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数学建模题（5）

1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则

max z =70x 1+120x 2

s.t.

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧≥≤+≤

+≤+0

300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 s.t.

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+

,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：

丙 1 5 6 4 资源储备量

100

600

300

建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型：

设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则

max z =10x 1+6x 2+4x 3

s.t.

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++0

3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通

信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。

序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷

照相器材

通信设备

重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数

20

15

18

14

8

4

10

试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。

解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I

⎩⎨

⎧==≤++++++++++++=7

,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或

5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示：

A B C 资源限量

材料（kg ） 1.5 1.2 4 2500 设备（台时） 3 1.6 1.2 1400 利润（元/件） 10

14

12

根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。

解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。

321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x

产

品

资

源

14002.16.13321≤++x x x

2501501≤≤x 3102602≤≤x

1301203≤≤x

0,,321≥x x x

6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、

7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。

解：设每月生产A 、B 数量为,,21x x 销毁的产品C 为3x 。

33221)2(273x x x x x MaxZ --++=

11221≤+x x 173221≤+x x

13232≤-x x

0,,321≥x x x

7、靠近某河流有两个化工厂（参见附图），流经第一化工厂的河流流量为每天5003

m ，在两个工厂之间有一条流量为200万3

m 的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万3

m ，第二化工厂每天排放该污水1.4万3

m 。从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中的污水含量不应大于0.2%。这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元/万3

m ，第二化工厂的为800元/万3

m 。现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？列出数学模型，不求解。

500万3m 200万3

m

解：设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天1x 3

m 和x 2万3

m ，

218001000m in x x Z += st ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+≤≤0

,4.16.18.02

1212211x x x x x x 8、消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养成分

（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这3种营养物，其分别含有各种营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量（单位都略去）见下表。

甲 乙 丙 至少需要的营养成分数量

A 4 6 20 80

B 1 1 2 65

C 1 0 3 70 D

21 7 35 450 价格

25

20

45

问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，不用计算。

解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为321x x x 和、， 则根据题意可得如下线性规划模型：

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧≥≥++≥+≥++≥++++=0,,450

3572170

365

2802064..452025min 3213

21313

213213

21x x x x x x x x x x x x x x t s x x x z 9、某公司生产的产品A ，B ，C 和D 都要经过下列工序：刨、立铣、钻孔和装配。已知每

单位产品所需工时及本月四道工序可用生产时间如下表所示：

刨 立铣 钻孔 装配 A 0.5 2.0 0.5 3.0 B 1.0 1.0. 0.5 1.0. C

1.0

1.0

1.0

2.0

营养物

营养成分