式，并根据题意能求出自变量的取值范围，体会模型思想.2 .能用一般式、顶点式、交点式快速熟练地求出函数最值.3 .借助函数图象能理解二次函数的最值对应的自变量的值可能是顶点的横坐标或自变量的端点值，理解、应用数形结合思想.二、学习重难点重点：能根据题意写出二次函数表达式，求出自变量的范围，并求出函数最值.难点：能借助函数图象能理解二次函数的最值对应的自变量的值可能是顶点的横坐标或自变量的端点值.三、学习过程（一）问题背景【设计意图】：通过小明家碰到的实际问题引入，激发学生的学习兴趣和探究欲望.（二）问题探究尝试利用一堵墙（墙所足够长），用197米长的围栏围成一个矩形果园ABC与墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用围栏）.那怎么围才能使矩形果园ABCD的面积最大，面积最大值是多少平方米？—华F3w, 1d IIIC问题1你要求的是什么？即目标是什么？M.V问题2矩形果园ABeO面积怎么求？问题3在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？问题4如果设AB为X米，那么你能用X表示BC吗？【设计意图】：通过四个问题的追问帮助学生理清如何建立二次函数模型.问题5回顾解题过程，你还有什么疑惑吗？【设计意图】：通过一个没有求自变量取值范围的错误解题过程，让学生来思辨错误的原因，从而激发学生的好奇心，加深他们对容易忽视的知识点的印象，最后师生共同归纳如何求自变量的取值范围的方法.【设计意图】：师生共同总结如何从实际问题中归纳抽象出二次函数模型，学生体会模型思想.变式利用一堵墙（墙所最多能利用80米），用197米长的围栏围成一个矩形果园ABCD,与墙平行的一边3。
上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用围栏）.那怎么围才能使矩形果园ABCQ的面积最大，面积最大值是多少平方米？【设计意图】：通过改变题目的已知条件，帮助学生理解函数的最值与自变量的取值范围有关，最后借助函数图象得到结论：如果二次函数有最值，最值对应的自变量的值要么是顶点的横坐标，要么是自变量范围的端点值.例如图，小明家窗户的上部是由两个正方形组成的矩形，窗框材料总长为6米，如何改进设计才能使窗户透光面积最大，最大面积是多少平方米（保持窗户的样式不变）？问题1你要求的是什么？即目标是什么？问题2窗户透光面积怎么求？问题3在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？如果设AB为X米，那么你能用X表示A。
两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略
（ 当 时 ） ， 口 １ 日专 ， ＝ 得 ）
（ ２）当 口＞ １时
，
ｆ Ｏ ＝１ 口 二 ，得 口＝ ３ （） 一 ＝４
１ ３
．
１
（ ２）当ｔ １ ＋１ ＜ｔ １ ， （ ＝， １＝１ ＜ ＜ｔ 即０ ＜ 时 ｆ ） （ ） （ ３）当ｔ １ （ ＝ｆ（ ＝ｔ 一 ｔ 时， ｆ ） ｔ ２ ＋２ ）
［ 词］ 二 次函数 ，闲 区间 ，对 称轴 ，最值 关键
影 响二 次 函数 在 闭区 间上 的最值 主要 有 三个 因素 ：抛 物线 的开 口方 向 、对称 轴 和 区间 的位置 。就 高 中学生 而 言 ，感 到 困难 的主 要 是这 两类 问题 ：一 是 动 函数定 区 间 ，二 是定 函数 动 区 间。本 文 以实 例说 明具 体 的求解 方法 ，供读 者 参考 。
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两类二次函数在闭区问上最值问题的求解策略
李冬 明
（ 江苏省泰 兴市扬子江高级 中学，江苏 泰 兴 ２５０ ） ２４０
［ 要］ 二次函数是 高考热点问题之一。因为很 多问题可划归为二次函数来处理 ，所以必须熟练掌握二次函数的图像和性质 ，并能 摘 灵活运用图像和性质去解决问题。主要考查学生由数到形，再由形列出代数条件的能力。在二次函数ｅ ，尤其是含参数的的最值问题。 ｌ ，
厂 ＝ ［ （） 一１
一
＋１＿ｆ＋１ ） ２
（一 ） ＋ ３ 口 ２ 。 ３ ａ］ （一 ）＋ （ ）
ｔ —２ ＋２ ｔ ２ ｔ ，
ｙ ＞Ｏ ．２ ａ ≥０ 而 口 ．－ｘ ． ＞０ ． ∈ ０ ． ［， ． 】
求二次函数的最值 教案
求二次函数的最值教学目的：使学生掌握求二次函数的最值的方法。
重点难点：求一个二次函数关系式中含有参数且自变量又有限制条件的最值问题。
教学过程：一、课题引入一元二次函数是初中学过的内容，但它在高中学习中起到非常重要的作用，贯穿高中全部学习过程，同时也是高考重点考查内容，二次函数的应用很广，主要有不等式和方程的应用，利用二次函数的图象来解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，及求二次函数的最值。
二、讲解课题今天我们主要学习二次函数求最值方面的应用，求一个二次函数的最值，主要分三种情况。
①当自变量X 可以取一切实数时，y=ax 2+bx+c （a ≠0）的最值可用公式a b ac 442-求得，也可以用配方法把x=-ab 2代入解析式求得。
例： 已知：函数y=x 2-2x+3（x ∈R ），求函数的最值。
解：由y=x 2-2x+3=（x-1）2+2得：当x=1时y min =2②当自变量x 有限制条件时，要求y= ax 2+bx+c （a ≠0）的最值，主要利用数形结合法，画出y= ax 2+bx+c 在限制X 围内的图像，由图像并结合二次函数的单调性得出最大值和最小值。
同时指出作二次函数的图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，然后看与x 轴的交点。
例：已知：y=f （x ）=322+-x x ,当[]1,+∈t t x 时,求函数的最大值和最小值。
[思路分析：]本题二次函数图像不变，而限制条件区间在变，属“轴定区间变”的题型，故应对区间进行分类讨论，其分类方法主要按对称轴在闭区间内、左边、右边讨论，在闭区间左边或右边可以利用单调性求得，在闭区间内需要比较两端点函数值的大小。
①当11≤+t ，即0≤t 时，由图像知：2)1(2min +=+=t t f y32)(2max +-==t t t f y②当1≥t 时，由图像知：32)(2min +-==t t t f y2)1(2max +=+=t t f y③当11+t t ，即10 t 时，（Ⅰ）当⎩⎨⎧+≥10)1()( t t f t f 时，即210≤t 时，由图像知： 32)(2max +-==t t t f y 3)1(min ==f y（Ⅱ）当⎩⎨⎧+10)()1( t t f t f ，即121 t 时： 3)1(min ==f y2)1(2max +=+=t t f y综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+-=21t 221 ,3222max t t t t y ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+=1 t 32t -t 1t 0 30 t 222min t y ③当二次函数关系式含有参数且自变量又有限制条件时，要对参数进行讨论，一般分对称轴在限制条件内和限制条件外两大类进行分类讨论来解决问题。
二次函数的最值问题教案
二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。
2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。
3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。
教学内容：
1. 二次函数最值的概念。
2. 求解二次函数最值的方法。
3. 应用实例。
教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。
2. 运用二次函数解决实际问题。
教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。
2. 灵活运用二次函数解决实际问题。
教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。
2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。
3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。
教具准备：
1. 黑板和粉笔。
2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。
3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。
教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。
2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。
3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。
4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。
5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
22.2二次函数在给定范围内的最值(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在给定范围内的最值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，关于学生小组讨论环节，我发现有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对二次函数最值的理解还不够深入。在今后的教学中，我会更加关注这部分学生，通过设置不同难度的讨论题目，引导他们积极参与讨论，提高他们的自信心。
最后，总结回顾环节，我觉得学生对今天所学知识的掌握程度总体较好，但仍有个别学生对某些知识点存在疑惑。为了帮助学生巩固所学，我计划在课后布置一些具有针对性的练习题，并鼓励学生在课堂上提问，及时解决他们的困惑。
3.培养学生的直观想象能力：通过二次函数图像的分析，让学生感知函数图像与最值之间的关系，增强直观想象能力。
4.培养学生的数据分析素养：在面对给定范围内的最值问题时，引导学生通过分析数据，找出关键信息，解决问题。
5.培养学生的数学运算能力：在求解最值的过程中，加强学生的数学运算技能，提高解题效率。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数在给定范围内的最值的基本概念。二次函数的最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。它是分析二次函数性质的重要工具，广泛应用于数学、物理、经济等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-区分开区间和闭区间最值的求解方法：在开区间和闭区间内求解最值的方法有所不同，学生需要明确两者的区别。
二次函数在闭区间上的最值教案
《探究二次函数在闭区间上的最值》教案教学目标1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，会运用二次函数在闭区间上的图像研究相关问题。
2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。
3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作交流的能力。
教学重点与难点重点：借助二次函数的单调性求解它在闭区间上的最值。
难点：利用数形结合和分类讨论的方法求解含参二次函数的最值。
教学方法设置问题，引导并起发学生的求知欲，通过分组讨论、合作探究、学生展示、点评等多种方式让学生参与到课堂当中。
教学过程（一）、实例引入开学大酬宾，延安移动准备在医学院校园利用边长为2，a(a>2)长方形旧场地（如图）改造成室内展区（图中阴影）和露天展区两部分进行手机大促销，现被平行于两边的线段所分割。
为使室内展区面积S 最小，应如何分割？ 分析：问题①：求出解析式S （x ）;引导学生看图，找出S 与x 的的等量关系。
（学生思考）得出：化简得：（二次函数）得到问题——即求含参数二次函数在区间[0，2]的最小值。
问题②：含参数二次函数在区间[0，2]的最小值。
（给出本课研究重点）。
[]2()()(2);0,2S x x a x x x =+--∈S[]222()2(2)2;[0,2]2124()2();0,248S x x a x a x a a a S x x x =-++∈+-+-=-+∈【设计意图】激发学生的兴趣和探索新知的欲望。
【学情预设】可能部分学生忽视定义域。
（二）、探究新课【设计意图】通过“探究1——探究2——探究3”问题串的形式让学生讨论探究出二次函数在闭区间上的最值一般解法和规律,并感受数形结合思想与分类讨论思想在解决数学问题中的重要作用.1.探究1：二次函数在给定区间上最值的求法.【设计意图】通过探究1,让学生讨论探究定函数在定区间上最值求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题.【师生活动】1.探究1:求二次函数在下列区间上的最值：2.思考：通过探究1，你认为二次函数在闭区间上的最值有何规律？教师活动1.投影出探究1，检查学生课前预习的情况;2.叫部分学生回答投影出探究1的答案让学生核对，并借助图像进行分析讲解.3.在此基础上和学生互动讨论二次函数在闭区间上的最值的规律.学生活动1.尝试解决探究1并核对正确答案；2.思考探究1中二次函数在闭区间上的最值的规律并积极讨论回答问题.【学情预设】探究1是最基本的题型，大部分学生可以自己完成.（1）是学生非常熟悉的二次函数在的最值问题，在初中就已经解决过了；（2）、（3）、（4）依次是对称轴在闭区间右侧、内部、左侧的情形，通过观察图像，运用单调性的相关知识也可以解决.这里难度较大的是如何让学生讨论探究出此类题型的最值的规律，故要借助图像引导学生总结出解法及规律.2.探究2：二次函数在与参数有关的区间上最值的求法.【设计意图】通过探究2,让学生讨论探究定函数在动区间上最值求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题.【师生活动】1.探究2:求二次函数在区间上的最值.2.思考：探究2与探究1有何区别？探究1中讨论所得的规律是否适用于探究2？3.实验：观察探究2中参数对函数在区间上最值的影响.4.师生合作，讨论解决探究2.5.思考：探究2中，与参数之间有何关系？6.思考：通过探究2，你认为二次函数在含有参数的闭区间上的最值有何规律？教师活动1.投影出探究2，引导学生分析探究2与探究1的区别.2.借助几何画板课件，动态演示变化时相应的区间在变化，二次函数在闭区间上的图像也随着变化，从而影响到最值.3.分组讨论，教师巡视指导。
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闭区间上二次函数最值问题教案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-闭区间上二次函数的最值问题一、?教材分析1、教学背景二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。
二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。
二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。
这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
2、学情分析从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。
从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题二、?教学目标分析1.会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。
2.了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
3.经历从“轴动区间定”到“轴定区间动”的类比推理，培养学生类比推理能力；使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
三、教学方法：类比推理法，讲授发现法四、教学过程分析1. 课前回顾回顾：一元二次函数f x ax bx c a ()()=++≠20的对称轴为__________，顶点为________。
a >0时，f x ax bx c a ()()=++≠20在__________上是增函数；在__________上是减函数.2. 精析例题1) 轴定区间定：二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数2()23f x x x =-+在下列区间上最值：（1）x ∈ （2）[]3,2x ∈-- （3）[]2,2x ∈- （4）[]2,4x ∈【学情预设】例1是最基本的题型，学生可以自己完成.（1）是学生非常熟悉的二次函数在的最值问题，在初中就已经解决过了；（2）、（3）、（4）依次是对称轴在闭区间右侧、内部、左侧的情形，通过观察图像，运用单调性的相关知识也可以解决.这里难度较大的是如何让学生讨论例出此类题型的最值的规律，故要借助图像引导学生总结出解法及规律.2) 轴定区间变：二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. （1）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。
（2）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最大值。
（3）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最值。
解：分别设2()22f x x x =-+在[,1]x t t ∈+上的最大、最小值分别为()()M t m t 、，则由对称轴为1x =，分4种情况讨论：（1）11t +≤，即0t ≤时，22()()-22()(1)1M t f t t t m t f t t ==+=+=+、（2）1t ≥时，22()(1)1()()-22M t f t t m t f t t t =+=+==+、（3）011-1-1t t t <<<+，且，即112t <<时，（4）011-1-1t t t <<≥+，且，即112t <≤时， 综上，22122()2()11()2t t t M t t t ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，221(0)()1(01)22(1)t t m t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ 【学情预设】例2是难度较大的题型涉及到分类讨论以及字母的推理运算，因而通过三小问来分解难度。
教师要借助几何画板引导学生观察出变化时相应的区间在变化，二次函数在闭区间[]t t ，+1上的图像也随着变化，从而影响到最值.教师注意和学生互动讨论并且在黑板上演示规范化解题的格式.学生对于是关于参数的函数较难理解，教师要注意用函数概念加以说明，此处也是让学生对函数概念螺旋式上升理解的一个具体例子. 学生讨论归纳例2的解题方法和规律时教师要引导学生注意分类讨论思想的应用.【设计意图】启发学生类比轴变区间定的情形结合函数的图像和性质进行分类讨论，注意明确：如果两个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式。
3) 轴变区间定：二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内例3. 已知22)(2+-=tx x x f 在]1,0[∈x 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式. 解：对称轴x t =，分三种情况讨论（1）0t ≤时，()(0)0g t f ==（2）01t <≤时，2()()2g t f t t ==-（3）1t <时，()(1)32g t f t ==-综上，22(0)()2(01)32(1)t g t t t t t ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩【学情预设】例3是与例2有区别的另一类难度较大的题型，根据运动的相对性,学生可以对比例2的解题过程讨论出例3的解题方法和规律来. 如果时间允许，例3将为学生提供一次数学猜想、试验的机会. 例3设置的目的是为学生自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证.【设计意图】例3通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性. 3.归纳整理1)二次函数在闭区间上的最值的求法:四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看（看图像）.2)二次函数在闭区间上的最值的规律:两大类（对称轴在闭区间内、外）四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）. 3)本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想.本节课涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的常见问题，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是：1、确定开口;1、根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。
在过程中我们运用了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法。
4.课堂检测1)已知函数2=-++-，[0,1]f x x ax a()21x∈上的最值。
2) 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
点评：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，本练习要求学生会求解已知二次函数在某区间上的最值时函数或区间中参数的取值，并可由此总结得到，不管是哪一类问题的关键都是确定开口和对称轴与区间的位置关系。
5. 结束语数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事非！ ——华罗庚【设计意图】借助名人名言再次强调数形结合思想的重要性.6. 作业设计（一）课后习题A 组一一必做题1) 函数28y x x =-+在下列区间上最值：（1）[]6,0x ∈- （3）[]2,6x ∈ （4）[]7,10x ∈2) 函数[]2()23,,2f x x x x t t =--∈+，求函数()f x 的最值。
3) 函数[]2()3,2,2f x x ax x =++∈-，求函数()f x 的最值。
【设计意图】学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律.本节课是由实例引入的，课后让学生思考完成实例，从而达到学以致用、解决实际问题的目的.（二）课后习题B 组一一选做题4) 已知)(x f 22a ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。
5) 如何求函数[]22()21,1,2f x ax a x x =-+∈-的最值？【设计意图】让部分学有余力的同学积极去完成，培养学生的探索精神.五、板书设计六、教学设计说明一方面二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容，也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点，因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法. 另一方面，二次函数在闭区间上的最值属于程序性知识，需要教师运用理性的教学方法，让学生在认知单调性与最值等相关知识的基础上熟练掌握二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律.哈尔莫斯曾说过 问题是数学的 “心脏”，根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课.在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值；运用“探究——讨论”模式，使学生运用单调性与最值的知识既巩固了函数的单调性与最大（小）值的知识，又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点.。