8.2 单服务台排队模型
MATLAB模拟银行单服务台排队模型
MATLAB模拟银行单服务台排队模型银行单服务台排队模型是一种常见的排队模型，主要用于描述在银行等排队服务场所中，只有一个服务员的情况下，客户如何排队等待服务的情况。
1.模型假设在进行银行单服务台排队模型的建模过程中，我们需要进行一些假设，以简化问题的复杂性。
这些假设包括：-客户到达时间服从泊松分布：客户到达时间间隔服从泊松分布，即客户到达服从一个固定的时间间隔。
-服务时间服从指数分布：每个客户的服务时间是独立同分布的，服从指数分布。
-服务台只有一个：我们假设只有一个服务台，客户按照到达的顺序排队等待服务。
-客户不能提前离开：我们不考虑客户在等待期间可能会放弃等待而提前离开的情况。
2.模型参数在建立银行单服务台排队模型时，我们需要定义一些模型参数。
这些参数包括：-平均到达率λ：客户的平均到达率，表示单位时间内到达的客户数量的期望值。
-平均服务率μ：服务员的平均服务率，表示单位时间内服务的客户数量的期望值。
-服务台利用率ρ：服务台的利用率，表示服务台的平均使用率。
-平均等待时间W：客户平均等待服务的时间。
-平均队列长度L：客户平均排队等待的队列长度。
3.模拟过程为了模拟银行单服务台排队模型，我们使用MATLAB编程进行模拟。
以下是一个简单的模拟过程：-生成客户到达时间间隔：使用泊松分布生成客户到达时间间隔。
-生成客户服务时间：使用指数分布生成客户的服务时间。
-计算客户到达时间和服务完成时间：根据客户的到达时间间隔和服务时间，计算客户的到达时间和服务完成时间。
-计算客户的等待时间：根据客户的到达时间和服务完成时间，计算客户的等待时间。
-统计模拟结果：统计客户的等待时间、队列长度等模拟结果。
4.结果分析通过对模拟结果的分析，我们可以得到一些关键的结果，包括：-平均等待时间：通过计算客户的平均等待时间，可以评估服务台的效率和客户的等待体验。
-平均队列长度：通过计算客户的平均排队等待的队列长度，可以评估服务台的负载情况。
排队模型——精选推荐
排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
队列的应用——单服务台排队系统的模拟
队列的应用：单服务台排队系统的模拟一、三个模拟1.离散事件模拟系统在排队系统中，主要有两类事件：顾客的到达事件和服务完毕后顾客的离去事件，整个系统就是不断有到达事件和离开事件的发生，这些事件并不是连续发生的，因此这样的系统被称为离散事件模拟系统。
（1）事件处理过程如果服务员没空，就去队列中排队；否则就为这个顾客生成服务所需的时间t，表示服务员开始为它服务，所需的服务时间是t。
每当一个离开事件发生，就检查有没有顾客在排队，如果有顾客在排队，则让队头顾客离队，为它提供服务，如果没有顾客排队，则服务员可以休息。
（2）如何产生顾客到达事件和离开事件在一个排队系统中，顾客的到达时间和为每个顾客服务的时间并不一定是固定的。
但从统计上来看是服从一定的概率分布。
假设到达的间隔时间和服务时间都满足均匀分布，则可以用随机数产生器产生的随机数。
①以生成顾客到达事件为例子如顾客到达的间隔时间服从[a,b]之间的均匀分布，则可以生成一个[a,b]之间的随机数x，表示前一个顾客到达后，经过了x的时间后又有一个顾客到达。
[a,b]之间的随机数可以按照下面的过程产生：假如系统的随机数生成器生成的随机数是均匀分布在0到RAND_MAX之间，可以把0到RAND_MAX之间的区间等分成b-a+1个，当生成的随机数落在第一个区间，则表示生成的是a，当落在第二个区间，则表示生成的是a+1…当落在最后一个区间，则表示生成的是b。
这个转换可以用rand()*(b-a+1)/( RAND_MAX+1)+a实现，rand 表示系统的随机数生成函数。
2.离散的时间驱动模拟在得到了在x秒后有一个事件生成的信息时，并不真正需要让系统等待x秒再处理该事件。
在模拟系统中，一般不需要使用真实的精确事件，只要用一个时间单位即可，这个时间单位是嘀嗒tick，可以表示1秒，也可以表示1min\1h.沿着时间轴，模拟每一个嘀嗒中发生了什么事件并处理该事件。
模拟开始时时钟是0嘀嗒，随后每一步都把时钟加1嘀嗒，并检查这个时间内是否有事件发生，如果有，则处理并生成统计信息。
Witness单服务台排队系统实验详细步骤
第8章 单服务台排队系统仿真排队系统是离散事件系统中的典型的问题。
制造系统、生产系统、服务系统、修理和维护设备、交通运输和物资材料管理系统都是典型的有形或无形的排队系统。
由于排队系统的应用已越来越广泛，排队特征、排队规则、服务机构也变得越来越复杂，用解析方法已无法求解，计算机模拟是求解排队系统和分析排队系统性能的非常有效的方法。
8.1 单服务台排队系统系统描述与仿真目的1）了解排队系统的设计。
2）熟悉系统元素Part 、Machine 、Buffer 、Variable 、Timeseries 的用法。
3）深入研究系统元素Part 的用法。
4）研究不同的顾客服务时间和顾客的到达特性对仿真结果的影响。
8.2 单服务台排队系统工作流程8.2.1 顾客到达特性在该系统中，顾客的到达规模（成批到达还是单个到达）是单个到达，顾客到达率Ai 服从均值为 的指数分布，即8.2.2 顾客服务时间顾客服务时间为Si ，服从指数分布，均值为 ，即 8.3 仿真模型的设计8.3.1 元素定义（Define ）本系统的元素定义如表8-1所示。
表8-1 实体元素定义min 5=A βAs Ae Af ββ/)(-=)0(≥A min 4=s βSA Se Sf ββ/)(-=)0(≥S8.3.2 元素可视化（Display）设置各个实体元素的显示特征定义设置如图8-1所示。
图8-1 各个实体元素的显示特征1．Part元素可视化设置在元素选择窗口选择Guke元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图8-2），设置它的Text（图8-3）、Icon（图8-4）。
图8-2 Display对话框图8-3 Display Text对话框图8-4 Display Icon对话框2．Buffer元素可视化设置在元素选择窗口选择Paidui元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图8-2），设置它的Text、Icon、Rectangle（图8-5）。
排队论例题
莄几种典型的排队模型螁（1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型羁系统的稳态概率P n膈P。
=1 一匸，T = •/「：1为服务强度；P n二（1 螅系统运行指标蒃a.系统中的平均顾客数（队长期望值）Q0螀Ls =' n.Pn a膈b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）O0 膆L q 八（n -1）-P ni =0羀C.系统中顾客停留时间的期望值蕿W s卩一九芈d.队列中顾客等待时间的期望值1 P 薇W q=W s -蚂⑵M/M/1/N/ 7FCFS单服务台排队模型薂系统的稳态概率P n1-P f莈R =1 N7, ” 1；P n 1-?—汕1蚃系统运行指标»n。
莄a•系统中的平均顾客数（队长期望值）莀b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒈c.系统中顾客停留时间的期望值肄d•队列中顾客等待时间的期望值1W q =Ws-~腿（3）M/M/1/ /m/FCFS（或 M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型薈系统的稳态概率P n薄系统运行指标袈a•系统中的平均顾客数（队长期望值）蚇b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）祎c.系统中顾客停留时间的期望值 羂d•队列中顾客等待时间的期望值羁⑷M/M/c/ 7 7FCFS单服务台排队模型蚇系统的稳态概率P n二1九k 肃P03卅）1九n— (—)P 0,n^c1c () P o ,n Cc!c '螄系统运行指标蚀a•系统中的平均顾客数（队长期望值）：蒅P o 二市1一m! (m - n)!(丁)nP °,1 乞 n 冬 m螇b •系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒄c.系统中顾客停留时间的期望值:膂d •队列中顾客等待时间的期望值:葿［典型例题精解］袇例1 ：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
排队模型分析法
排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不
允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队
等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
排队系统的基本组成——服务机构
1) 服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联
2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物)
3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
排队方式
MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
定长分布(deterministic distribution)
M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in
queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
D——确定型
Ek——k阶爱尔朗分布
GI——一般相互独立的时间间隔分布
G——一般服务时间分布
四、排队模型的数量指标
1、平均队长(Ls)： 指在系统中的顾客数（包括正被服务的顾客 和排队等待的顾客）的期望值。 2、平均排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数的期望值。
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、平均逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间期望值。
λΔt
n
n-2 Pn-2(t) 2
(C)
n-3
…
Pn-3(t) …
3 …
0 P0(t) n
o(Δt)
n n … n
[0, t+Δt ) 概率
Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) Pn-1(t)λΔt
o(Δt)
在上述条件下，研究顾客到达数 n 的概率分布 Pn(t+Δt)= Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) + Pn-1(t)λΔt + o(Δt)
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
2、排队论的起源与应用领域
1）、20世纪初Bell电话公司为减少用户呼叫， 研究电话线路合理配置问题；
2）、1909年丹麦工程师A.K.Erlang受热力 学统计平衡概念启发发表论文《概率论与电 话交换》，解决上述问题；
3）、应用于：通讯系统、交通运输、机器 维修、库存控制、计算几设计等领域。
Pn(t+Δt)= Pn(t)(1-λΔt )+Pn-1(t)λΔt+ o(Δt) [Pn(t+Δt)-Pn(t)]/Δt =-λPn(t)+λPn-1(t)+[o(Δt)]/Δt
第十五章排队系统分析单服务台模型 30页PPT文档
顾客到达就能理发的概率 相当于理发店内没有顾客
P01 1 N111 (33//44)80.2778
等待顾客数的期望值
Ls1 (N 1 1 )N N 111 33 /4 /418 (3 (3 //44 )8 )82.11
LqLs(1P 0)2.1 1(10.27)7 18 .39 运筹学
Little公式（相互关系）
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls
Lq
运筹学
例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的 记录如下：
到达的病人数
n 0 1 2 3 4 5 6 以上 合计
出现次数
un 10 28 29 16 10
6 1 100
完成手术时间
r 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2 以上
平衡方程：
pn 1 p0
n
P nP 1 0 P P n 11 0()P n0
n 0 n 1
求解：令: ，且当 1时
P P0 n 1 (1)n n1
运筹学
关于 的几点说明：
(1) (2)
合计
出现次数
vr 38 25 17 9 6 5 0 100 运筹学
解：2.1,2.5每小时病人平均到达率
到完达成的手病术人时数间
nr 0.0~00.2 0.2~10.4 0.4~20.6 0.6~30.8
出现次数
vur n 3180 2258 1279 19 6
nun 2.1（人/小时）
其中
Cn
排队系统
排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长 ， 即稳态系统任一时刻的 平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客 在公路收费站排队的车辆 病人 到达机场上空的飞机 不能运转的机器 到达港口的货船 客户 进入我方阵地的敌机 汽车驾驶员 需加油车辆 服务内容 收费 看病 降落 修理 装货（卸货） 装货（卸货） 法律咨询 我方防空火力射 执照年码头或泊位 法律咨询人员 我方高炮或防空导弹 管理部门年审办事员 加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称； 顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机 构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统 。 顾客为了得到某种服务而到达系统， 顾客为了得到某种服务而到达系统 ， 若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍， 服务而又允许排队等待 ， 则加入等待队伍 ， 待获得服 务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束 的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票 员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。 售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然 后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相 关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状 态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的 基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是 排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰 到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验 顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务 时间的分布及有关参数等。
排 队 模 型
λe是指单位时间内进入服务系统的平均顾客 人数。 这个指标是专门针对有限等待空间排队系统 而言的。
备注：实际上，后面这五个指标也在一定
程度上能够说明服务系统的运行状况和效率。
8
三、排队模型及其应用
单服务台
排队系统
到达率服从泊松分布 服务时间服从负指数
分布
多服务台
1
2
3
4
5
6
等待空间无限 等待空间无限 等待空间有限 等待空间无限 等待空间无限 等待空间有限
离开服务系统的全部时间的平均值，包括排队等待 时间和接受服务的时间；
平均等待时间Tq是指顾客在系统中排队等待的时
间的平均值。
备注：以上两对共四个指标对顾客和管理者而言都是非
常重要的运行指标。这四个指标的值越小，就说明系统的队列 越短，顾客等候时间越短，进而说明系统的运行性能越好。为 了计算上述运行指标，还需要用到下面五个常用的数量指标。
客源总量无限 客源总量有限 客源总量无限 客源总量无限 客源总量有限 客源总量无限
M/M/1/∞/ ∞ M/M/1/∞/ m M/M/1/N/ ∞ M/M/c/∞/ ∞ M/M/c/∞/ m M/M/c/N/∞
9
例如，M/M/1/∞/∞系统 的数学模型：
P0 Ls
1 , Pn
Hale Waihona Puke ，Lq(1 ) n，n≥1
服务管理
排队模型
排队系统的标记及分类方法 衡量排队系统运行效率的工作指标 排队模型及其应用
2
一、排队系统的标记及分类方法
1957年，英国数学家肯德尔（D.G.Kendall）提出了一种对排 队系统进行标识和分类的方法：A/B/C A=相继到达的间隔时间的分布；B=服务时间的分布；C= 平行服务台的数目。 A和B是两个统计变量，可能存在不同的分布类型。我们 使用下面的符号代表不同类型的分布：
8.2 单服务台排队模型
3
排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
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4
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
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24
20人 /小 时24人 /小 时
（5）平均逗留时间
W L 5 0 .2 （ 5小 时 ） 1 5 （ 分 钟 ） 2 0 （6）系统内有n个患者取药的概率
P nn ( 1 ) ( 1 2 2 0 4 ) (2 2 0 4 )n n 1 ,2 ,3 ,
P 1 1 3 . 8 9 % P 2 1 1 . 5 7 % P 3 9 . 6 5 %
1
2
3
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn2.（ 1人 /小 时 ） 100
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11
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
单服务员的排队模型
单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，售货员逐个地接待顾客．当到来的顾客较多时，一部分顾客便须排队等待，被接待后的顾客便离开商店．设：1．顾客到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布．２．对顾客的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布．３．排队按先到先服务规则，队长无限制．（1）模拟100个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日顾客的平均等待时间．MATLAB程序：clearsm=0;%总工作时间，初始为0m=0;%服务总个数for j=1:100jw(j)=0;i=2;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while b(i)<=480y(i)=unifrnd(4,15);e(i)=b(i)+y(i);w(j)=w(j)+b(i)-c(i);i=i+1;x(i)=exprnd(10);c(i)=c(i-1)+x(i);b(i)=max(c(i),e(i-1));endi=i-2;t=w(j)/i %每j日顾客的平均等待时间m=m+i;sm=sm+w(j);%总的等待时间endm ; %100日服务总个数am=m/100 %输出平均每日完成服务的个数at= sm/m %输出平均每日顾客平均等待时间运行结果：j =1t =7.6488j =2t =21.5629j =3t =48.0306j =4t =15.3583j =5t =29.0681 j =6t =43.9925 j =7t =9.1838 j =8t =29.3542 j =9t =37.3775j =10t =36.6198 j =11t =15.1372 j =12t =11.9697 j =13t =46.2765 j =14t =5.0990 j =15t =12.4896 j =16t =19.3674 j =17t =27.7045 j =18t =13.7486 j =19t =24.3442 j =20t =10.8663 j =21t =8.0429 j =22t =10.372323t =11.8501 j =24t =14.3409 j =25t =46.0177 j =26t =8.8139 j =27t =5.3630 j =28t =12.8179 j =29t =7.2817 j =30t =11.1612 j =31t =9.3863j =32t =62.4873 j =33t =13.0453 j =34t =21.7910 j =35t =16.5294 j =36t =12.2347 j =37t =24.9796 j =38t =78.2435 j =39t =24.3057 j =40t =15.2035 j =41t =46.8024 j =42t =56.4635 j =43t =37.1819 j =44t =18.293145t =55.0295 j =46t =35.6992 j =47t =24.6073 j =48t =12.9206 j =49t =15.4886 j =50t =17.0108 j =51t =20.9452 j =52t =21.8094 j =53t =75.8497j =54t =25.1111 j =55t =34.9260 j =56t =32.5712 j =57t =27.9767 j =58t =29.5067 j =59t =29.4701 j =60t =19.2476 j =61t =16.3576 j =62t =8.8686 j =63t =29.0910 j =64t =14.7117 j =65t =36.7096 j =66t =46.951267t =7.7582 j =68t =11.8390 j =69t =43.2197 j =70t =97.6024 j =71t =70.4187 j =72t =8.5048 j =73t =4.1632 j =74t =18.7508 j =75t =41.1622j =76t =28.1712 j =77t =56.6012 j =78t =45.1566 j =79t =12.9582 j =80t =6.6022 j =81t =19.3046 j =82t =26.1914 j =83t =8.4448 j =84t =18.3721 j =85t =18.1843 j =86t =41.0727 j =87t =7.7466 j =88t =54.313889t =22.9150 j =90t =68.9592 j =91t =11.5373 j =92t =14.4600 j =93t =27.6556 j =94t =41.1297 j =95t =24.8645 j =96t =36.2404 j =97t =5.2884j =98t =7.2035 j =99t =25.1523 j =100t =24.6979 am =44.1400 at =27.1289。
排队模型2
单队多服务台和多种单队单服务系统旳比较：
模型
指标
• 服务台空闲旳 概率P0
• 顾客必须等待 旳概率
平均队长Lq
• 系统中顾客旳 平均数L
（1）单队多服务台模型
0.0748 P(n≥3)=0.57
1.70 3.95 4.39 (分钟) 1.89(分钟)
（2）单队单服务台模型
M
1
( M 1) M M M1 (1 M1 )(1 )
1
1
(M 1
1) M 1 M 1
1 L M/2
对 (M 1) M1 旳讨论： 1 M1
因为 1, M 0， 所以
( M 1) M1
L
1
1 M1
①其值恒不小于零， 即在队长受限制旳条件下， 系统中旳平均顾客数一定不不小于队长不受限制时旳平均顾客
M S 10, 6, 0.5,
S 6 12 0.5
P0
(12)0 0!
(12)1 1!
(12)2 2!
(12)3 3!
(12)10 10!
1
0.0018
P10
(S )M
M!
P0
(12)10 10!
0.0018
0.3019
P0
(12)0 0!
(12)1 1!
(12)2 2!
( N n)!
N! n
( N n)!
[M/M/1]：[∞ /N/FCFS]系统
P0 N
1
N! n
n0 ( N n)!
可求得系统旳各项指标为
L N (1 P0 )
W N 1
(1 P0 )
不要求不大于1
Pn
排队论大学课件8-单服务窗排队模型
书57页
18
4 可变服务率的M/M/1排队模型
服务率会因为系统中的顾客数不同而变化 举例1（有2种服务率的情况）
等待制排队系统，服务率大于到达率时系统才能 进入统计平衡状态
0 1 1 2
n-1
n 1
n+1 2
2
1
1
1
2
2
2
顾客数小于等于n时，采用服务率1
0
1
2
m-1
m
可约、状态有限，因此是个遍历链，必 定存在唯一的平稳分布
11
3.3 M/M/1/m的平稳分布
平衡方程
正则条件： 1
p1 p0 p0 2 p2 p1 p 0 ... m pm p m 1 p 0
k-1 +k-2
k
k+1 +k
+k-1
26
7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m
顾客到达排队系统间隔时间服从负指数分布 顾客接受服务的时间服从负指数分布，参数为 假定顾客源中单个顾客的到达率为
顾客源中的顾客数m-c (m-c)
系统内的顾客数c
0cm
k 0
k 1
(1 )(
1
)
1
2. 顾客在系统内平均逗留时间
Ws Ls
1
(1 )
1
5
2.4 M/M/1的目标参量
MMs排队模型答案解析
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑.因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长*- (2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B 和闲期I 分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ- 忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ- (2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数 24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==<0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间 0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数 0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.数据分析设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u rμ1μ2sμs 个,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长, 称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s nn s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s ss n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n sn p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标模型s=1 s=2 空闲的概率p00.333 05有1个病人的概率p1有2个病人的概率p20.2220.1480.3330.111平均病人数L平均等待病人数L q 21.3330.750.083病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 10.6670.3750.042病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1-p0) 0.167(=1-p0 -p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4 某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s 模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
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1.7（人） 3.95（人） 4.39（分钟）
2.25（人） （各子系统）
3（人） （各子系统） 10（分钟）
平均等待时间 1.89（分钟）
7.5（分钟）
优于
Pn
n n!
e
理论频数 100 Pn
( fn 100Pn ) 2 100Pn
0
10
0.1224
12.24
0.4099
1
28
0.2571
25.71
0.2039
2
29
0.2700
27.00
0.1481
3
16
0.1890
18.90
0.4449
4
10Biblioteka 0.09929.92
0.0006
5 ≥6
6
0.0416
1 7
其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服 务率。
例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时， 每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的 到达数是否服从泊松分布。
到达 数n
0
出现 次数fn
10
患者在单位时间内到达数的频数分布
1
2
3
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn 2.（1 人 / 小时）
(3)普通性 在充分短的时间区间Δt内，到达两个或两
个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即
lim
t 0
n2
Pn
(t
t
)
0
在长为 t 的时间内到达n个顾客的概率为：
Pn
(t)
(t)n
n!
et
(t 0)
n 0,1, 2,
其中λ表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。
当t=1时，
Pn
n
n!
e
二、M/M/C模型与C个M/M/1模型的比较
例 某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从
泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时 间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就 诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然 系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/C型的排队服 务模型。求：该系统的运行指标。
1
P0
1
1
P0 1
其中P0是空闲概率，
Pn
(1
)n
为利用率（服务台处于繁忙的概率）
对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式：
P0 1
L 1 WL
Pn n (1 )
Lq
2 (
)
Wq
Lq
例8-2 设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按 泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服 从指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排 队系统的状态概率和运行指标。
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
n=1： P0 P2 ( )P1
P0
P2
(
)
P0
P2
(
)2
P0
n=2： P1 P3 ( )P2
P0
P3
(
)
2 2
P0
P3
(
)3
P0
类似可得
Pn
(
)n
P0
令
Pn ()n P0
由概率性质可知， Pn 1 n0
n0
Pn
( )n P0
n0
1
P0 ( )n
n0
2 0.05(4)
9.488
P 0.05
卡方分布下的检验水准及其临界值
接受假设，即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的 泊松分布。
第八章 排队论
第二节 单服务台M/M/1排队模型
M/M/1/∞/∞ 模型
1、模型条件 （1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到
达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从 负指数分布； （2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务； （3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随 机的，服从相同的负指数分布 。
20人 / 小时 24人 / 小时
（5）平均逗留时间
W L 5 0.2（5 小时） 15（分钟）
20
（6）系统内有n个患者取药的概率
Pn
n (1
)
(1
20) ( 20)n 24 24
n 1, 2,3,
P1 13.89% P2 11.57% P3 9.65%
如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说 病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为 病人准备多少座位？
100
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
Ak
Tk
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！
2、计算公式
到达数(n) 出现次数 f n
0.0207
4.16 2.076.23
0.0952
∑
100
1.0000
100
1.3026
2 k ( Ai Ti )2 ,
i1
Ti
k 1 a a为参数的个数
2、计算公式
2 k (Ai Ti )2 1.3026
i1
Ti
k 1 a 611 4
2 0.05(4)
9.488
而 2
1.3026
n 0,1, 2,
表示单位时间内到达n个顾客的概率。
容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等， 均为λ。
2、负指数分布 当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间 T必服从负指数分布。
fT (t) et (t 0)
顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布
f (t) et (t 0)
n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的 机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机 型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位 就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元， 试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
解：这是一个M/M/1/∞/∞系统，单列，FCFS规则 根据题意已知，
20人 / 小时
1/ 2.5分钟 / 人
1 人 / 分钟= 1 60 24人 / 小时
2.5
2.5
20人 / 小时 24人 / 小时
（1）药剂员空闲率
P0
1
1
1
20 24
0.1667
16.67%
若按每天8小时工作时间计算，该药剂员每天的空闲
2.253
3！1/ 4
0.0748
0.57
如果在上例中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自 排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间 也互不串换，这就形成3个队列，而前例中的其它条件 不变。假设每个队列平均到达率相等且为： λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3（人/分钟） 这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
λ
λ
λ
λ
0
1
...
n-1
μμ
μ
μ
λ
λ
n
n+1
μ
μ
状态0： P1 P0
P1
P0
状态n： Pn1 Pn1 ( )Pn
n 1, 2,3,
解：C 3, 0.9人 / 分钟， 0.4人 / 分钟， 0.9 3
C 3 0.4 4
1 整个挂号间空闲的概率
P0＝
2.25 0
0！
＋
2.25 1
1！
＋2.25 2
2！
＋
2.25 3
3！
1 1－2.25/
3
1
0.0748
2 等待挂号的平均人数或称队列长
Lq＝
2.
253
3!
3
表 8-3 四种机型的使用费用和服务率
机型
固定费用 C1 元/小时
操作费用 C2 元/小时
服务率 人/小时
A
8
60
5
B
10
C
18
75
6
84
7
D
20
120
8
表 8-4 四种机型在 1 小时内的综合费用
机型 固定费用