相似三角形模型分析大全完整版

相似三角形模型分析大

全

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

相似三角形的基本模型

（一）A 型、反A 型（斜A 型）

A B

C D

E （平行）

C B D

E

（不平行）

自己在《课堂精练》中找几道相应的题

目。

例1：（2008湘潭市） 如图，已知D 、

E 分别是的△AB C 的AB 、 AC 边上的

点，DE ∥BC ，且△A DE 与四边形DBCE 的

面积比为1:8，那么AE ：AC 等于

（ ）

A ．1 : 9

B ．1 : 3

C ．1 :

8 D ．1 : 2

例2：（2008江苏盐城）如图，D 、E 两点分别在△AB C 的边AB 、 AC 上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE ∽△ACB ．

（二）X 型 蝴蝶型

（平行）(8字型） （不平行）（蝴蝶型）

自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。

例1：如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

例2：（2013?内江）如图，在平行四边

形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ） A ． 2：5 B ． 2：3 C ． 3：5

例3：（哈尔滨）在平行四边形ABCD 中，E 为直线CD 上一点，DE=2CE ，F 是AD 的中点，连接EF 交BD 交于点P ，则DP ：PB=____________ （三）共边共角型 母子型 自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。

课本P90第4题：已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠DAE=45°．

求证：（1）△AB E ∽△ACD ；

（2）BC 2=2BE ×CD

例：在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥

AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对

相似三角形 _______________；并写出

它的面积比

（四）一线三等角模型： 以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 包括“三垂直”模型：

例1：(2013·天津)如图所示，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE

＝60°，则AE 的长为

例1图 例2图

例2：如图，等边△ABC 中，边长为6，

D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BD

E ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE

例3：在△ABC 中，5==AC AB ，

8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），

且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上（如图），且

6=BP ，求线段CQ 的长；

②若x BP =，y CQ =，求y 与x 的函数关系式，并写出x

例

4：

正方形

ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、直线．．DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持

︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段

BP 的长.

例5：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．

（1）如果P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求AP 的长．

A ，PE 交直线BC 于点

E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；

②当CE ＝1时，写出AP 的长． 例6：如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．

(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x

A B

C

D A

B C D

A

B C

D

C

A D

B

E

F

B

备用图

A

B C P

Q

备用图

的函数解析式，并写出x 的取值范围； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．

E B

C

A

D

P

例7：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。 例8：如图所示,在矩形AOBC 中,点A 的坐标是﹙-2,1﹚,点C 的纵坐标是4,则B,C 两点的坐标分别是（ ）

A.3

2

,3,,423⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

B.

31,3,,422⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C.77

2

,,,4423⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

D.77

1

,,,4422⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

例9：在平面直角坐标系中，点C ﹙-3,0﹚，点A,B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2310OB OA -+-=． （1）求点A ，点B 的坐标． （2）是否存在点P ，使以点

A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

例10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）．如图所示，B 点在抛物线y=21x 2+2

1

x-2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为-3． （1）求证：△BDC ≌△COA ；

（2）求BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（五）燕尾型

例1：已知：如图，= 求证：△ADB ∽△AEC

例2：如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高

求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

（六）旋转型：（由A 字型旋转得到）

《课堂精练》91页第8题。

例：（2008扬州）如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G.

（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗为什么

（七）山字型

例：(2013·乌鲁木齐)如图所示，AB ∥GH ∥CD ,点H 在BC 上，A C 与BD 交于点G,AB =2,CD =3,则GH 的长为 .

A

B

C

D

E