基本不等式(均值不等式)技巧窍门

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧
【基本知识】
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，
则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
)(333
3
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,
“=”号成立.
4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3) 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。

【技巧讲解】
技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于
构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）
1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3：设2
3
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+
>-的最小值。

5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若且,求的最小值 .
技巧一答案：
1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42
x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。

4解析：
0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +,,0a b c
>()4a a b c bc +++=-2a b c +
+
21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)x x x x --=+++>-
1≥312≥+5
2=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

5、分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否
定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用
均值不等式.
当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。

同时还应化简1＋y 2
中
y 2
前面的系数为 1
2 ， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 2
2 ＝ 2
x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 2
2 ≤x 2＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2
＋y 22 ＋12 2 ＝34
即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 2
2 ≤
34
2
7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b 来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值
，于是就可以利用均值不等式了.
lg lg lg()x y xy +=xy x y +3x 2y 12xy 326x y
⋅220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解：32
x y =2,3x y ==lg lg x y +lg 6a b +≥2a b c ++()()a
b a
c +++()()a b a c ++4-
技巧二： 分离或裂项
1. 求2710
(1)1x x y x x ++=
>-+的值域。

2求函数1+=1+2x y x x （）
（）
的值域.
1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当
,即
时,
4
21)591
y
x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

2、解：可将上式转化为
所以值域为：
-)∞⋃∞（
技巧三：换元
1、求2710
(1)1
x x y
x x ++=
>-+
的值域。

2、求函数
的最大值
.
,,0,2()()2,,1.2 2.
a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为25y x =
+2
+1[1-1][1+2(x+1-1)]
+11
==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =
++（）
（）（）（））1（）（）
>-1+1>01+21+y +1<-1-+1>11+21+=-+2-1--+1--1x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）（）当时，（）0（）（（））此时（）（）
3、、已知正数x 、y 满足81
1x y
+=，求2x y +的最小值。

4、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 22
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
参考答案：
1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最
值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t =时,
4
259y t t
≥⨯+=（当t =2即x
＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为(
)(0,0)()
A
y mg x B A
B g x =++>
>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

2分析 ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
3、解法三：（三角换元法）
令228sin 1cos x x x y
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩ 22822sin cos x y x x
+=+222222
8csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++
10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

t =22,0,2,(0)
21
00;1014
212=.
23,24t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）
1、 已知正数x 、y 满足811
x y +=，求2x y +的最小值。

2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
3、设为正实数，，则的最小值是.
1解法：（消元法）
由811x y +=得8x y x =-，由00088
x
y x x x >⇒>>⇒>-又则2x y
+22(8)161616
2(8)108888
x x x x x x x x x x -+=+
=+=++=-++---
-1018≥=。

当且仅当16
88
x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16
t ≥2t ·16t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

3分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
技巧五：整体代换(条件不等式)
,,x y z 230x y z -+=2
y xz 32x z
y +=
2y xz ,x z 2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得
当且仅当即时，取“”.
故的最小值为
1：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。

2、已知正数x 、y 满足
81
1x y
+=，求2x y +的最小值。

1．错解．．
：Q 0,0x y >>，且191x y +=，∴(
)1912x y x y x y ⎛⎫
+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用基本不等式，
在x y +≥等号成立条件是x y =，
在
19x y +≥1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：19
0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+
y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且
1=+y
b
x a ，求y x +的最小值
2、解法：（利用均值不等式）
2x y +8116()(2)10x y
x y x y y x =++=+
+1018≥+=,当且仅当81
116x y x y
y
x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

技巧六：转化为不等式
1. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
2、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+
∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式
ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
1解法：
由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥
13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

又2
3()2
x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，
当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞
技巧六：取平方
1、 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 2: 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2
2 ，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2
（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2
3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。

故max y = 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

1
：求函数2y =
的值域。

2、若x 、y +∈R ，求4
()f x x x
=+
)10(≤<x 的最小值。

1
(2)t t =≥
，则2
y
1
(2)t t t ==+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

2解法一：（单调性法）由函数()(0)b
f x ax a b x
=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，
函数4
()f x x x
=+是减函数。

证明：
任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212
44
()()()()f x f x x x x x -=-+-
211212
()4x x
x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅，
∵1201x x <<≤，∴12
1212
4
0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4
()f x x x
=+在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，4
()f x x x
=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有4
()f x x x =
+24=+，易知当01
x <≤时，
0μ>
且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即
4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4
()f x x x
=+在(0,1]上有最小值5。

解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24
()1f x x
'=-，当(0,1]x ∈时，
24()10f x x '=-<，则函数4
()f x x x =+在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，
4
()f x x x
=+在(0,1]上有最小值5。

解法四：（拆分法）4()f x x x =+
)10(≤<x 13
()x x x
=+
+31≥5=，当且仅
当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

练习：
112sin ,[,)sin 2
y x x x π
π=+
∈、 2.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．
3若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值 求下列函数的最大值：
①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2
y x x x π
=<<
解析：
①30,3202x x <<->Q ∴，∴23
(32)(0)(32)2
y x x x x x x =-<<=⋅⋅-
3
(32)[]13
x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，
“=”号成立，故此函数最大值是1。

②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<>>Q ∴，
则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221
(sin sin 2cos )2
x x x =⋅⋅
222
31sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2
x π<<tan x ⇒=
x arc =时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是9。

4.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

5.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。