基本不等式常考解题技巧

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不等式解题方法与技巧

不等式解题方法与技巧不等式：表示两个数、变量或表达式间的大小关系的算术式，以“＞”、“≥”、“＝”、“≤”、“＜”为符号，又称不等式。

二、基本运算（一）加法1、两边相加法a＞b，则a+c＞b+c，即a＞b时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。

2、绝对值加法|a|＞|b|，则|a+c|＞|b+c|，即|a|＞|b|时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。

（二）减法1、两边相减法a＞b，则a-c＞b-c，即a＞b时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。

2、绝对值减法|a|＞|b|，则|a-c|＞|b-c|，即|a|＞|b|时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。

（三）乘法1、两边相乘法（1）a>b, c>0，则ac＞bc，即a>b且c>0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。

（2）a＞b, c＜0，则ac＜bc，即a>b且c<0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。

2、绝对值乘法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|ac|＞|bc|； |a|＞|b|, c＜0，则|ac|＜|bc|。

（四）除法1、两边相除法（1）a＞b, c>0，则a/c＞b/c，即a＞b且c>0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。

（2）a＞b, c＜0，则a/c＜b/c，即a＞b且c<0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。

2、绝对值除法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|a/c|＞|b/c|；|a|＞|b|, c＜0，则|a/c|＜|b/c|。

三、解题方法及技巧（一）解题步骤1、明确问题要求，看问题分支，把不等式内容转换为分支状2、根据不等式求出区间，再细分区间3、对每个区间中试探值，再回归至原不等式（二）解题技巧1、分类讨论法根据不等式中含有的数、变量和表达式等的不同（正负、奇偶、偶数等），结合不等式的形式，做出不同的判断，获得最终的结论。

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。

（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。

1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。

解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。

求解基本不等式技巧

求解基本不等式技巧解不等式是我们在数学学习过程中经常会遇到的一种问题，它在代数学、函数学、几何学等各个数学领域中都有广泛的应用。

解不等式的技巧主要涉及到代数计算与性质推导，下面将介绍一些常用的基本不等式解法技巧。

1. 利用性质：不等式解法中可以利用不等式的性质进行转化、合并等操作。

例如，可以利用不等式的加法性质、乘法性质，对不等式的两边做加法、减法、乘法、除法等运算，从而得到一个更简单的不等式。

常用的性质有： - 加法性质：若$a<b$，则$a+c<b+c$- 乘法性质：若$a<b$且$c>0$，则$ac<bc$- 反号性质：若$a<b$，则$-a>-b$- 绝对值性质：$|a-b|\\geq 0$，若$a-b<0$，则$|a-b|=-(a-b)$2. 利用不等式的对称性：不等式的对称性质有以下两种。

- 交换律：若$a<b$，则$b>a$- 传递律：若$a<b$且$b<c$，则$a<c$3. 利用平方意义：对于不等式中的平方项，可以利用平方的非负性，进行分析与转化。

例如，对于一元二次不等式$a(x-h)^2+k\\geq 0$，若$k<0$，则不等式左边的平方项一定大于0，不等式成立；若$k\\geq 0$，则通过对平方项进行求根可以得到$x$的取值范围。

4. 利用倒数意义：对于不等式中的倒数项，可以利用倒数的性质进行分析与转化。

例如，对于不等式$\\frac{1}{x}>k$，其中$k>0$，通过分析倒数项可以得到$x$的取值范围。

5. 利用中值不等式：中值不等式是一类常用的不等式，它可以大大简化解不等式的过程。

常用的中值不等式有： - 算术平均-几何平均不等式(AM-GM不等式)：对于非负实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$，有$\\frac{a_1+a_2+\\ldots+a_n}{n}\\geq\\sqrt[n]{a_1a_2\\ldots a_n}$- 柯西-施瓦茨不等式：对于实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$与$b_1,b_2,\\ldots,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+\\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\\ldo ts+b_n^2)\\geq (a_1b_1+a_2b_2+\\ldots+a_nb_n)^2$ - 三角函数不等式：对于角度为$\\theta$的三角函数$\\sin\\theta,\\cos\\theta,\\tan\\theta$，有$\\sin\\theta\\leq \\theta\\leq \\tan\\theta$，$-\\frac{\\pi}{2}\\leq \\theta\\leq \\frac{\\pi}{2}$6. 利用数轴分割：对于一元不等式，可以通过画数轴、确定不等式两边区间的取值范围，然后进行分析与合并，来得到不等式的解集。

基本不等式题型及常用方法总结

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

不等式基本解题技巧梳理

不等式基本解题技巧梳理技巧一：配凑法对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。

技巧二：分离常数法1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2. 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；3. 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 技巧三：对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；2.结合函数()a f x x x =+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；技巧1 配凑法【例1】（2021·广西河池市）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（） A ．134 B ．3C ．72D ．94 【举一反三】1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 3．若正实数a ，b 满足111122a b +=++，则ab a b ++的最小值为_______．技巧2 分类常数法【例2】已知52x ≥，则2332x x y x -+=-有（） A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值3D ．最小值3【举一反三】 1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．-12．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则a =（）A ．1+B ．2C ．4D ．63．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值24．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1技巧3 对勾函数【例3】函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【举一反三】1．函数2y =的最小值为（）A ．2B ．52 C ．1 D ．不存在2．函数()ln 22ln xf x x =+，(]1,e x ∈的最小值为________.3．设(0,)x π∈，则函数sin 22sin =+xy x 的最小值是___________．巩固练习一、单选题1．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz -的最小值是（）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知x y R +∈，，若不等式110232mx y x y x y ++≥+++恒成立，则实数m 的最值情况为（） A ．有最小值4- B ．有最大值4- C ．有最小值4 D ．有最大值43.已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b +≥+恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．10B ．9C ．8D ．74．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8 5．若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x ++≥+-成立，则实数x 的取值范围是（） A ．[)0,1 B ．()1,+∞ C ．(](),01,-∞+∞ D ．()(),01,-∞⋃+∞6．已知0x >，0y >，若2288yx ym m x y ++>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．19m -<< B ．91m -<< C ．9m ≥或1m ≤- D ．m 1≥或9m ≤- 7．当104x <<时，不等式11014m x x +-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为________.9．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11aba b +--的最小值为____________.10．函数2221()0sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是________.11．当0x >时，函数231x x y x ++=+的最小值为_________.12．函数2(2)2x y x x =>-的最小值为_______________13．若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________.14．求()271011x x y x x ++=>-+的最小值______.15．()21147x x x x ->-+的最大值为______.16．已知()()23601x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是________．。

基本不等式最值解题技巧

基本不等式最值解题技巧
1、分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

2、
基本不等式解题技巧得深入拓展——拼凑定和，拼凑定积，拼凑常数降幂，拼凑常数升幂，约分配凑，引入参数拼凑，引入对偶式拼凑，确立主元拼凑。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数
的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在采用基本不等式时，必须牢记“一正”“二定”“三成正比”的七字真言。

“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”就是指应用领域基本不等式谋最值时，和或四维定值，“三成正比”就是指因且仅当两个式子成正比时，就可以挑等号。

两大技巧
“1”的妙用。

题目中如果发生了两个式子之和为常数，建议这两个式子的倒数之和
的最小值，通常用所求这个式子除以1，然后把1用前面的常数则表示出，并将两个式子
进行即可排序。

如果题目未知两个式子倒数之和为常数，谋两个式子之和的最小值，方法
同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是
很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

数学高一基本不等式解题技巧

数学高一基本不等式解题技巧
数学基本不等式解题技巧如下：
1、作差∶作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。

2、作商（常用于分数指数幂的代数式)﹔分析法﹔平方法;分子（或分母）有理化；利用函数的单调性﹔寻找中间里或放缩法﹔)图象法。

3、其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

注意事项：
一、符号：
1、不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。

2、不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

二、解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大)。

2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小)。

3、比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了)。

4、比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)。

5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

三、数轴法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。

有几个就要几个。

在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b^2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。

大招三基本不等式的十大解题技巧(教师版)

1 x
+
9 y
=
1，求 x + y 的最小值
.
【答案】16
10.
已知非负实数
x,y
满足
x
+
y
=
1，则
x
1 +
1
+
y
4 +
1
的最小值为
3
.
【答案】3
技巧七、化归
11. 已知正数 x,y 满足 xy = x + y + 3，试求 xy、x + y 的最小值 .
【答案】9；6
23 12. 若正实数 x,y 满足 x2 + y2 + xy = 1，则 x + y 的最大值是 3 .
(x
>
-1)
的最小值
.
【答案】9
7.
已知实数 x,y 满足
x
>
y
>
0，且
x+
y
=
1 2
，则
x
2 + 3y
+
x1 -yFra bibliotek的最小值为
3+2
2
.
【答案】3 + 2 2
技巧五、利用对勾函数的单调性
8. 求函数 y = x2 + 5 的最小值 x2 + 4
【答案】52
技巧六、整体代换
9.
已知 x
>
0,y
> 0，且
【答案】92
技巧三、分离
4.
函数 y =
x2 + 5x + 15 x+2
(x ≥ 0) 的最小值为 ___________.

基本不等式解题方法总结

基本不等式解题方法总结基本不等式解题方法总结：解决基本不等式问题是数学学习中的一项重要内容。

基本不等式解题方法总结如下：1. 对称性原理：在一般情况下，给定一个不等式，如果将不等号两边颠倒，不等式的方向也要颠倒。

例如，如果不等式是$a>b$，那么不等式$b<a$也是成立的。

2. 加减法原理：对于不等式$a>b$，如果两边同时加或减一个常数$c$，则不等式的方向不发生改变。

也就是说，$a+c>b+c$和$a-c>b-c$也成立。

3. 乘除法原理：对于不等式$a>b$，如果两边同时乘（或除）一个正数$c$，则不等式的方向不发生改变。

但是如果乘（或除）一个负数时，不等式的方向会发生改变。

也就是说，当$c>0$时，$ac>bc$和$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$也成立；当$c<0$时，$ac<bc$和$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$成立。

4. 累加原理：对于不等式$a>b$，如果两边都累加一个正数$c$，则不等式的方向不改变。

也就是说，如果$a_1+b_1>a_2+b_2$，则$a_1+bc_1>a_2+bc_2$也成立。

5. 平方根原理：如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这两个数的大小关系与原来的大小关系一致。

也就是说，如果$a^2>b^2$，则$a>b$或$a<-b$。

基本不等式解题方法的总结希望对您在解决这类问题时有所帮助。

在解题中，应根据具体的不等式特点进行灵活应用，推导出准确的结果。

同时，通过多做习题巩固所学方法，加强对基本不等式解题的掌握。

数学复习：基本不等式的十大解题技巧

运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式，运用基本不等式并检验其
等号成立的条件，若等号取不到则，结合函数 y = x + a (a 0) 单调性，并运用其图像与性 x
质求出其函数的最值即可。
【例5】（★★★）函数 y = x2 + 5 的值域为
.
x2 + 4
【答案】
5 2
,
+
【解析】令 x2 + 4 = t(t 2) , 则 y = x2 + 3 = x2 + 4 + 1 = t + 1 (t 2) .
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
1. 基本不等式原始形式
(1)若 a,b R ,则 a2 + b2 2ab .
(2)若 a,b R ,则 ab a2 + b2 . 2
2.基本不等式一般形式(均值不等式)
若 a 0,b 0 ,则 a + b 2 ab .
3. 基本不等式的两个重要变形
(1)若 a 0,b 0 则 a + b ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”). 2
【答案】 2 3 3
【解析】由 x2 + y2 + xy = 1,得1 = (x + y)2 − xy, (x + y)2 = 1+ xy 1+ (x + y)2 ,解得 4
− 2 3 x + y 2 3 ,又 x 0, y 0 ,所以 0 x + y 2 3 ,因此 x + y 的最大值为 2 3
【例2】（★★）已知 0 x 4 时,则 y = x(8 − 2x) 的最大值为
【答案】8

基本不等式九个方法

基本不等式九个方法
基本不等式求解方法
不等式是数学中用于比较两个表达式大小关系的工具。

基本不等式求解方法有九种，每种方法都适用于不同的类型不等式。

一、代入法
代入法是最简单的不等式求解方法。

将一个已知的值代入不等式中，如果不等式仍然成立，则此值即为不等式的解。

二、两边同加或同减
在不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式仍然成立。

这种方法可以简化不等式或消除分母。

三、两边同乘或同除
在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等式仍然成立。

但需要注意，如果乘以或除以负数，不等号方向将改变。

四、利用性质化简
利用不等式的性质，如传递性、反对称性、可加性、可乘性等，可以简化或化解不等式。

五、转化为等价不等式
将不等式转化为等价形式，即不等号方向不变的不等式。

这种
方法可以将复杂不等式转换为简单形式。

六、平方或开方
对于含未知数平方或方根的不等式，可以平方或开方（注意开
方时不等号方向可能改变），将不等式化为可解的形式。

七、分离系数法
对于含有系数的不等式，可以将未知数的系数提取出来，分离
在不等式的一侧，使不等式化简为求解系数的不等式。

八、判别式法
对于二次回不等式（二次方程形式），可以应用判别式法判定不等式的解集。

判别式为正则有两实根，为零则有一重根，为负则无实根。

九、数轴法
对于线性不等式，可以在数轴上标出不等式对应的解集。

这种方法形象直观，适用于简单的不等式求解。

以上九种方法是基本不等式求解的常用方法，熟练掌握这些方法对于解决不等式问题至关重要。

基本不等式十大解题技巧

基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。

以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。

2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。

6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。

基本不等式万能方法

基本不等式万能方法
1. 哎呀呀，你知道吗，基本不等式的万能方法之一就是观察呀！就像找宝藏一样去观察式子的特点。

比如说，给你个式子a+b≥2√ab，咱看看能
不能找到其中的 a 和 b 呀，然后利用这个方法巧妙解题，这多有意思呀！
2. 嘿，告诉你哦，凑数也是个超棒的办法呢！比如要证一个式子，咱就想办法把它凑成基本不等式的形式。

就好比搭积木，找到合适的那块拼上去，神奇不？像 x + 1/x，这不就能凑出可以用基本不等式的样子嘛！
3. 哇塞，还有变形呢！式子有时候就像个调皮的小孩子，得给它变变样子它才乖。

比如把式子进行恒等变形，让基本不等式能发挥作用。

就跟给小娃娃换装一样，变得合适了就能解决问题啦，好神奇呀！
4. 嘿呀，另外千万别忘了整体代换呀！这就像是给式子换了个“身份”。

比如已知某个整体的值，然后把式子用这个整体代换进去，精妙吧！就像用魔法把难题变简单啦！
5. 哈哈，还有构造呀！这就如同建筑师一样，根据条件构造出合适的式子来应用基本不等式。

想象一下，用智慧的双手搭建解题的桥梁，多带劲！
6. 哟呵，同向不等式相加也是一招呢！把几个同向的不等式加在一起，就能得出新的结论。

这就像把好多小糖果聚在一起变成大糖果一样，有趣极了！
7. 哇哦，主次元转换也是可以的呀！有时候换个角度看问题，把主元辅元换换，就能柳暗花明啦。

就像换个视角看世界，发现新的美好，厉害吧！
总的来说，基本不等式的万能方法真是丰富多彩呀，只要掌握了这些，解题就不在话下啦！。

基本不等式的八种应用技巧

基本不等式的八种应用技巧1. 代入数值验证基本不等式可以通过代入具体数值进行验证。

选择适当的数值，将其代入不等式中，计算结果来判断不等式是否成立。

通过验证可以确认不等式是否正确，确定不等式的适用范围。

2. 不等式的加减运算规则基本不等式在加减运算中有一些特殊规则，可以简化计算过程。

例如，不等式两边同时加上或减去一个相同的数值，不等式的关系不变。

对于复杂的不等式，通过使用加减运算规则可以简化计算。

3. 不等式的乘除运算规则基本不等式在乘除运算中也有一些特殊规则，可以简化计算。

例如，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的关系不变；但是如果乘以或除以一个负数，则不等式的关系会发生改变。

熟练运用乘除运算规则可以有效处理复杂的不等式。

4. 不等式的倒数规则当基本不等式中的数值取倒数时，不等式的关系会发生改变。

原来大于的不等式变为小于，原来小于的不等式变为大于。

这一规则在处理负数或分数时尤为重要，需要注意倒数规则的运用。

5. 不等式的平方规则基本不等式的平方规则指的是取平方后不等式的关系会发生改变。

当不等式中的数值为正数时，取平方后不等式的关系保持不变；但是当不等式中的数值为负数时，取平方后不等式的关系会发生反转。

在处理含有平方的不等式时需要注意平方规则的运用。

6. 不等式的绝对值规则当基本不等式中出现绝对值时，需要根据绝对值的定义来处理。

根据绝对值的性质，可以将不等式分解为两个不等式来求解。

绝对值规则在处理含有绝对值的不等式时非常有用。

7. 不等式的开方规则当不等式中的数值开方后，不等式的关系可能会发生改变。

对于正数，开方不改变不等式的关系；但是对于负数，则需要特殊处理。

通过熟练掌握开方规则，可以更好地处理带有开方的不等式。

8. 不等式的数轴表示将不等式用数轴表示可以更直观地理解不等式的解集。

通过在数轴上绘制有向线段表示不等式的解集，可以更清晰地描述不等式的范围和解的情况。

数轴表示在不等式的可视化方面起到重要作用。

高一基本不等式各种解题方法全部

高一基本不等式各种解题方法全部
1.利用基本不等式的定义，即对于任意非负实数 $a,b$，有$a^2+b^2geq 2ab$，可得出不等式的解法。

2. 利用不等式的推论，如柯西不等式、均值不等式等，将不等式转化为等式或者更加简单的形式，从而解决问题。

3. 利用逆向思维，即将不等式中的变量进行换元，或者将不等式中的条件进行反转，从而转化为更简单的形式。

4. 利用几何意义，将不等式中的变量或者条件进行几何化，从而更加直观地理解和解决问题。

5. 利用数学归纳法，将不等式的证明过程进行归纳，从而推广到更加普遍的情况。

6. 利用反证法，即假设不等式不成立，从而导出矛盾，进而得出不等式成立的结论。

7. 利用数学分析方法，如导数、积分等，对不等式进行求解，并得出最优解。

8. 利用不等式的特殊性质，如对称性、单调性等，进行分析和求解，从而得出不等式的结论。

以上这些方法都可以用来解决高一基本不等式的各种问题。

对于不同的题目，需要根据其特点和要求选择合适的方法进行求解。

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方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式

方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。

本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。

一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。

根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。

5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。

选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。

二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。

以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。

2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。

3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。

运用基本不等式的一个规则和四个技巧

运用基本不等式的一个规则和四个技巧基本不等式是数学中常用的一个重要的不等式方法，它在解决各种不等式问题中起到了重要的作用。

下面我将介绍基本不等式中的一个规则和四个技巧，并给出一些用它们解决问题的例子。

1.规则：基本不等式的一个重要规则是，如果a>b，则a^2>b^2、也就是说，两个正数（或两个负数）之间的大小关系在平方后仍然成立。

这个规则的一个应用是在解决含有平方项的不等式时，通过平方化的转化，简化不等式的计算过程。

例如，要求解不等式x^2-5x+6>0，我们可以将不等式的两边同时平方，得到(x-3)(x-2)>0。

根据规则，我们知道(x-3)(x-2)大于零的条件是x-3和x-2要么都大于零，要么都小于零。

因此，不等式的解集是x<2或x>32.技巧一：取平方根如果两个正数（或两个负数）之间的大小关系在平方后仍然成立，则在开根号后仍然成立。

这个技巧在解决含有根号的不等式时非常有用。

例如，要求解不等式√(x-2)>3，我们可以将不等式两边都平方，得到x-2>9、然后，我们可以把9移到不等式的右边，得到x>113.技巧二：分解将不等式进行分解，可以将原问题简化为多个小问题，并从中得到更多的信息。

例如，要求解不等式x^2-5x+4≤0，我们可以将不等式进行分解，得到(x-4)(x-1)≤0。

根据不等式的性质，我们知道(x-4)(x-1)小于等于零的条件是x-4和x-1要么都小于等于零，要么都大于等于零。

因此，不等式的解集是1≤x≤44.技巧三：配方对于一些特定的不等式，可以通过配方的方法，将不等式变换成更简单的形式。

例如，要求解不等式x^2-8x+16≥0，我们可以通过配方将其变为(x-4)^2≥0。

根据不等式的性质，我们知道(x-4)^2大于等于零的条件是(x-4)大于等于零。

因此，不等式的解集是x≥45.技巧四：取倒数对于一些正数，其倒数的大小关系与它本身的大小关系是相反的。

基本不等式题型总结

基本不等式题型总结基本不等式是数学中的重要概念，其中包括很多不等式题型。

下面将对基本不等式的常见题型进行总结，并提供一些解题思路和方法。

1. 一次不等式：一次不等式是最简单的不等式形式，通常是形如 ax + b > 0 的形式。

解这类不等式时，可以将不等式转化为等式，求出等式的解集，然后根据不等号的方向确定不等式的解集。

2. 二次不等式：二次不等式是一次不等式的推广，形如 ax^2 + bx + c > 0 的形式。

解这类不等式时，可以利用二次函数的性质，首先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式形式，形如 |ax + b| > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据绝对值的定义，分别考虑 ax + b > c 和 ax + b < -c 两种情况，然后求出每种情况下的解集。

4. 分式不等式：分式不等式是包含有分式的不等式，形如p(x)/q(x) > 0 的形式。

解这类不等式时，可以找出分式的零点，然后根据分式的正负性确定不等式的解集。

5. 根式不等式：根式不等式是带有根号的不等式，形如√(ax +b) > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据根式的定义，将不等式平方后再进行求解。

6. 微分不等式：微分不等式是用微分的方法解决的不等式，通常涉及函数的导数。

解这类不等式时，可以求出函数的导数，然后根据导数的正负性确定函数在不同区间上的增减性以及函数的极值点，从而确定不等式的解集。

7. 参数不等式：参数不等式是含有参数的不等式，通常涉及参数的范围和取值。

解这类不等式时，可以根据参数的取值范围，分析不等式在不同情况下的解集，并给出参数的取值条件。

8. 不等式组：不等式组是由多个不等式组成的集合，通常需要在平面上找出满足所有不等式条件的解集。

解这类不等式组时，可以利用图像解法、代数解法或线性规划等方法，确定不等式组的解集。

不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

基本不等式常考解题技巧

根本不等式之公保含烟创作一、根底知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅事先b a =取“=”）．2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2；（2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅事先b a =取“=”）；（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅事先b a =取“=”）． 3．若0x >，则12x x+≥（当且仅事先1x =取“=”）；若0x <，则12x x+≤-（当且仅事先1x =-取“=”）；若0x ≠，则12x x +≥，即12x x+≥或12x x +≤-（当且仅事先b a =取“=”）． 4．若0>ab ，则2≥+ab b a （当且仅事先b a =取“=”）；若0ab ≠，则2a b b a+≥，即2a b b a +≥或2a b b a +≤-（当且仅事先b a =取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+（当且仅事先b a =取“=”）．二、拓展1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+2．函数()()0,0b f x ax a b x=+>>图象及性质（1）函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如右图所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质： ①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣；②单调递增区间：,,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；单调递加区间：0,,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比拟年夜小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用．三、根本类型对称性：“1”的代换：四、应用根本不等式求最值常常使用技巧已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值．技巧二：凑系数事先04x <<，求()82y x x =-的最年夜值．技巧三：别离求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域．已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值．技巧五：整体代换已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值．技巧六：取平方已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．技巧七：结构要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们应用根本不等式结构一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为技巧八：添加参数若已知0,,>c b a ，则bc ab c b a 2222+++的最小值为．。

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