高考数学向量运算与复数运算、算法、推理与证明
向量运算与复数运算、算法、推理与证明
高考考点考点解读
平面向量的运算及运用1.以平面图形为载体,借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义
2.以平面向量基本定理为出发点,与向量的坐标运算、数量积交汇命题
3.直接利用数量积运算公式进行运算,求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系
复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等
2.复数的几何意义及四则运算,重点考查复数的乘除运算
程序框图1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句,尤其是含循环结构的程序框图
2.与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查
合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理,重点考查归纳推理和类比推理
2.以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理
本部分内容在备考时应注意以下几个方面:
(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件,熟记平面向量的相关公式,掌握求模、夹角的方法.
(2)掌握复数的基本概念及运算法则,在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解,同时注意“分母实数化”的运用.
(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别,尤其是含循环结构的程序框图要高度重视.
(4)掌握各种推理的特点和推理过程,同时要区分不同的推理形式,对归纳推理要做到归纳到位、准确;对类比推理要找到事物的相同点,做到类比合,对演绎推理要做到过程严密.
预测2020年命题热点为:
(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题,与三角函数、解析几何交汇命题.
(2)单独考查复数的四则运算,与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查. (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全,与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题.
(4)推理问题考查归纳推理和类比推理,主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题.
Z 知识整合hi shi zheng he
1.重要公式
(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则
①a ∥b ?a =λb (b ≠0,λ∈R )?x 1y 2-x 2y 1=0. ②a ⊥b ?a ·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0. (2)复数的四则运算法则
(a +b i)±(c +d i)=(a ±c )+(b ±d )i(a ,b ,c ,d ∈R ). (a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(bc +ad )i(a ,b ,c ,d ∈R ). (a +b i)÷(c +d i)=ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(a ,b ,c ,d ∈R ,c +d i ≠0).
2.重要性质及结论
(1)若a 与b 不共线,且λa +μb =0,则λ=μ=0.
(2)已知OA →=λOB →+μOC →
(λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.. (3)平面向量的三个性质
①若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2.
②若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →
|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.
③设θ为a 与b (a ≠0,b ≠0)的夹角,且a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则cos θ=a ·b
|a ||b |
=x 1x 2+y 1y 2
x 21+y 21x 22+y 22
.
(4)复数运算中常用的结论:
①(1±i)2=±2i ;②1+i 1-i =i ;③1-i 1+i =-i ;④-b +a i =i(a +b i);⑤i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +
2
=-1,i 4n +
3=-i ,其中n ∈N *
3.推理与证明 (1)归纳推理的思维过程
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程
实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤
①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n =n 0(n 0∈N *)时,命题成立;
②(归纳递推)假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时,命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立. Y 易错警示i cuo jing shi
1.忽略复数的定义:
在解决与复数概念有关的问题时,在运用复数的概念时忽略某一条件而致误. 2.不能准确把握循环次数
解答循环结构的程序框图(流程图)问题,要注意循环次数,防止多一次或少一次的错误. 3.忽略特殊情况:两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价;两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价.
1.(2018·全国卷Ⅰ,1)设z =1-i
1+i
+2i ,则|z |=( C ) A .0 B .1
2
C .1
D . 2
[解析] ∵ z =1-i 1+i +2i =(1-i )2(1+i )(1-i )+2i =-2i
2+2i =i ,
∴ |z |=1. 故选C .
2.(2018·全国卷Ⅱ,1)1+2i
1-2i =( D )
A .-45-35i
B .-45+35i
C .-35-45
i
D .-35+45
i
[解析] 1+2i 1-2i =(1+2i )2(1-2i )(1+2i )=1-4+4i 1-(2i )2=-3+4i 5=-35+4
5i.
故选D .
3.(2018·全国卷Ⅱ,4)已知向量a ,b 满足|a |=1,a ·b =-1,则a ·(2a -b )=( B )
A .4
B .3
C .2
D .0
[解析] a ·(2a -b )=2a 2-a ·b =2|a |2-a ·b . ∵ |a |=1,a ·b =-1,∴ 原式=2×12+1=3. 故选B .
4.(2018·全国卷Ⅰ,6)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →=( A ) A .34AB →-14AC →
B .14AB →-34A
C →
C .34AB →+14
AC →
D .14AB →+34
AC →
[解析] 作出示意图如图所示. EB →=ED →+DB →=12AD →+12CB →
=12×12(AB →+AC →)+12(AB →-AC →
) =34AB →-14AC →. 故选A .
5.(2018·北京卷,2)在复平面内,复数11-i 的共轭复数对应的点位于( D )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 [解析]
11-i =12+i 2
,其共轭复数为12-i
2,对应点位于第四象限.
故选D .
6.(2018·全国卷Ⅱ,7)为计算S =1-12+13-14+…+199-1
100,设计了如图所示的程序
框图,则在空白框中应填入
( B )
A .i =i +1
B .i =i +2
C .i =i +3
D .i =i +4
[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 循环 次数
①
②
③ …
○
50 N
0+1
1 0+11+13
0+11+ 13+15 …
0+11+13+ 15+…+199 T
0+12 0+12+14
0+12+ 14+16 …
0+12+14+ 16+…+1100 S
1-12 1-12+13-14
1-12+13- 14+15-16
…
1-12+13-14 +…+199-1
100
因为N =N +1
i ,由上表知i 是1→3→5,…,所以i =i +2.
故选B .
7.(2018·天津卷,3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为( B )
A .1
B .2
C .3
D .4
[解析] 输入N 的值为20,
第一次执行条件语句,N =20,i =2,N
i =10是整数,
∴ T =0+1=1,i =3<5;
第二次执行条件语句,N =20,i =3,N i =20
3不是整数,
∴ i =4<5;
第三次执行条件语句,N =20,i =4,N
i =5是整数,
∴ T =1+1=2,i =5,此时i ≥5成立,∴ 输出T =2. 故选B .
8.(2018·天津卷,9)i 是虚数单位,复数6+7i
1+2i =4-i.
[解析]
6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )
=20-5i
5=4-i.
9.(2018·北京卷,9)设向量a =(1,0),b =(-1,m ).若a ⊥(m a -b ),则m =-1. [解析] a =(1,0),b =(-1,m ),则m a -b =(m +1,-m ). 由a ⊥(m a -b )得a ·(m a -b )=0, 即m +1=0,得m =-1.
10.(2018·全国卷Ⅲ,13)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=1
2
.
[解析] 2a +b =(4,2),因为c ∥(2a +b ),所以4λ=2,得λ=1
2
.
命题方向1 平面向量的运算
例1 (1)如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC →=λAM →+μBD →
,则λ
+μ=( B )
A .4
3
B .5
3
C .15
8
D .2
[解析] 方法一:建立平面直角坐标系如图所示,设正方形的边长为2,则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),D (0,2),所以AC →=(2,2),AM →=(2,1),BD →=(-2,2).由AC →=λAM →+μBD →
,得
(2,2)=λ(2,1)+μ(-2,2),即(2,2)=(2λ-2μ,λ+2μ),所以?
??
??
2λ-2μ=2,
λ+2μ=2,解得???
λ=4
3,
μ=1
3,
所以λ+μ=5
3
.故选B .
方法二:因为AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+BM →)+μ(BA →+AD →)=λ(AB →+12AD →)+μ(-AB →+AD →
)
=(λ-μ)AB →+(12
λ+μ)AD →
,所以?????
λ-μ=1,1
2λ+μ=1,
得???
λ=43
,μ=1
3,
所以λ+μ=5
3
.
故选B .
(2)在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB →=λAM →+μDB →
,则λμ=29.
[解析] 由图形可得:AM →=AB →+12AD →
①,
DB →=AB →-AD →
②,
①×2+②得:2AM →+DB →=3AB →,即AB →=23AM →+13DB →
,所以λ=23,μ=13,所以λμ=29.
『规律总结』
1.平面向量的线性运算要抓住两条主线:一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二是基于“数”,借助坐标运算来实现.
2.正确理解并掌握向量的概念及运算,强化“坐标化”的解题意识,注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用.
提醒:运算两平面向量的数量积时,务必要注意两向量的方向. G 跟踪训练
en zong xun lian
1.过点P (1,3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则P A ―→·PB ―→=3
2.
[解析] 圆心为O (0,0),则3,∠OP A =∠OPB =π
6
,则∠APB
=π
3
,所以cos ∠APB =3·3·cos π3=3
2
.
2.已知向量a =(3,1),b =(x ,-2),c =(0,2),若a ⊥(b -c ),则实数x 的值为( A ) A .4
3
B .3
4
C .-3
4
D .-43
[解析] 因为b -c =(x ,-4),又a ⊥(b -c ),所以a ·(b -c )=3x -4=0,所以x =4
3
.
命题方向2 复数的概念与运算
例2 (1)已知复数z 1=3+i
1-i
的实部为a ,复数z 2=i(2+i)的虚部为b ,复数z =b
+a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ,再由共轭复数的定义求得z -
,最后写出对应点的坐标. [解析] z 1=3+i 1-i =(3+i )(1+i )(1-i )(1+i )
=1+2i ,
z 2=i(2+i)=-1+2i ,∴a =1,b =2,∴z =2+i , ∴z -
=2-i 在复平面内的对应点(2,-1)在第四象限. (2)设(1+i)x =1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x +y i|=( B ) A .1 B . 2 C . 3
D .2
[解析] 因为(1+i)x =x +x i =1+y i ,所以x =y =1,|x +y i|=|1+i|=12+12=2,故选B .
(3)(2018·郑州质检二)设i 是虚数单位,复数z =2i
1+i ,则|z |=( B )
A .1
B . 2
C . 3
D .2
[解析] |z |=????2i 1+i =22= 2. 『规律总结』
1.解决复数的概念与运算问题,一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解.一般是先变形分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化为代数形式.然后再根据条件,列方程或方程组.
2.熟记复数表示实数、纯虚数的条件,复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键.
G 跟踪训练
en zong xun lian
1.设复数z 满足1+z
1-z =i ,则|z |=( A )
A .1
B .2
C .3
D .2
[解析] 因为1+z 1-z =i ,所以z =-1+i 1+i =(-1+i )(1-i )
(1+i )(1-i )=i ,故|z |=1.
2.若复数z 满足z
1-i
=1,其中i 为虚数单位,则z =( A )
A .1-i
B .1+i
C .-1-i
D .-1+i
[解析] 由z
1-i
=i ,得z =i(1-i)=1+i ,z =1-i.
3.已知z =(m +3)+(m -1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( A )
A .(-3,1)
B .(-1,3)
C .(1,+∞)
D .(-∞,-3)
[解析] 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m +3,m -1),所以?
???
?
m +3>0m -1<0,
解得-3 命题方向3 程序框图 例3 (1)执行下面的程序框图,若输入的x =0,y =1,n =1,则输出的x ,y 的 值满足( C ) A .y =2x B .y =3x C .y =4x D .y =5x [解析] 运行程序,第1次循环得x =0,y =1,n =2.第2次循环得x =1 2,y =2,n =3, 第3次循环得x =3 2 ,y =6,此时x 2+y 2≥36,输出x ,y ,满足C 选项. (2)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是( C ) A .s ≤3 4 B .s ≤5 6 C .s ≤11 12 D .s ≤25 24 [解析] 第一次:k =2,s =12;第二次:k =4,s =34;第三次:k =6,s =11 12;第四次: k =8,s =2524;输出k =8,s ≤11 12 . 『规律总结』 解答程序框图问题的关注点 (1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构,如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构. (2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结束循环;弄清循环体和输入条件、输出结果. (3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环 结果,找出规律. 易错提醒:解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况,防止多一次或少一次的错误. G 跟踪训练en zong xun lian 1.根据如图所示的框图,对大于2的整数N ,输出的数列的通项公式是( C ) A .a n =2n B .a n =2(n -1) C .a n =2n D .a n =2n - 1 [解析] 当S =1,i =1时,执行循环体,a 1=2,S =2,i =2, 若不满足条件i >N ,执行循环体,a 2=4,S =4,i =3, 若不满足条件i >N ,执行循环体,a 3=8,S =8,i =4, 若不满足条件i >N ,执行循环体,a 4=16,S =16,i =5. …… 所以a n =2n . 2.执行如图所示的程序框图.如果输入n =3,则输出的S =( B ) A .67 B .37 C .89 D .49 [解析] 由题意得,输出的S 为数列{1(2n -1)(2n +1)}的前三项和,而1(2n -1)(2n +1)= 1 2(12n -1-12n +1),所以S n =12(1-12n +1)=n 2n +1 ,所以S 3=3 7. 命题方向4 合情推理 例4 观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; …… 照此规律, ????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1-2=43n (n +1). [解析] 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.因此答案为4 3n (n +1). 『规律总结』 1.在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. 2.在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质. 3.归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性. G 跟踪训练en zong xun lian (2018·湖北八校联考)祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆y 2a 2+x 2 b 2=1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后,得一 橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于4π 3 ×b 2a . [解析] 椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,现构造两个底面半径为b ,高为a 的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积V =2(V 圆柱-V 圆锥)=2(π×b 2×a -π3×b 2a )=4π 3 ×b 2a . A 组 1.(2017·全国卷Ⅱ,1)3+i 1+i =( D ) A .1+2i B .1-2i C .2+i D .2-i [解析] 3+i 1+i =(3+i )(1-i )(1+i )(1-i ) =3-3i +i +1 2=2-i. 故选D . 2.(文)已知i 为虚数单位,则复数1-3i 1+i =( C ) A .2+i B .2-i C .-1-2i D .-1+2i [解析] 1-3i 1+i =(1-3i )(1-i ) 2=-1-2i ,故选C . (理)若(1+2a i)i =1-b i ,其中a 、b ∈R ,则|a +b i|=( C ) A .1 2+i B . 5 C . 52 D . 54 [解析] ∵(1+2a i)i =-2a +i =1-b i , ∴a =-1 2,b =-1, ∴|a +b i|=|-1 2 -i |= (-12)2+(-1)2=52 . 3.(2018·济南二模)已知数列{a n },观察如图所示的程序框图,若输入a 1=1,d =2,k =7,则输出的结果为( C ) A .49 B .511 C .613 D .715 [解析] 由题中程序框图知,输出S =11×3+13×5+15×7+…+111×13=12×(1-13+1 3- 15+…+111-113)=6 13 . 4.设向量a ,b 满足|a +b |=20,a ·b =4,则|a -b |=( C ) A . 2 B .2 3 C .2 D . 6 [解析] 向量的数量积.∵|a +b |=20,a ·b =4, ∴|a +b |2-|a -b |2=4a ·b =16,∴|a -b |=2,故选C . 5.设x ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,-2),且a ⊥b ,则|a +b |=( B ) A . 5 B .10 C .2 5 D .10 [解析] ∵a ⊥b ,∴a ·b =0,∴x -2=0,∴x =2, ∴a +b =(3,-1),|a +b |=10. 6.(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( D ) A .21 B .34 C .52 D .55 [解析] 由题意可得,这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5,…则2=1+1,3=1+ 2,5=2+3,即从第三项起,每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数是21+34=55.故选D . 7.下面框图所给的程序运行结果为S =28,那么判断框中应填入的关于k 的条件是( D ) A .k =8? B .k ≤7? C .k <7? D .k >7? [解析] 开始→k =10,S =1,满足条件→S =1+10=11,k =10-1=9,满足条件→S =11+9=20,k =9-1=8,满足条件→S =20+8=28,k =8-1=7.由于输出S 的值为28,故k =7不再满足条件,故选D . 8.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则EB →+FC → =( A ) A .AD → B .12AD → C .BC → D .12 BC → [解析] 如图, EB →+FC → =-12(BA →+BC →)-12(CB →+CA →) =-12(BA →+CA →)=12(AB →+AC →)=AD →. 选A . 9.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( B ) A .|a ·b |≤|a ||b | B .|a -b |≤||a |-|b || C .(a +b )2=|a +b |2 D .(a +b )·(a -b )=a 2-b 2 [解析] 由|a ·b |=||a |·|b |·cos θ|, 因为-1≤cos θ≤1,所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立; 由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a -b |≥||a |-|b ||,故B 选项不成立; 根据向量数量积的运算律C ,D 选项恒成立. 10.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为( C ) A .201 B .411 C .465 D .565 [解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)·(1+5+52)=465,所以200的所有正约数之和为465. 11.设a ∈R ,若复数(1+i)(a +i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a =-1. [解析] (1+i)(a +i)=(a -1)+(a +1)i ,所以a +1=0,a =-1. 12.已知a =(1,2),b =(-2,m ),若a ∥b ,则|2a +3b |等于4 5. [解析] 由a ∥b ?m +4=0,解得m =-4,故2a +3b =2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),因此|2a +3b |=(-4)2+(-8)2=4 5. 13.已知△ABC 的面积为23,且B =2π3,则AB →·BC → =4. [解析] 设△ABC 的三角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 则S =12ac sin B =3 4ac =23,即ac =8, AB →·BC →=|AB →||BC →|·cos(π-B )=ca cos π3=8×12 =4. 14.执行下边的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的y 的值为13. [解析] 第一次执行程序,满足条件x <2,x =1+1=2;第二次执行程序,不满足条件x <2,y =3×22+1=13,输出y =13,结束.答案为13. 15.(2018·聊城一模)观察等式:f (13)+f (23)=1;f (14)+f (24)+f (34)=32;f (15)+f (25)+f (35)+f (4 5) =2;f (16)+f (26)+f (36)+f (46)+f (56)=5 2 ; … 由以上几个等式的规律可猜想f (12 019)+f (22 019)+f (32 019)+…+f (2 0182 019 )=1_009. [解析] 从所给四个等式看:等式右边依次为1,32,2,52,将其变为22,32,42,5 2,可以 得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,所以f (1 2 019) +f (22 019)+f (32 019)+…+f (2 0182 019)=2 0182 =1 009. B 组 1.设复数z 1=1+i ,z 2=2+b i ,若z 2 z 1为实数,则实数b 等于( D ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 [解析] z 2z 1=2+b i 1+i =(1-i )(2+b i )2 = (2+b )+(b -2)i 2 , 若其为实数,则有b -2 2 =0,解得b =2. 2.(文)(2018·石景山检测)已知复数z =(a 2-1)+(a +1)i ,若z 是纯虚数,则实数a 等于( B ) A .2 B .1 C .0 D .-1 [解析] ∵z 为纯虚数,∴? ???? a 2-1=0,a +1≠0,∴a =1. (理)已知复数z 1=1+i ,z 2=a +i ,若z 1·z 2为纯虚数,则实数a 的值为( B ) A .-1 B .1 C .-2 D .2 [解析] ∵z 1·z 2=(a -1)+(a +1)i 为纯虚数, ∴? ???? a -1=0 a +1≠0,∴a =1. 3.(2017·全国卷Ⅱ,4)设非零向量a , b 满足|a +b |=|a -b |,则( A ) A .a ⊥b B .|a |=|b | C .a ∥b D .|a |>|b | [解析] 方法一:∵|a +b |=|a -b |, ∴|a +b |2=|a -b |2. ∴a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2-2a ·b . ∴a ·b =0. ∴a ⊥b . 故选A . 方法二:利用向量加法的平行四边形法则. 在?ABCD 中,设AB →=a ,AD → =b , 由|a +b |=|a -b |知|AC →|=|DB → |,∴|AC |=|DB | 从而四边形ABCD 为矩形,即AB ⊥AD ,故a ⊥b . 故选A . 4.执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为( B ) A .1 B .2 C .3 D .4 [解析] 输入a =1,则b =1,第一次循环,a =-11+1 =-1 2,k =1;第二次循环,a = -11-12=-2,k =2;第三次循环,a =-1 1-2 =1,此时a =b ,结束循环,输出k =2.故选B . 5.(2018·潍坊一模)若复数z =m (m -1)+(m -1)(m -2)i 是纯虚数,其中m 是实数,i 2 =-1,则1 z 等于( D ) A .12 B .-12 C .i 2 D .-i 2 [解析] 因为复数z =m (m -1)+(m -1)·(m -2)i 是纯虚数,所以m (m -1)=0且(m -1)(m -2)≠0,所以m =0,则1z =12i =-i 2 . 6.设向量a ,b 满足|a |=|b |=|a +b |=1,则|a -t b |(t ∈R )的最小值为( A ) A . 32 B .12 C .1 D .2 [解析] 由于|a |=|b |=|a +b |=1,于是|a +b |2=1,即a 2+2a ·b +b 2=1, 即a ·b =-12 . |a -t b |2=a 2-2t a ·b +t 2b 2=(1+t 2)-2t a ·b =t 2+t +1≥34,故|a -t b |的最小值为3 2. 7.如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n (n >1,n ∈N )个点,相应的图案中总的点数记为a n ,则9a 2a 3+9a 3a 4+9a 4a 5+…+9 a 2 018a 2 019 =( C ) A .2 015 2 016 B .2 0162 017 C .2 0172 018 D .2 0182 019 [解析] 每条边有n 个点,所以三条边有3n 个点,三角形的3个顶点都被重复计算了一次,所以减3个顶点,即a n =3n -3,那么9a n a n +1=9(3n -3)×3n =1(n -1)n =1n -1-1 n , 则 9a 2a 3+9a 3a 4+9a 4a 5+…+9a 2 018a 2 019=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…(12 017-12 018 )=1-12 018=2 0172 018 .故选C . 8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x =2,n =2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s =( C ) A .7 B .12 C .17 D .34 [解析] 由程序框图知, 第一次循环:x =2,n =2,a =2,s =0×2+2=2,k =1; 第二次循环:a =2,s =2×2+2=6,k =2; 第三次循环:a =5,s =6×2+5=17,k =3.结束循环,输出s 的值为17,故选C . 9.设复数z 的共轭复数为z ,若z =1-i(i 为虚数单位),则z z +z 2的虚部为-1. [解析] ∵z =1-i(i 为虚数单位), ∴z z +z 2= 1+i 1-i +(1-i)2 =(1+i )2(1-i )(1+i ) -2i =2i 2-2i =-i ,故其虚部为-1. 10.(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下: 甲说:“我们四人都没考好.” 乙说:“我们四人中有人考得好.” 丙说:“乙和丁至少有一人没考好.” 丁说:“我没考好.” 结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的乙,丙两人说对了. [解析] 甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙. (理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式: 1+2+3+…+n =1 2 n (n +1); 1+3+6+…+12n (n +1)=1 6 n (n +1)(n +2); 1+4+10+…+16n (n +1)(n +2)=1 24n (n +1)(n +2)·(n +3); …… 可以推测,1+5+15+…+124n (n +1)(n +2)(n +3)1120 n (n +1)(n +2)(n +3)(n +4)(n ∈N *). [解析] 根据式子中的规律可知,等式右侧为1 5×4×3×2×1n (n +1)(n +2)(n +3)(n +4) = 1 120 n (n +1)(n +2)(n +3)(n +4)(n ∈N *) 11.(2017·江苏卷,4)如图是一个算法流程图,若输入x 的值为1 16,则输出y 的值是- 2. 2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<, 题型一:综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) A.22a b < B.2ab b < C.2b a a b +> D.a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列,则( )。 (A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题:①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ,满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8;④ 若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。其中正确的是( )。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()4 1 1≤ -a a ;③2≥+a b b a ;④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠,则在① ab b a ≥+222;②2≥+b a a b ; 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明 ③2 )2 (b a ab +≤;④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1,且4log log =?c b c a ,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+,sin sin b αβ=+,则a 、b 之间关系为 ( ) A .a b > B .b a > C .a b = D .不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点,且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?,定义()(,,)f M m n p =, 其中m 、n 、p 分别是MBC ?,MCA ?,MAB ?的面积,若1 ()(,,)2 f P x y =,则14x y + 的最小值是 ( ) A .8 B .9 C .16 D .18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则)4 3(-f ,)1(2+-a a f (a ∈R ) 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在(0,2)上是增函数,函数()2y f x =+是偶函数,则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ,向量b a ρρ与的 夹角为0 120,则a b a ρρρ.)2(-= 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法: 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b 2a <log 2(a +b ) B.b 2a <log 2(a +b )<a +1 b C.a +1b <log 2(a +b )<b 2 a D.log 2(a +b )<a +1b <b 2 a 例2.设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈,则()f n =( ) A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--,对照选项,只有D 成立。 思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( ) A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2 (1)y x =-,则(2)y f x =变为2 (21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1 历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题46 推理与证明(学生版) 一.选择题(共9小题) 1.(2019?新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2019?新课标Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此 外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 3.(2017?新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4.(2016?新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?,B点表示 四月的平均最低气温约为5C ?,下面叙述不正确的是( ) A .各月的平均最低气温都在0C ?以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5.(2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C .乙盒中红球不多于丙盒中红球 D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6.(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不 合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有( ) A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 7.(2013?广东)设整数4n ,集合{1X =,2,3,?,}n .令集合{(S x =,y ,)|z x ,y , z X ∈,且三条件x y z <<,y z x <<,z x y <<恰有一个成立}.若(x ,y ,)z 和(z ,w ,)x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有2次 击中目标的概率为 ( ) 解析:某人每次射中的概率为,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) 运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法,运用向量法可以证明一些三角或者几何公式,下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图,作单位圆,并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ,(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ,则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ,设它们相交于点N ,则点N 为线段PQ 的中点,且ON PQ ⊥,∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-,所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ,所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ,即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上,还可以证明另外两个和差化积公式: sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图,过P 点作y 轴的平行线,过Q 作x 轴的平行线相交于点F ,那么||sin sin PF αβ=-u u u r ,||cos cos FQ βα=-u u u r , ∠ QPF = ∠ QNE = ∠ Mox = 2 αβ +, ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图,在直角坐标系中,已知12(,)OA a a a ==u u u r r ,12(,)OB b b b ==u u u r r ,以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ,那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-,三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明:设,a b α<>=r r ,那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ,由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α= 推理与证明 1.(2019全国II 文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若 11a >,则 A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a > D .13a a >,24a a > 3.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ? C .当且仅当0a <时,(2,1)A ? D .当且仅当3 2 a ≤ 时,(2,1)A ? 4.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说, 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则 A .乙可以知道两人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 5.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 6.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式: 高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用,解题要求是只要结果、不要过程。因此,逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题,若能把握得好,容易的一分钟一题,难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性,由此提出解选择题要求“快、准、巧”,忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速,应“多一点想的,少一点算的”,“不算就不会算错”因此,在解答时应该突出一个"选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定,重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果,不管中间过程,因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程,但简化毕竟是简化,数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学,没有充分的依据,所有的条件反射都是错误的,只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证,答案才可确定,“做题不可以凭印象来,凡‘差不多就是’的都是错误的,无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的,思路也是简单的,如果没思路、做不下去或觉得复杂,或者发现做的时候需要大 量计算的时候,可以明确的告诉自己,你的方向错了,可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时,可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做,确定答案之后,从选项里找即可。 2.筛选法(排除法) 去伪存真,筛除一些较易判定的的、不合题意的结论,以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后,结论只有一个,则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,或将比例数看成具体数带人,总之,把一般形式变为特殊形式,再进行判断往往十分简单。 4.验证法(代入法) 将各选项逐个代入题干中,进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论。 6.试探法 2018高考文科数学推理与证明专项100题(WORD版含答案)1. 下列说法中正确的是() A.当a>1时,函数y=a x是增函数,因为2>1,所以函数y=2x是增函数,这种推理是合情推理 B.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理 C.命题的否定是¬P:?x∈R,e x>x D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”. 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为() A.2017×22015B.2017×22014C.2016×22015D.2016×22014 3. 用反证法证明命题:“若a,b∈R,则函数f(x)=x3+ax﹣b至少有一个零点”时,假设应为() A.函数没有零点B.函数有一个零点 C.函数有两个零点D.函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2﹣ac< 3c2,则证明的依据应是() A.c﹣b>0 B.c﹣a>0 C.(c﹣b)(c﹣a)>0 D.(c﹣b)(c﹣a)<0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形,菱形是所有边长都相等的凸多边形,所有菱形是正多边形”结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6. 我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为() A.B.C.D.a 7. 定义:“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,如“我为人人,人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征,称为回文数.设n是一任意自然数.若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等,则称n 为一回文数.例如,若n=1234321,则称n为一回文数;但若n=1234567,则n不是回文数.则下列数中不是回文数的是() A.187×16 B.1112C.45×42 D.2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演;《茶馆》不能在周一和周三上演;《天籁》不能在周三和周四上演;《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是() A.《雷雨》只能在周二上演 B.《茶馆》可能在周二或周四上演 C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D.四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是() A.小赵B.小李C.小孙D.小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=() 高中数学备考资料:高考数学选择题十大万能解题方法1.特值检验法:对于具有一般性的数学问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。 2.极端性原则:将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面,很多计算步骤繁琐、计算量大的题,一但采用极端性去分析,那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法:利用已知条件和选择支所提供的信息,从四个选项中剔除掉三个错误的答案,从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法,尤其是答案为定值,或者有数值范围时,取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法:由题目条件,作出符合题意的图形或图象,借助图形或图象的直观性,经过简单的推理或计算,从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观,甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法:通过题目条件进行推理,寻找规律,从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法:利用数学定理、公式、法则、定义和题意,通过直接演算推理得出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法):将选择支代入题干进行验证,从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法:从题的正面解决比较难时,可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论,或从反面出发得出结论。 9.特征分析法:对题设和选择支的特点进行分析,发现规律,归纳得出正确判断的方法。 10.估值选择法:有些问题,由于题目条件限制,无法(或没有必要)进行精准的运算和判断,此时只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法。 用向量法证明海伦公式 杜云 (六盘水师范学院数学系;贵州六盘水553004) 摘要:从数与形的角度对向量进行再认识,通过应用向量方法证明海伦公式,更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁,是一个重要的数学模型,它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词:向量;几何;海伦公式;数形结合 中图分类号:G421文献标识码:A 文章编号:1671-055X (2009)03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ;geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期:2009-03-03 作者简介:杜云(1982-),男,贵州盘县人,助教,研究方向:高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63--高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)
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