时间序列分析与建模简介

时间序列分析与建模简介 Prepared on 22 November 2020

第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。

引言

根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。

§5—1 ARMA模型分析

一、模型类

把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x k }视为以正态同分布白噪声序列{ a k }为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为(z-1) x k = (z-1) a k式（5-1-1）

其中： (z-1) = 1-1 z-1-…-n z-n

(z-1) = 1-1 z-1-…-m z-m

式（5-1-2）

为与参考书符号一致，以下用B 表示时间后移算子

即： B x k = x k-1 B 即z -1，B 2即z -2…

(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。

二、关于格林函数和时间序列的稳定性

1．格林函数G i

格林函数G i 用以把x t 表示成a t 及a t 既往值的线性组合。

式（5-1-3）

G I 可以由下式用长除法求得：

例1．AR(1): x t - 1x t-1 = a t

即： G j = 1j （显示）

例2．ARMA (1,1): x t - 1x t-1 = a t - 1a t

G 0= 1 ; G j = (1- 1) 1j-1 ,j 1 （显示）

例3．ARMA (2,1)

(1 - 1B - 2 B 2)x t = (a t - 1 B ) a t

得出：G 0= 1

G 1 = 0G 0- 1

G 2 = 1G 1+ 2G 0

∑∞

=-=0j j t j t a G x

G j = 1G j -1+ 2G j-2 （j 2）

G j 为满足方程 (1 - 1B - 2 B 2) G j = 0 的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m) 模型。

2．格林函数与系统稳定性

当j 时：G j 有界，则系统稳定；G j 衰减，则系统渐进稳定；G j 发散，则系统不稳定。

例： AR(1): G j = 1j

当 < 1时，G j 衰减，渐进稳定；

当 = 1时，G j = 1j = 1，有界，则系统稳定；

当 > 1时，G j 发散，不稳定。

例： ARMA (2,1)

1 和 2和为特征方程的根，有1 +

2 = 1 和 1 2 = 2

当 1 < 1 且 2 < 1 时，ARMA (2,1) 渐进稳定；

当 1 = 1 且 2 < 1 或1 < 1 且 2 = 1时，ARMA (2,1) 稳定；

当 1 = 2 且 或1 = 2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA (2, ×) 的稳定域如下图所示。

ARMA (2,m) 的稳定域

t t t a B B B a B

B B x )1)(1(1112112211λλθφφθ---=---=

三、逆函数与逆稳定性

逆函数I j 表示x t的既往值对当前值的影响，与格林函数G j 表示既往的a t值对x t的影响正相反。

定义：

即：

或：a t = ( 1- I1B-I2B2-…) x t

t t

x t 逆函数 a t

系统逆稳定的条件是 (B) 的根 < 1 （落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果 > 1，即意味着过时愈久的x t 的老数据对x t的现在值影响愈大，这显然是不合理的。

5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)

§5—2 时间序列建模及其应用

一、关于吴宪民 and Pandit的建模策略简介

ARMA(n,m)模型,当n 和m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和。设定不同的n和m值，用F检验比较，确定合理的n 、m值。

穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。

吴宪民— Pandit 建模策略

目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：

10. 按照ARMA(2n,2n-1) 拟合模型，即当nn+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。

20. 检查ARMA(2n,2n-1) 模型的高阶项参数2n和2n-1的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。

30. 探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设

ARMA ( 2n-1, m) ，m <2n –1 ，用F检验确定。

补充：关于参数估计误差的置信区间

假定参数估计符合正态分布N（0，2）则估计值的置信区间(95%置信度)为：j j

参数的估计误差协方差阵为：

j的置信区间为：

j = 1, 2, …

二、时间序列建模应用举例

例1.太阳黑子年均数,由1749-1924年共计176个观测数据。拟合ARMA （2，1）模型，F检验ARMA（4，3）较前者没有明显改善。ARMA（2，1）模型估计结果为：

参数估计 95%置信区间

1 = ( ~ )