第四章 级数(1)

如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为
cnz n , 这是
n 0
18

(4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论
定理一(阿贝尔Abel定理)
如果级数 cn z 在z z0 ( 0)收敛, 则对满足
n n 0

| z || z0 | 的z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 则对满足 | z || z0 | 的z, 级数必发散.
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一
定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
f
n 1

n
( z ) 的和函数
17
当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项 级数的特殊情形:
i n n

1 n 数列 1 e 收敛,且有 lim a n 1. n n
i
12

2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时,
an. 所以an发散.
例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
1 i 1) 1 ; n n 1 n
则 | an - a || (an - a) i (bn - b) | e 所以 lim an a, 同理 lim bn b.
n n
3
反之, 如果
lim an a, lim bn b
n n
则任给e , 存在N , 当n N时, | an - a | 从而有 | a n - a || (an - a) i (bn - b) | | an - a | | bn - b | e 所以 lim a n a .
27
3.收敛半径的求法
定理二(比值法) 如果 半径 . [证] 由于
R 1
c n 1 lim 0 n cn
.则收敛
| cn 1 || z | cn 1 lim lim | z | | z | n n | c || z | n c n n
n 1
c ( z - a)
n 0 n n

n
c0 c1 ( z - a) c2 ( z - a)
2
cn ( z - a )
n 2 n n 0
(4.2.2)
或 cn z c0 c1 z c2 z cn z (4.2.3)
这种级数称为幂级数.
则级数 a n 称为收敛, 并且极限 lim sn s 称
n 1 n
为级数的和. 如果数列{sn }不收敛, 则级数
a 称为发散.
n 1 n
5
定理二 级数
a 和 b
n 1 n n 1


a
n 1

n
收敛的充要条件是级数
n
都收敛
[证] 因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an) +i(b1+b2+...+bn)=sn+itn, 其中sn=a1+a2+...+an, tn=b1+b2+...+bn分别为
c n z 0n
1
外有一点 z0, 使级数
n n 1
贝尔定理, 级数 c z 必收敛, 然而 | z n 1 所以 | cn 1 || z1 |
y z0 O
x
19
[证]
因 c z 收敛, 则 lim c z 0,
n 0 n n 0 n n n 0

则存在M使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, 而 | z0 | z n | cn z || c z | Mq z0


k 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
9
由于 a b | an | | bn |, 因此
2 n 2 n

n 1

a b | an | | bn |,
2 n 2 n n 1 n 1


所以当 an与 bn绝对收敛时, a n也绝对
n 1 n 1 n 1
8n n! n 1

收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
1 2n n 1

(-1) n 3) 因 收敛; n n 1
也收敛,
n
故原级数收敛. 但因
(-1) n n 1

为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.
14
§2 幂级数
15
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
称为复变函数项级数. 最前面n项的和 sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
称为这级数的部分和.
16
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n

n
0.
7
定理三
如果 | a n |收敛, 则 a n也收敛, 且不等式
n 1 n 1


a
n 1

n n n 0
20
n
z n | cn z || c z | Mq z0
n n n 0
n
由于 Mq 为公比小于1的等比级数, 故收敛
n n 0

因此 | cn z | Mq 亦收敛
n n n 0 n 0

从而级数 cn z 是绝对收敛的.
n n 0

21
如果级数 c z 发散, 且如果 | z || z0 |
收敛,因此 a n绝对收敛的充要条件是
n 1

a 与 b 绝对收敛.
n 1 n n 1 n
10


另外, 因为
| a
n 1

n
| 的各项都是非负的实数, 所以
它的收敛也可用正项级数的判定法来判定. 例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
1 n 1) a n 1 e ; n
n 0 n n 0

用反证法, 设级数 cn z 反而收敛, 则根据
n n 0

前面的结论可导出 c z 收敛, 与所设
n 0 n n 0

矛盾. 因此只能是 cn z 发散
n n 0
22

2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂 级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况 不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定 理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数
第四章 级数
§1 复数项级数
1
1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数.
如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数
N(e), 使|an-a|<e在n>N时成立, 则a称为复数 列{an}当n时的极限, 记作 lim a n a
n
| a n |成立
n 1

[证]
由于 | an | a b ,
n 1 n 1 2 n 2 n


而 | an | a b , | bn | a b
2 n 2 n 2 n
2 n
8
可知级数 | an |及 | bn |都收敛,因而
n 1 n 1


a 和 b 也都收敛, 则a 是收敛的.


(-1) n 1 (8i) 2) ; 3) n i n 2 n 0 n ! n 1
n

1 [解] 1) 因 an 发散 ; n 1 n 1 n
1 bn n2 n 1 n 1


收敛,
故原级数发散.
13
2) 因

(8i ) n 8n , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
在复平面内除原点外处处发散.
iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散
的正实数. 设z=a (正实数)时, 级数收敛, z=b (正实
数)时, 级数发散.
பைடு நூலகம்23
显然a<b, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. y CR R O Ca Cb
a
b
x
24
当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点 为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂 级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆 的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半 径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心 的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为 中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.
n 1 n n 1 n n 1 n



而又因 lim
a
k 1 k
n
k
| a k |, 因此
k 1 n
n
n
a
k 1
n
lim
n
| a
k 1
k
|或 a k | a k |
k 1


如果 | a n | 收敛, 则称级数a n 绝对收敛.
n 1 n 1
i

2) a n n cos in
11
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
2
定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要 条件是 lim a a, lim b b
n n n n
[证] 如果 lim a a , 则对于任意给定的e>0, n
就能找到一个正数N, 当n>N时,
n
| (an ibn ) - (a ib ) | e
n 2 n
1 当 | z | 1时,由于 lim z 0, 从而有 lim sn , n n 1- z 1 n 即 | z | 1时级数 z 收敛, 和函数为 , 1- z n 1
n
当 | z | 1时,由于n 时z 不趋于零, 级数发散.
n
收敛范围为 | z | 1, 在此范围内绝对收敛, 并有 1 2 n 1 z z z 1- z
a
n 1

n
和
b
n 1

n
的部分和, 由定理一, 和
{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极
限存在, 即级数
a
n 1
n
b
n 1

n
都收敛.
6
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题.
n 1
而由实数项级数 an和 bn收敛的必要条件
n 1

25
例1 求幂级数
z
n 0

n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数. [解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
1- z sn 1 z z z , ( z 1) 1- z
n 2 n
26
1- z sn 1 z z z , ( z 1) 1- z
n
4
e
2
, | bn - b |
e
2
2. 级数概念 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复 数列, 表达式
a
n 1
n
a1 a 2 a n
称为无穷级数, 其最前面n项的和 sn=a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛,
故知当 级数

| z |
1

时,
|

n0
| c n || z | n
收敛, 根据上
节定理三,
n0
cn z
n
在圆 | z
1

内收敛.
28
再证当
| z |
| z |
1

时, 级数

n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿