第二章 流体力学

可见，小水滴的极限速度极小，可以视为静止 的，因此云雾可以浮在空中。 如果水滴较大，空气就无法将其托住，因此以雨 的形式落到地面。
三 雷诺数
vl 定义： Re
——雷诺数
，——流体密度和粘度
v，l——由流场特点决定的特征速度和特征长度 雷诺数超过某一临界值时，层流将转变成湍流，即 存在一个所谓临界雷诺数Re*。
所以，根据伯努利方程，有
1 2 p1 v 1 p2 gh 2
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v1
2( p2 p1 )

2 gh
如果水塔顶部与大气相连通，开阀后出口处也是一 个大气压， 即 p1 p2 那么 v1
2 gh
这时出口处水流速度与自由落体速度相等。
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文丘里流量计 （测量管道中液体体积流量）
F
v0 f
v+dv
f
v
dv f S ——粘度系数或粘度 dz 单位：牛· 秒/米2，N · s/m2或Pa · s25
一 哈根—伯肃叶公式
l 水平管道 定常流动
p1 p2 4 Q R 8 l
——哈根—伯肃叶公式
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二 粘性阻力——斯托克斯公式
当物体速度不大时，粘滞阻力与速度成正比
例 3 把实验动物一根大动脉中流动的血液，转 换到截面不均匀的小管中。小管宽部分的面积 S1=0.08cm2, 它等于这根动脉的横截面积。小管 窄的部分横截面积为 S2=0.04cm2 。小管水平， 小管中的压强降落是25Pa。
求:动脉中血液流动的速度。（血液看作理想流 体，血液的密度是1059.5kg/m3）
Re Re* Re Re*
流动是层流 流动是湍流
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流体的相似性原理
• （对不可压缩流体）外部条件几何相似时(几何相似的管 子，流体流过几何相似的物体等)，若它们的雷诺数相等 ，则流体流动状态也是几何相似的。
不同雷诺数下流体的流动
卡门涡街
达朗贝尔佯谬
当流体有黏滞性时，流体边 缘的固体表面处流体的相对速度 总等于零，说明在表面处的流速 梯度不为零，这一层称为边界层。 当流速增大，或雷诺数增大 时，环绕物体的流线会在某个地 方脱离壁面，形成涡旋,如（b） 称之为流线剥离。如果流线过早 的从壁面剥离，将会对处于流体 中的固体产生很大的阻力，对利 用流体运动的物体不利，为减小 阻力，不仅要减小垂直于流体的 横截面积，而且，要将物体设计 为流线型。
简单易记的话： 流速大，压强小；流速小，压强大。
12
13
飞机机翼周围的空气是如何流动的
假设在机翼右方的空气是水平方向以速度v1向左运动的，如图。
由于机翼倾斜，流经机翼的流线 向下偏移，如图中的v2。这两个矢 量之差v2- v1正是指向机翼对空气 的作用力的方向。根据牛顿第三 定律，空气对机翼施加大小相等、 方向相反的反作用，如图中的F。 这个力的垂直分量正是飞机的升 力(lift)。 这一分析与伯努利原理是一致的。机翼上方空气流速较下方流 速大，因而机翼上方的压强小，下方的压强大，结果产生一个 向上的力，即升力。
1.流速与压强的关系
由于水平放臵，流体的平 均高度相同，故 1 1 2 2 p1 v1 p2 v 2 2 2 A2 v2 连续性方程的结果 v 1 A1 2 1 A2 2 代入上式就得到 p1 p2 (1 2 )v 2 2 A1 如果 A1 A2 即 v1 v 2 则 p1 p2
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1 p v 2 gh 常量 ——伯努利方程 2
表明压强、动能体密度、势能体密度三项之和在 流线上各点处处相等，保持为一恒量。 注意： 严格上说伯努利方程是理想流体定常流动在一根 流线上的动力学方程。 伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体定 常流动中的表现。
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伯努利方程的应用
利用伯努利方程解题的一般步骤
1、列出伯努利方程
1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2
2、找到其它化简条件，常见的有： 连续性方程：
S1v1 S2v2
P P0
无
与大气直接接触：
容器截面积很大： v 0
两点高度相同：
gh 项
3、解出所求物理量 （ v, P 等）
qE
+
U
f mg
_
(1)
由上式可知，为了测定油滴所带的电荷量q，需要测平 行板上所加电压 U、两块平行板之间距离 d、油滴匀速 下降和上升的速度Vg、Ve，以及油的密度 ρ。
根据上述方程可解得
18 d q U
3V g (V g V e ) 2 g
测出右侧诸量即可得到 q 。密立根发 现测得的电量总是某基本值的整数倍。 求出最大公约数即获得电子电量。
f kv
k取决于粘滞系数和物体几何形状
对于半径为r的小球，如图
k 6r
小球所受粘滞阻力
f 6rv
——斯托克斯公式
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一个质量为m带电量为q的油滴处 在二块平行板之间，在平行板未 加电压时，油滴受重力的作用而 加速下降，由于空气阻力 f 的作 用，下降一段距离后，油滴将匀 速运动，速度为 Vg，此时 f 与 mg 平衡。由斯托克斯定律知，受力 平衡条件为 ：
三、表面张力系数
1、表面张力系数的定义 从力的角度定义 f
§2-3. 伯肃叶公式和斯托克斯公式
层流与湍流
层流： 流体运动规则，各层流动互不掺混，质 点运动轨线是光滑，而且流场稳定。
湍流： 流体运动极不规则，各部分激烈掺混， 质点运动轨线杂乱无章，而且流场极不 稳定。
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牛顿内摩擦定律 流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带 动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对 滑动，产生内摩擦力。 z
第二章
流体力学
流体力学的研究内容
流体静力学（用P、F浮、 等物理量描述） 流体力学 流体动力学（用P、V、h 、 等物理量描述） 1. 宏观上看为无穷小的一点，有 确定的位臵 、速度 、密度 和压强 P等； 2. 微观上看为无穷大，不必深入 研究流体分子的无规则热运动；
流体质量元
• §2-1. 理想流体 • §2-2. 伯努利方程 • §2-3. 伯肃叶公式和斯托克斯 公式 • §2-4. 液体的表面现象
例 已知一个水龙头流出 的水柱，高度相距为h 的两处横截面积分别 为S1和S2，求水龙头 的体积流量。
S1v1 S2v2 1 2 1 2 mv2 mv1 mgh 2 2
Q S1S 2 2 gh 2 S12 S 2
§2-2. 伯努利方程
丹尼尔第一· 伯努利 瑞士数学家、力学家
伯努利方程——理想流体作定常流动时的基本方程
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§2-1. 理想流体 一 流体
液体和气体统称为流体，最鲜明的特征是 形状不定，具有流动性。 液体： 不易压缩
dS
气体： 易压缩
二 压强
dS dF
dF p dS
面积元 两侧流体相互作用的弹性力 方向为面元内法线方向
dF
单位面积上的压力称为压强
在静止流体中任何一点的压强与过该点面元取向无关4.
高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰。
起初，人们认为表面光滑的球飞行阻力 小，因此当时用皮革制球。
最早的高尔夫球（皮革已龟裂）
后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远。 这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论后才解开。
光滑的球
表面有凹坑的球
§2-4.液体的表面现象
一、液体的微观结构
液体分子间作用力显著。宏观上表现为不易压缩性。
二、液体的表面张力现象及微观本质 液体表面像张紧的弹性膜一样，具有收缩的趋势。
（1）毛笔尖入水散开，出水 毛聚合； （2）水黾能够站在水面上； （3）硬币能够放在水面上； （4）荷花上的水珠呈球形； （5）肥皂膜的收缩；
液体表面具有收缩趋势 的力，这种存在于液体表面 上的张力称为表面张力。
说明：①力的作用 是均匀分布的，力 的方向与液面相切； ②液面收缩至最小。
B
v
2 gh
例 1 某水手想用木板抵 住船舱上一个漏水的 洞，但力气不足，木 板总是被水冲开。后 来在另一个水手的帮 助下，将木板紧压住 漏水的孔以后，他就 可以一个人抵住木板 了。试解释其原因。
例2 如用一个5cm2截面均匀的 虹吸管从截面极大的容器中把 水吸出。虹吸管最高点在水面 上120cm处，出口在水面下 60cm处。 求:（1）出口处水的流速 （2）稳恒流动时管内最 高点的压强
三 粘性与粘度
粘性——流体流动时，在内部产生的切应力。 流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带 动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对 滑动，产生内摩擦力。 z F v0 v+dv f f v
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四 理想流体的概念
理想流体——没有粘性并且不可压缩的流体。
五 流速场 定常流动
拉格朗日的追踪法 ——流元、流块 欧拉的速度场法 ——流场 (流速场) 流体力学理论的主流方法。
流速场 v ~ r , t v v ( r , t ) v v ( r ) 流速与时间无关 定常流动
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六 流线与流管
流 线
流 管
流线：流速场中的一系列假想的曲线。在每一瞬时， 曲线上每一点的切线方向与该处流体质元的 速度方向一致。 流管：通过流体内闭合曲线上各点的流线所围成的 细管。 由于每一点都有唯一确定的流速，因此流线不会 相交，流管内外的流体都不会穿越管壁。 7
f
d
mg
4 3 6 a V g a g 3
式中η为空气粘滞系数，a为油滴的半径。
然后在平行板上加电压 U，油滴 处在场强为E 的静电场中，其所 受静电场力 qE 与重力 mg 方向相 d 反。当qE 大于mg 时，油滴加速 上升，由于f 的作用，上升一段 距离后，将以Ve的速度匀速上升， 于是有 4 3 U 6 aVe a g qE q 3 d 4 3 6 a V g a g 3
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旋转的球带动空气形成环流，一侧气流加速， 另一侧减速，形成压差力，使足球拐弯，称为 马格努斯效应。
2. 流量和流速 水面压强为p2，水槽横截面积 为A2，液面处水的流速为v2。 水槽底部与一水管相连。 水管横截面积为A1，阀门与 水槽水面相距h。 开启阀门时水的流速等于多 少呢？ 由于 A2 A1 开启阀门时,水塔水面下降缓慢,
h
如左图所示。当理想流体在管道中作 定常流动时，由伯努利方程
SB
SA
由连续性原理
Q S Av A
1 2 1 2 P A v A PB v B 2 2 S B v B 又 PB PA g h
2 gh 2 2 SB SA
Q S ASB
Q 2 gh 管道中的流速 v v B SA 2 2 SB SB SA
比多管
A B
由伯努利方程
从U形管中左右两边液面高度差可知
1 2 PB v PA 2
PA PB g h
h
由上两式得
为 U 形管中液体密度， 为流体密度。
较适合于测定气体的流速。
h
v 2 gh
常用如图示形式的比多管测液体的流速
A
1 v 2 PA PB g h 2
液体分子在平衡位臵附近做振动和在液体内移动。 液体分子在每一个平衡位臵上振动的时间。 分子的定居时间： 不同液体，随着温度、压强的不同，定居时间不同。 表现为液体的流动 性 表现为固体所特有 当外力作用时间 的弹性形变、脆性 小于定居时间 断裂等力学现象 在液体与气体的分界面处厚度等于分子有效 作用半径的那层液体称为液体的表面。 当外力作用时间 大于定居时间
密立根测得电子电荷为
(1.601 ±0.002)×10-19C
云、雾的形成
同样是小水滴，雨滴降落到地面，而云雾却浮在空中 常温下空气的粘度约为18.2×10-6Pa·s，云雾中 水滴的大小约为10-6m
4 3 R g 6 R vm 3 2 2 gR vm 104 m / s 9
七 连续性方程
1S1v1 2S2v2
——质量流量守恒 对于理想流体（或不可压缩流体）
△S
1
Δt
v
1
△S
2
v
21 2Fra bibliotekS1v1 S2 v2
——体积流量守恒 （连续性方程）
流管入口端的流量等于出口 Q vS const. 端的流量，流管周壁的流量 流量： 为零。
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