流体力学第二章

p z z hp g
hp p g
§2-3 重力场中流体的平衡
几何意义
在重力作用下，静止的 不可压缩流体的静水头 线和计示静水头线均为 水平线

§2-3 重力场中流体的平衡
帕斯卡原理
p p z z h 0 g g
p p0 gh
——静力学基本方程形式之二。
§2-2 流体平衡微分方程式
一、方程式的建立 它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。
l 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴 方向的投影和都为零，可建立方程。
fi 0
l
方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为 dx、dy、dz，然后进行受力分析，列平衡方程。
1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。
设微小面积上的总压力为
P
平均静压强：
，则
P p A
ΔP
点静压强：
p lim
A0
P A
ΔA
即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2 (Pa) 1、 ( 牛) 2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P 单位：N
3、流体静压强单位：
2
n
略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：
p dx p1 p x 2
则表面力在x方向的合力为：
p dx p 2 p＋ x 2
p dx p dx p p1 p2 dy dz p p dy dz dx dy dz x 2 x 2 x
代入Ⅱ式得
dp dU
所以
p U C
令 p＝p0时，U＝U0 ， 则 C＝p0－ρU0
p p0 U U 0
——帕斯卡（Pascal）定律：
（Ⅳ）
在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、 均匀地传递到流体的所有各点。 三、等压面
1 、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。 （p＝const） 2、方程：
二、方程的积分（压强分布公式）
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将 Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z
因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上 式可写为
Pn pn S ABC pn dA
（2）质量力 质量力与微元体的体积成正比。 四面体的体积：
VOABC
1 dxdydz 6
四面体的质量：
1 M dxdydz 6
设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z， 则质量力F在坐标轴方向的分量是：
1 Fx dxdydz X 6
§2-3 重力场中流体的平衡
换算
4 １工程大气压＝ 9.80665 10 Pa
１标准大气压＝ 1.01325 105 Pa １巴＝ 105 Pa
静力学基本方程式的意义
z
1、
p

C
几何意义 ——位置水头：该点到基准面的高度。
z
p

z p
——压力水头:该点压强的液柱高度。
——测压管水头：为一常量
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面
证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差 为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为 ρ2，则有：
dp＝ ρ1 dU
因为 所以 ρ1≠ ρ2≠0
且
dp＝ ρ2 dU
只有当dp、 dU均为零时，方程才成立。
说明： 等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
dp ( Xdx Ydy Zdz)
由 p＝const → dp＝0
Xdx Ydy Zdz 0
3、 等压面性质
① 等压面就是等势面。因为 dp dU。 ② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 ③ 等压面不能相交 相交 → 一点有2个压强值：错误 ④ 绝对静止流体的等压面是水平面 X＝Y＝0，Z＝－g + 性质②
§2-2 流体平衡微分方程式
以x轴方向为例，如图所示
1、取研究对象
微元体：无穷小平行六面体，
dx、dy、dz → 0
微元体中心：A(x, y, z)
A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z) 2、受力分析 （1）表面力 设A 处压强：
p(x，y，z)
因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒 级数展开，
第二章
流体静力学
1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平 衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作 用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。
2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相 对运动。
① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。
重力 压力
② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动， 但液体各部分之间没有相对运动。
又
dA cos

即为ABC在yoz平面上的投影面积，
p n dA cos
1 p n dydz 2

1 1 1 p x dydz p n dydz dxdydz X 0 2 2 6

p x pn
1 dx X 0 3
则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时， 有：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
2、势函数（力函数） 对于不可压缩流体：ρ ＝const
因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也 应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：
Xdx Ydy Zdz dU
又因为 则有
（Ⅱ）
dU
U X x
U U U dx dy dz x y z
1、2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与
作用面的方位无关，即只是位置的函数 =( x , y , z ) 大小特性。（各向相等） 证明思路：
——
1、选取研究对象（微元体）
2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
1、选取研究对象（微元体）
从静止流体中取出一微小四面体 OABC ，其坐标如图，三个垂直 p y、 p、（ 边的长度分别为dx、dy、dz，设 p 、 方向是任意 z pn x n 的）分别表示作用在OAC、OBC、OAB、ABC表面上的静压强，与x、 y、z轴的夹角为 、 、 。
国际单位：N/m2＝Pa
物理单位：dyn/cm2 1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1kgf/cm2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压) 1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m水柱
1atm＝1.013×105Pa＝10.3 m水柱
§2-3 重力场中流体的平衡
１ 绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
p pa gh
pe p pa பைடு நூலகம்gh
２ 计示压强：以当地大气压强为基准计量的 压强 ３ 真空：
p v pe p a p
注：① 只有当时 p表 0 ，才用真空度的概念 ② 气体的压强都是绝对压强 ③ 尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的
p x pn
同理：
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
4、得出结论
因 n 方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个 方向的静压强均相等。在连续介质中， p仅是位置坐标的连续 函数p=p( x , y , z ). 同一点受力各向相等，但位置不同， 大小不同。呈什么关系？＝》第二 节中讨论 说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与 固体接触的表面。如：
Y U y
U Z z
（Ⅲ）
该函数 U(x,y,z) 称为势函数。 显然， U(x,y,z) 在 x ， y ， z 方向的偏导数正好等于单位质量力分 别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量 力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
dU
U U U dx dy dz x y z
（2）质量力 微元体质量：M＝ρ dxdydz
设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρ dxdydz
3、导出关系式：
对微元体应用平衡条件 F 0 ，则
X dxdydz
4、结论：
p dxdydz 0 x
X
1 p 0 x
dx p dx 1 2 p dx 1 n p dx p1 x , y, z px, y, z 2 n 2 x 2 2 x 2 n! x 2
Fy Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
F 0 ，其各方向 因流体微团平衡，据平衡条件 作用力之和均为零。 则在x方向上，有：
3、导出关系式

Px Pn cos(n, x) Fx 0
将上面各表面力、质量力表达式代入后得
1 1 p x dydz p n dA cos dxdydz X 0 2 6
静压强 1
自由表面的压强
2 淹深为 h 、密度为 的流体柱产生的压强
gh
推广：已知某点压强求任一点压强
p2 p1 h
（3）
（3）静止流体中，压强随深度呈线性变化
用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分 布图。 大小：静力学基本方程式 方向：垂直并且指向作用面（特性一）
重力 压力
重力 质量力 直线惯性力 压力
重力 离心惯性力 压力
共同点：不体现粘性，无切应力 3º 适用范围：理想流体、实际流体 4º 主要内容： œ œ 流体平衡微分方程式
œ œ 静力学基本方程式（重点）
œ œ 等压面方程（测压计） œ œ 作用于平面和曲面上的力（难点）
第一节
一、 基本概念
流体静压强及其特性
2、受力分析（质量力与表面力） 流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。 （1）表面力 表面力与作用面的面积成正比。作用在OAC、OBC、OAB、 ABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）
1 Px p x dydz 2
1 Py p y dxdz 2
Pz
1 p z dxdy 2
Y 1 p 0 y
同理，在y和z方向可求得：
Z
1 p 0 z
——欧拉平衡微分方程式
X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量

1 p x

1 p y

1 p z
单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量
说明：
公式的物理意义：
平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向 的分量的代数和为零。 2）公式适用条件： 理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流 体。
§2-3 重力场中流体的平衡
流体静力学基本方程式
p gz c
或
fx fy 0
f z g


dp gdz
p z c1 g

§2-3 重力场中流体的平衡
p1 p2 z1 z2 g g
——静力学基本方程形式之一
§2-3 重力场中流体的平衡
物理意义 在重力作用下，静止的不 可压缩流体中单位重量流 体的总势能保持不变
二、 流体静压强特性
1、
1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方 （垂直并指向作用面） 证明： 反证法证明之。
向特性。
§2-1 流体静压强及其特性
流体静压强的两个特性
特性一：流体静压 强的作用方向沿作用 面的内法线方向

有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部 分为隔离体。设切割面上任一点 m 处静压强方向不是内法线方 向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力， 也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡， 这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内 法线方向。