流体力学 第二章 流体静力学

ρ’
解： p1 p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
4.微压计
p1 gh gl sin
l 1 n （放大倍数） h sin
2.5 平衡流体对壁面的作用力
一、平板壁上的流体静压力
a.总压力
dF pdA
ghdA
gy sindA
p x pn
px p y pz pn
与方位无关 与位置有关
p p( x, y, z)
p的全微分
p p p dp dx dy dz x y z
2.2 流体的平衡微分方程
1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项：
1 p P右 p dx dydz 2 x
适用范围：
1.重力场、不可压缩的流体
2.同种、连续、静止
压强分布规律的最常用公式：
p gz p0 gz0
p p0 g z0 z p0 gh
——帕斯卡原理 （压强的传递性）
2.4 静压强的计算与测量
一.静压强的计算标准 a.绝对压强 以绝对真空为零点压强
切向应力——剪切力 lim
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表面力具有传递性
3.流体的静压力：表面力沿受压表面内法线方向分量 平衡状态
F 2（Pa） 流体静压强 p lim N/m A 0 A
静压力特征 a.静压强方向沿作用面的内法线方向
反证法
b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关
证明：取微小四面体O-ABC 表面力 Px Py 质量力 Fx Fy
f x f y y x f y z f z y
f z f x x z
——力作功与路径无关的充分必要条件 必存在势函数W，力是有势力
W W W dW x dx y dy z dz
W fx x
2
因
1.25 0.6 1.25 8.75 yc m 2 0.9 6
压力中心位置
R 4
Ic 8.75 8.75 4 y D yc 0.067 1.53m 2 8.75 D yc A 6 6 6 4
例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点 解：设想打开封闭容器 液面上升高度为
W fy y
W fz z
——力与势函数的关系
（4）式可写为：
W W W x dx y dy z dz dW dp
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
3.等压面：dp =0
（4）式可写为：
f x dx f y dy f z dz 0 ——广义平衡下的等压面方程
表面力
1.质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比 重力 惯性力
单位质量力
am f x i f y j f z k
微团质量力的合力为
Fm m am m f x i f y j f z k
dFm dm am dm f x i f y j f z k
二.静止压强的计量单位
标准大气压（atm） =1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O 工程大气压（at） =0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O
=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）
换算： 1kPa=103Pa 1bar=105Pa
三．静压强的测量
第二章 流体静力学
流体静力学:研究平衡流体的力学规律及其应用
平衡流体互相之间没有相对运动 粘性无从显示
■ 平衡流体上的作用力 ■ 流体的平衡微分方程
■ 重力场中流体的平衡
■ 静压强的计算与测量 ■ 平衡流体对壁面的作用力 ■ 液压机械的工作原理 ■ 液体的相对平衡
2.1 平衡流体上的作用力
作用在微团△V上的力可分为两种：质量力
y sindAy yC sin AyD
y 2 dA yC AyD
Ix yD yC A yC A
2 y dA
I x y 2 dA ——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）
平行轴定理
2 I x IC yC A
2 I C yC A yD yC A
9 2 64 4 d 1152
例题：直径为1.25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最
低点到水面距离分别为0.6m和1.5m，求水作用在圆板上的总
压力大小和压力中心位置。 解：水作用在圆板上的总压力大小
(1.5 0.6) 1.25 P ghc A 9.8 12.63kN 2 2
积分
p gz c
写成水头形式：
p1 p2 z1 z2 c g g
单位 m——单位重量能量 单位 Pa
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c
p/ρg——单位重力压强势能——压强水头
z——单位重力位置势能——位置水头
物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的
Az
VF——压力体体 ρgVF——压力体重量
Az Ax
Fz
作用点通过压力体体积的形心
（3）合作用力大小
F Fx2 Fz2
Fz F θ Fx
（4）合作用力方向 与水平面夹角
Fz tan Fx
三.压力体
压力体由以下各面围成： （a）曲面本身； （b）通过曲面周界的铅垂面；
（c）自由液面或者延续面
4m
C D 60° y
IC 1.33 yD yC 6.6 6.6 0.05 6.65m yC yC A 6.6 4
二、柱面壁上的流体静压力
Az Ax
1.总压力的大小和方向
（1）水平方向的作用力
Az Ax
dFx dF cos ghdAcos ghdA x
Fx dFx g hdAx ghC Ax pC Ax
Ax
Az Fx Ax
大小、作用点与作用 在平面上的压力相同
（2）垂直方向的作用力
Az Ax
dFz dF sin ghdAsin ghdA z
Fz dFz g hdAz gVF
1.测压管 一端与测点相连，一端与大气相 连 p gh
2.U形管测压计
一端与测点相连，一端与大气相 连 求pA（A处是水，密度为ρ，测 例
压计内是密度为ρ’的水银）
解：作等压面
p A ga ' gh
p A ' h a g
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水） 解： p A ' gh 气柱高度不计
IC yC yC yC A
常见图形的yC和IC
图形名称
yC
h 2
IC
矩形
b 3 h 12
三角形
2 h 3
b 3 h 36
梯形
h a 2b 3 a b
h3 a 2 4ab b 2 36 a b
圆
d 2
4 d 64
半圆
2d 3
1 p P左 dx dydz p 2 x
质量力：
dFx f x dxdydz
Fx 0
P左 P右 Fx 0
P左 P右 Fx 0
1 p 1 p dxdydz p dxdydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
3.压差计 两端分别与测点相连 例 求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’
的水银）
ρ
1 Δh
2
ρ’
解：作等压面
p1 hg p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
例 求Δp （管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为
ρ’的水）
1 Δh
2
p0
o 4m
P0 Pa 137.37 98.07 4m g 9.807
1m
2m
60°
y
hC 4 1 1sin 60 5.73m
o
P ghC A 225kN
4 yC 1 1 6.6m sin 60 b 3 4 I C h 1.33m 4 12 3
x b
a z Fpz2 d
Fpz gVp gVadbc
解：由连通器原理，列等压面方程
(h3 2 2) 1 g 21 g，得h3 6m
(h2 2) 2 g 21 g 22 g，得h2 4 21 / 2 5.6m
h13 g 21 g 22 g 23 g，得h1 2 （21 22） / 3 4.88m
压力体
曲面和自由液面或者自由液面的延 长面包容的体积
实压力体：压力体和液体在曲面同侧，垂直分力向下
p a
O B a
A
p a O A B b
p a O A B c
虚压力体：压力体和液体在曲面异侧，垂直分力向上
四 浮力原理
Vp Vadbfg Vacbfg
总压力的垂直分力为
o
a g f Fpz1 c
Pz
Pn
Fz
F 0
F
x
0 Px Pn cos(n x) Fx 0
1 1 p x dydz pn ABC cos( n x) f x dxdydz 0 2 6
1 dydz 2
1 p x pn f x dx 0 3
dx 0
重力
mg fz g m
2.表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外 表面，与表面积大小成正比 应力 内法线方向：
F lim A 0 A
Fn p lim A0 A
F A 0 A
ΔFn ΔA
ΔF ΔFτ
法向应力——压强
切线方向：
流体相对运动时因粘 性而产生的内摩擦力
pa h A
p pa gh pa pm
pa——当地大气压强
b.计示压强（表压）pm 以当地大气压强为零点压强
pm p pa gh
c.真空度pv
pv
pv pa p
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成 真空的程度，读正值！

例题：如图，敞开容器内注有三种互不相混的液 体， 1 0.82，2 0.83 ，求侧壁处三根测压管内 液面至容器底部的高度h1、h2、h3。
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
fx 1 p 0 x
（1）
fz 1 p 0 （3） z
同理
fy
1 p 0 （2） y

说明:
f
1

p 0
——欧拉平衡微分方程
1 质量力与该方向上表面力的合力相等，方向相反
2 平衡流体受哪个方向的质量力，则流体静压强沿该方向必然发生变化
F dF g sin ydA g sin yc A ghc A pc A A
A ydA yc A
注意：h与y的区别
——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）
b.压力中心
dM dFy
力矩合成
M dM dFy FyD
ghdAy ghC AyD
3 平衡流体在哪个方向没有质量力，则流体静压强沿该方向不发生变化
2.质量力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
p p p （f x dx f y dy f z dz） dx dy dz dp x y z
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
等压面性质：
• 等压面就是等势面
与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力
作用下不一定是水平面
• 等压面与质量力垂直
am ds 0 am ds
• 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面
2.3重力场中的平衡液体
1.不可压缩流体的静压强基本公式
f z g
dp f z dz gdz