线性代数 第六章

*第六章 线性空间与线性变换

在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化.

§１ 线性空间的定义与性质

定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )：

(1) αββα+=+;

(2) ()()αβγαβγ++=++；

(3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α；

(4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)；

(5) 1α＝α；

(6) k (λα)＝（k λ）α；

(7) (k +λ)α＝k α＋λα；

(8) k (αβ+)＝k α+k β.

那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域).

简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间).

注意：向量不一定是有序数组；

向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭；

向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即

P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝.

对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间.

例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即

W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝.

W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间.

因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０＋a ０)＝0∉W ，即W 对数乘不封闭.

例3 全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成R 上的线性空间.

例4 n 个有序实数组成的数组的全体

S n =｛x =(x 1，x 2，…，x n )｜x 1，x 2，…，x n ∈R ｝

对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘

k .(x 1，x 2，...，x n )＝(0,0, 0

不构成R 上的向量空间，因为1x =0，不满足运算规律(5).

例5 正实数的全体，记作R ＋，定义加法、数乘运算为

a ⊕

b =ab (a,b ∈R ＋)，k ·a =a k （k ∈R ,a ∈R +）.

验证R +对上述加法与数乘运算构成R 上的线性空间.

证 实际上要验证十条.

对加法封闭：对任意a,b ∈R ＋，有a ⊕b ＝ab ∈R ＋；

对数乘封闭：对任意k ∈R ,a ∈R ＋，有k ·a ＝a k ∈R ＋；

(1) a ⊕b =ab =ba =b ⊕a ;

(2) (a ⊕b )⊕c ＝(ab ) ⊕c ＝(ab )c ＝a (bc )＝a ⊕ (b ⊕c )；

(3) R ＋中的元素1满足：a ⊕1＝a ·1＝a (1叫做R ＋的零元素)；

(4) 对任何a ∈R ＋，有a ⊕a －１＝a －１＝１（a －1叫做a 的负元素）；

(5) 1·a ＝a 1＝a ;

(6) k ·(λ·a )＝k ·(a λ)k ＝k a λ＝（k λ）·a ；

(7) (k +λ)·a=()k a λ+＝k a a λ= k a a λ

⊕=k ·a ⊕λ·a ； (8) k ·(a ⊕b )=k ·(ab )=(ab )k =a k b k =a k ⊕b k =k ·a ⊕k ·b .

因此，R ＋对于上面定义的运算构成R 上的线性空间.

下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质.

性质1 零元素是惟一的.

假设01，02是线性空间V 中的两个零元素，即对任何α∈V ，有α+01=α,α+02＝α，于是特别有

02+01=02,01+02=01,

故01=01+02=02+01=02.

性质2 任一元素的负元素是惟一的(α的负元素记作-α).

假设α有两个负元素β与γ，即αβ+＝0，αγ+＝0.于是

()().βββαγβαγγγ=+=++=++=+=00

性质3 0α＝0；（－1）α＝－α；k 0＝0.

因为 α＋0α＝1α＋0α＝（1+0）α＝1α＝α，

所以 0α＝0+0α＝（－α＋α）＋0α＝－α+(α＋0)＝－α＋α＝0

又因为 α＋（－1）α＝1α+（－1）α=［1+(－1)］α＝0α＝0，

所以 (－1) α=0＋（－1）α＝（－α＋α）＋（－1）α

＝－α＋［α＋（－1）α］＝－α＋0＝－α;

而 k 0=k ［α＋（－1）α］＝k α＋（－k ）α＝［k +(-k )］α＝0α＝0.

性质4 如果k α＝0，那么k ＝0或者α＝0.

假设k ≠0，那么

α＝1α＝(1

k ·k) α=

1

k

(kα)＝

1

k

0＝0.

在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中.

定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间(简称子空间).

一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为W是V的一部分，V中运算对W而言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要W对运算封闭且满足规律(3)(4)即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分

必要条件是W对于V中的两种运算封闭.

例6在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.

§2 维数、基与坐标

在第三章，我们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素(向量)仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于一般的线性空间.

定义3在线性空间V中，如果存在

n个元素α1,α2,…,αn，满足：

(1) α1,α2,…,αn线性无关.

(2) V中任一元素α都可由α1,α2,…,αn线性表示，那么，α1,α2,…,αn就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.

维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n.

如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的.

若知α1,α2,…,αn为V的一个基，则对任何α∈Vn，都有一组有序数x1, x2,…, x n使

α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，

并且这组数是惟一的(否则α1,α2,…,αn线性相关).

反之，任给一组有序数x1, x2,…, x n，可惟一确定V n中元素

α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn.

这样，V n的元素与有序数组(x1, x2,…, x n)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示α，于是我们有

定义4设α1,α2,…,αn是线性空间V n的一个基，对于任一元素α∈V n，有且仅有一组有序数x1, x2,…, x n使

α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，

x1, x2,…, x n这组有序数就称为α在基α1,α2,…,αn下的坐标，记作

(x1, x2,…, x n).

例7在线性空间P［x］3中，α1＝1，α2＝x，α3＝x2，α4＝x3就是P［x］3的一个基，P［x］3的维数是4，P［x］3中的任一多项式

f(x)＝a3x3+a2x2＋a1x＋a0

可写成f(x)=a3α4＋a2α3＋a1α2＋a0α1，

因此f(x)在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(a0，a1，a2，a3).

易见β1＝1，β2＝1＋x; β3＝2x2，β4＝x3也是P［x］3的一个基，而