(完整版)2018年上海高考数学试卷

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2018年上海高考数学真题和答案

2018 年上海市高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应地点直接填写结果 .1．（4 分）（2018 上海）队列式的值为18．【考点】 OM：二阶队列式的定义．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5R ：矩阵和变换．【剖析】直接利用队列式的定义，计算求解即可．【解答】解：队列式=4×5﹣2×1=18．故答案为： 18．【评论】此题观察队列式的定义，运算法例的应用，是基本知识的观察．2．（4 分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】 KC：双曲线的性质．【专题】 11 ：计算题．【剖析】先确立双曲线的焦点所在座标轴，再确立双曲线的实轴长和虚轴长，最后确立双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为 y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为： y=±【评论】此题观察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4 分）（2018?上海）在（ 1+x）7的二项睁开式中， x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】 DA：二项式定理．【专题】 38 ：对应思想； 4O：定义法； 5P ：二项式定理．【剖析】利用二项式睁开式的通项公式求得睁开式中x2的系数．【解答】解：二项式（ 1+x）7睁开式的通项公式为 T r+1= ?x r，令 r=2，得睁开式中 x2的系数为=21．故答案为： 21．【评论】此题观察了二项睁开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4 分）（2018?上海）设常数 a∈R，函数 f（ x） =1og2（x+a）．若 f （x）的反函数的图象经过点（ 3，1），则 a= 7．【考点】 4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【剖析】由反函数的性质得函数 f （x）=1og2（x+a）的图象经过点（ 1， 3），由此能求出 a．【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f （x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数 f（x）=1og2（ x+a）的图象经过点（ 1，3），∴log2（1+a）=3，解得 a=7．故答案为： 7．【评论】此题观察实数值的求法，观察函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．5．（4 分）（2018?上海）已知复数 z 知足（ 1+i）z=1﹣ 7i（i 是虚数单位），则|z|= 5．【考点】 A8：复数的模．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法； 5N ：数系的扩大和复数．【剖析】把已知等式变形，而后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（ 1+i） z=1﹣7i，得，则 |z|=．故答案为： 5．【评论】此题观察了复数代数形式的乘除运算，观察了复数模的求法，是基础题．6．（ 4 分）（2018?上海）记等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 a3 =0，a6+a7=14，则S7= 14．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得 a1=﹣4，d=2，∴ S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为： 14．【评论】此题观察等差数列的前 7 项和的求法，观察等差数列的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．7．（5 分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】 4U：幂函数的观点、分析式、定义域、值域．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】由幂函数 f（ x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，获得 a 是奇数，且 a＜0，由此能求出 a 的值．【解答】解：∵α∈ {﹣2，﹣ 1，，1，2，3}，幂函数 f（x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，∴a 是奇数，且 a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣ 1．【评论】此题观察实数值的求法，观察幂函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．8．（5 分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ 1，0）、 B（ 2，0），E、F 是 y 轴上的两个动点，且 | |=2 ，则的最小值为﹣3．【考点】 9O：平面向量数目积的性质及其运算．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 41 ：向量法； 5A ：平面向量及应用．【剖析】据题意可设 E（ 0， a），F（0，b），进而得出 |a ﹣b|=2 ，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2 带入上式即可求出的最小值，同理将 b=a+2 带入，也可求出的最小值．【解答】解：依据题意，设E（0，a），F（ 0， b）；∴；∴a=b+2，或 b=a+2；且；∴；当 a=b+2 时，；∵ b2﹣2的最小值为；+2b∴的最小值为﹣ 3，同理求出 b=a+2 时，的最小值为﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【评论】观察依据点的坐标求两点间的距离，依据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数目积运算，二次函数求最值的公式．9．（5 分）（2018?上海）有编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选用三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 49 ：综合法； 5I ：概率与统计．【剖析】求出全部事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，而后求解概率即可．【解答】解：编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2克砝码两个，从中随机选用三个， 3 个数中含有 1 个 2； 2 个 2，没有 2，3 种状况，全部的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9 克的事件只有： 5，3，1 或 5， 2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为9 克的概率是：=，故答案为：．【评论】此题观察古典概型的概率的求法，是基本知识的观察．10．（ 5分）（2018?上海）设等比数列n 的通项公式为n n﹣1（n∈N*），前n{a } a =q项和为 S n．若= ，则 q= 3．【考点】 8J：数列的极限．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 55 ：点列、递归数列与数学概括法．【剖析】利用等比数列的通项公式求出首项，经过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列 {a n的通项公式为a =q n﹣1（n∈ N*），可得 a1，}=1因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得 q=3．故答案为： 3．【评论】此题观察数列的极限的运算法例的应用，等比数列乞降以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的观察．11．（5 分）（2018?上海）已知常数 a＞0，函数 f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若 2p+q，则a=6．=36pq【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值．【解答】解：函数 f （x） =的图象经过点 P（p，），Q（ q，）．则：，整理得：=1，解得： 2p+q=a2pq，因为： 2p+q=36pq，所以： a2=36，因为 a＞0，故： a=6．故答案为： 6【评论】此题观察的知识重点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（ 5 分）（2018?上海）已知实数x1、x2、 y1、y2知足： x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】 7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】 35 ：转变思想； 48 ：剖析法； 59 ：不等式的解法及应用．【剖析】设 A（x1，1），（2，2），（1，1），（ 2，2），由圆的方程y B x y= x y= x y和向量数目积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2，y2），=（ x1，y1），=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22 +y22=1，x1x2+y1y2= ，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且 ? =1×1×cos∠AOB= ，即有∠ AOB=60°，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣ 1=0 的距离 d1与 d2之和，明显 A，B 在第三象限， AB 所在直线与直线x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t ＞0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=，可得 2=1，解得 t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【评论】此题观察向量数目积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，观察点与圆的地点关系，运用点到直线的距离公式是解题的重点，属于难题．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑 .13．（5 分）（2018?上海）设 P 是椭圆=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转变求解即可．【解答】解：椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴， a=，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2．应选： C．【评论】此题观察椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（ 5 分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足又非必需条件【考点】 29：充足条件、必需条件、充要条件．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 5L ：简略逻辑．【剖析】“a＞1”? “”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解： a∈R，则“a＞1”? “”，“”? “a＞1 或 a＜0”，∴“a＞1”是“”的充足非必需条件．应选： A．【评论】此题观察充足条件、必需条件的判断，观察不等式的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．15．（ 5 分）（ 2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的极点为极点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【考点】 D8：摆列、组合的实质应用．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 5O ：摆列组合．【剖析】依据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：依据正六边形的性质，则D1﹣1 1，1﹣1 1 知足题意，而AABB D AAFFC1， E1，C，D，E，和 D1同样，有 2×6=12，当 A1ACC1为底面矩形，有2 个知足题意，当 A1AEE1为底面矩形，有 2 个知足题意，故有 12+2+2=16应选： D．【评论】此题观察了新定义，以及清除组合的问题，观察了棱柱的特点，属于中档题．16．（ 5 分）（2018?上海）设 D 是含数 1 的有限实数集， f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只好是（）A．B．C．D．0【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51：函数的性质及应用； 56 ：三角函数的求值．【剖析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意获得：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们能够经过代入和赋值的方法当 f（1）=，，0 时，此时获得的圆心角为，，0，但是此时 x=0 或许 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只好对应一个 y，所以只有当 x= ，此时旋转，此时知足一个 x 只会对应一个 y，所以答案就选： B．应选： B．【评论】此题观察的知识重点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤 .17．（ 14 分）（ 2018?上海）已知圆锥的极点为P，底面圆心为 O，半径为 2．（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图．求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小．【考点】 LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形联合； 41 ：向量法； 5F ：空间地点关系与距离； 5G ：空间角．【剖析】（1）由圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．（2）以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，∴圆锥的体积 V===．（2）∵ PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M为线段 AB 的中点，∴以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣ 4），=（0，2，0），设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ，则 cosθ===．∴θ=arccos ．∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos．【评论】此题观察圆锥的体积的求法，观察异面直线所成角的正切值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．18．（ 14 分）（ 2018?上海）设常数 a∈R，函数（ 1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；（ 2）若 f （）=+1，求方程 f （x） =1﹣f（ x） =asin2x+2cosx2．在区间 [﹣π，π]上的解．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 58 ：解三角形．【剖析】（1）依据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出 a 的值，再依据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵ f（ x） =asin2x+2cosx，∴（﹣）﹣2f x = asin2x+2cosx，∵f（x）为偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），∴﹣ asin2x+2cosx=asin2x+2cosx，∴ 2asin2x=0，∴ a=0；（ 2）∵ f（） = +1，∴ asin +2cos2（）=a+1=+1，∴a= ，∴ f（x）= sin2x+2cosx= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+ ）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴ 2x+ =﹣+2kπ，或 2x+ =π+2kπ，k∈Z，∴ x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵ x∈[ ﹣π，π]，∴ x=或x=或x=﹣或x=﹣【评论】此题观察了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（ 14 分）（2018?上海）某集体的人均通勤时间，是指单日内该集体中成员从居住地到工作地的均匀用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．剖析显示：当 S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾集体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交集体的人均通勤时间不受x 影响，恒为 40 分钟，试依据上述剖析结果回答以下问题：（ 1）当 x 在什么范围内时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；议论 g（x）的单一性，并说明其实质意义．【考点】 5B：分段函数的应用．【专题】 12 ：应用题； 33 ：函数思想； 4C ：分类法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】（1）由题意知求出 f （x）＞ 40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 g（x）的分析式，判断 g（x）的单一性，再说明其实质意义．【解答】解；（1）由题意知，当 30＜ x＜100 时，f（x）=2x+﹣90＞40，即 x2﹣65x+900＞0，解得 x＜20 或 x＞45，∴x∈（45，100）时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间；（ 2）当 0＜x≤30 时，g（x）=30?x%+40（ 1﹣ x%）=40﹣；当 30＜ x＜100 时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴ g（ x）=；当 0＜x＜时， g（x）单一递减；当＜ x＜ 100 时， g（ x）单一递加；说明该地上班族 S 中有小于 %的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 %的人自驾时，人均通勤时间是递加的；当自驾人数为 %时，人均通勤时间最少．【评论】此题观察了分段函数的应用问题，也观察了分类议论与剖析问题、解决问题的能力．20．（16 分）（2018?上海）设常数 t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤ x≤t ， y≥0）． l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点．（ 1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（ 2）设 t=3，|FQ|=2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP上，求△ AQP的面积；（ 3）设 t=8，能否存在以 FP、 FQ为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【考点】 KN：直线与抛物线的地点关系．【专题】 35 ：转变思想； 4R：转变法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】（1）方法一：设 B 点坐标，依据两点之间的距离公式，即可求得|BF| ；方法二：依据抛物线的定义，即可求得|BF| ；（2）依据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（3）设 P 及 E 点坐标，依据直线 k PF?k FQ=﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点坐标，依据+ = ，求得 E 点坐标，则（）2（），即可求得=8+6P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（ t，2t），则 |BF|==t+2，∴|BF|=t+2 ；方法二：由题意可知：设B（t ，2t ），由抛物线的性质可知： |BF|=t+=t+2，∴ |BF|=t+2 ；（2） F（2，0），|FQ|=2 ，t=3，则 |FA|=1 ，∴ |AQ|= ，∴ Q（ 3，），设 OQ 的中点 D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得： 3x2﹣20x+12=0，解得： x=，x=6（舍去），∴△ AQP的面积 S= ××=；（ 3）存在，设 P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线 QF 方程为 y=（x﹣2），∴ y Q=（﹣），（，），8 2 =Q 8依据+ =，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得： y2=，∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上，且 P（，）．【评论】此题观察抛物线的性质，直线与抛物线的地点关系，观察转变思想，计算能力，属于中档题．21．（ 18 分）（ 2018?上海）给定无量数列 {a n}，若无量数列 {b n}知足：对随意n∈ N*，都有 |b n﹣ a n| ≤ 1，则称 {b n}与{a n}“靠近”．（ 1）设 {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}能否与 {a n}靠近，并说明原因；（2）设数列 {a n}的前四项为： a1=1，a2=2， a3=4， a4 =8，{b n}是一个与 {a n}靠近的数列，记会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数 m；（3）已知 {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n }知足： {b n }与{a n}靠近，且在 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中起码有 100 个为正数，求 d 的取值范围．【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】 34 ：方程思想； 48 ：剖析法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“靠近”，即可判断；（2）由新定义可得 a n﹣1≤b n≤ a n +1，求得 b i，i=1，2，3，4 的范围，即可获得所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得 a n，议论公差 d＞0，d=0，﹣ 2＜ d＜ 0， d≤﹣ 2，联合新定义“靠近”，推理和运算，即可获得所求范围．【解答】解：（1）数列 {b n}与 {a n}靠近．原因： {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，可得 a n， n n+1，= b =a +1= +1则 |b n﹣n+1﹣|=1 ﹣＜1，n∈N * ，a |=|可得数列 {b n}与{a n}靠近；（2）{b n}是一个与{a n}靠近的数列，可得 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1，数列 {a n}的前四项为： a1 =1，a2 =2，a3=4， a4=8，可得 b1∈ [0，2]，b2∈[1，3]， b3∈[3，5] ，b4∈[7， 9]，可能 b1与 b2相等， b2与 b3相等，但 b1与 b3不相等， b4与 b3不相等，会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M 中元素的个数 m=3 或 4；（3） {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n}知足： {b n}与 {a n}靠近，可得 a n=a1+（n﹣1）d，①若 d＞0，取 b n=a n，可得 b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；②若 d=0，取 b n1﹣，则|b n﹣ n1﹣﹣ 1＜，∈N* ，=a a |=|a a |= 1 n可得 b n+1﹣n﹣＞，b =0则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；③若﹣ 2＜d＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则 b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（ a2n﹣1﹣ 1） =2+d＞ 0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中恰有 100 个正数，切合题意；④若 d≤﹣ 2，若存在数列 {b n}知足： {b n}与{a n}靠近，即为 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1， a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得 b n+1﹣ b n≤a n+1+1﹣（ a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣ b1，b3﹣ b2，，b201﹣ b200中无正数，不切合题意．综上可得， d 的范围是（﹣ 2， +∞）．【评论】此题观察新定义“靠近”的理解和运用，观察等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，观察分类议论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。

2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。

【高考】2018年上海市高考数学试题有答案

2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为。

【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。

（结果用数值表示）【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(上海卷)

2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）一、单选题1. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A ．B ．C ．D ．2. 已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16二、填空题4. 设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A ．B ．C ．D ．5. 行列式的值为___．6.双曲线的渐近线方程________．7.在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）．8. 设常数，函数．若的反函数的图象经过点，则___．9. 已知复数满足（是虚数单位），则．10. 记等差数列的前项和为，若，，则____．11. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．三、解答题12. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．13. 有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是_____．14. 设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则______．15. 已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．16. 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．（1）设圆锥的母线长为，求圆锥的体积；（2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的大小．18. 设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．20. 设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．（1）设是首项为，公比为的等比数列，，判断数列是否与接近，并说明理由；（2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．。

(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。

若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A）（B）（C）（D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2018年上海市普通高等学校招生统一考试数学真题试题及参考答案(上海卷)

【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
15.（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得答案为D。

故答案为：D。

【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。

【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）。

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1.行列式4125的值为 .2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 3.在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示） 4.设常数a ∈R ，函数()()2log f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点()3,1，则a = .5.已知复数z 满足()1i 17i z +=-（i 是虚数单位），则z = .6.记等差数列{} n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = .7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α=_____.8.在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -，()2,0B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n a q n +=∈N ，前n 项和为n S .若11lim 2n n n S a →∞+=，则q =____________.11.已知常数0a >，函数()()22x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若236p q pq +=，则a =__________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）. （A）（B）（C）（D）14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）. （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）.（A ）4（B ）8（C ）12（D ）16 16.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（）.（A（B ）2（C ）3 （D ）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=，M为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+. （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]π,π-上的解.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30,0301800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩…（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）的单调性，并说明其实际意义.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线:l x t =，曲线τ：()280,0y x x t y =剟?，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n ∈N ，都有1n n b a -…，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，11n n b a +=+，*n ∈N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{},1,2,3,4M x x bi i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.。

2018年普通高等学校招生上海市数学真题卷(含答案)

（C） 3 3
（D）0【答案】 B
【知识点】函数的概念【考查能力】空间想象能力
【解析】点 (1, f (1)) 在直线 x = 1 上，把直线进行旋转可得旋转后的直线，这样进
行下去直到回到 (1, f (1)) 点可知 f (1) = 3 2
17. 已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ，半径为 2，
2
2
【知识点】直线的交点坐标与距离公式
【解析】数形结合，转化单位圆上圆心角为 60o的两点到直线 x + y -1 = 0 的距离
之和，可求得最大值为 2 + 3 。
13. 设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）．
53
（A） 2 2
（B） 2 3
O
B
A
M
（2）若
f
æ çè
p 4
ö ÷ø
=
3 +1，求方程 f ( x) = 1-
2 在区间[-p ,p ] 上的解．
1）、由偶函数可知 f (-x) = f (x) 得 a = 0 。
（2）、 f (p ) = 3 +1Þ a = 3 ， f (x) = 2sin(2x + p ) +1, \sin(2x + p ) = - 2 ，在
（C） 2 5
（D） 4 2 【答案】 C
14. 已知 a Î R ，则“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的（
）．
a
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件【答案】 A
15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1 为底面矩形的一边，

2018年上海高考数学试卷

2018年上海高考数学试卷填空题1.行列式 $\begin{vmatrix}4&1\\2&5\end{vmatrix}$ 的值为18.2.双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}x$。

3.在 $(1+x)^{10}$ 的二项展开式中，$x$ 项的系数为 10.4.设常数 $a\in\mathbb{R}$，函数 $f(x)=\log_2(x+a)$。

若$f(x)$ 的反函数的图像经过点 $(3,1)$，则 $a=\frac{1}{8}$。

5.已知复数 $z$ 满足 $(1+i)z=1-7i$，则 $z=-2-6i$。

6.记等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若$a_3=4$，$a_6+a_7=14$，则 $S_7=35$。

7.已知 $\alpha\in\{-2,-1,-\frac{1}{2},1,2,3\}$。

若幂函数$f(x)=x^\alpha$ 为奇函数，且在 $(0,+\infty)$ 上递减，则$\alpha=-1$。

8.在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,0)$，$B(2,0)$，且$EF=2$，$E$、$F$ 是 $y$ 轴上的两个动点，则 $AE\cdotBF$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$。

9.有编号互不相同的五个砝码，其中 $5$ 克、$3$ 克、$1$ 克砝码各一个，$2$ 克砝码两个。

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 $9$ 克的概率是 $\frac{6}{25}$。

10.设等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=q^{n-1}$，前 $n$ 项和为 $S_n$。

若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{S_n}{a^2_n}=6$，则$q=\frac{1}{2}$。

11.已知常数 $a>0$，函数$f(x)=\frac{2x+6}{5+2x+ax^2}$ 的图像经过点 $P(p,q)$、$Q(q,-p)$。

2018年高考数学上海卷及答案解析

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.行列式4125的值为。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

3.在71x +（）的二项展开式中，2x 项的系数为。

(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈，函数()2()f x log x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 。

5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位)，则z = 。

6.记等差数列{}n a 的前几项和为Sn ，若3870,14a a a =+= ，则7S = 。

7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α= 。

8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0),(2,0),,A B E F -是y 轴上的两个动点，且2EF =uu u r，则AE BF ⋅uu u r uu u r的最小值为。

9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为n 1N*n a q n =+∈（），前n 项和为n S 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q = 。

11.已知常数0a >，函数()222()|2f x ax =+的图像经过点6,5p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若236p q pq +=，则a = 。

12.已知实数x x y y ₁、₂、₁、₂满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为。

2018年高考数学上海卷-答案

上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．解：行列式4145211825=⨯⨯=-．故答案为：18．【考点】二阶行列式的定义．2．【答案】12x ± 【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的2a =，1b =，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =± 故答案为：12x ± 【考点】双曲线的性质3．【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数．解：二项式71x +（）展开式的通项公式为 17•r r r T C x +=，令2r =，得展开式中2x 的系数为27C 21=．故答案为：21．【考点】二项式定理4．【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a ．解：∵常数a R ∈，函数21f x og x a=+（）（）． f x （）的反函数的图象经过点（3,1），∴函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3）， ∴213log a+=（），解得7a =．故答案为：7．【考点】反函数5．【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由(1)17i z i +=-，得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．【考点】复数的模6．【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，由此能求出7S ．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，367014a a a =+=,∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， ∴717672842142S a d ⨯=+=-+=．故答案为：14．【考点】等差数列的前n 项和7．【答案】1-【解析】由幂函数f x x α=（）为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a ＜，由此能求出a 的值．【解答】解：∵112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，幂函数()f x x α=为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且0a ＜，∴1a =-．故答案为：1-．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域8．【答案】3-【解析】据题意可设0,E a （），0,F b （），从而得出2a b -=，即2a b =+，或2b a =+，并可求得2AE BF ab ⋅=-+uuu r uuu r ，将2a b =+带入上式即可求出AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值，同理将2b a =+带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设0,0,E a F b (),()；|EF||a b |2∴=-=u u r∴2a b =+或a 2b =+且(1,)AE a =u u u r ，(2,)BF b =-u u u r∴2AE BF ab ⋅=-+uu u r uu u r当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-．故答案为：3-．【考点】平面向量数量积的性质及其运算9．【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：3510C =，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21=105，故答案为：15．【考点】古典概型及其概率计算公式10．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．解：等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n ma q n N -=∈，可得1a 1=，因为11lim 2n n n S a →∞+=，所以数列的公比不是1，，1n n a q +=．可得，11111111lim lim lim (1)12n n nn n n n n q q q q q q q q q -→∞→∞→∞----====-- 可得3q =．故答案为：3．【考点】数列的极限11．【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【解答】解：函数2()2x x f x ax =+的图象经过点61,,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则： p q P q 226112ap 2aq 55+==++，整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++，解得：，22p q a pq += 由于：236p q pq +=，所以：236a =，由于0a ＞，故：6a =．故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换12．【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=uu r uu u r ，即有60AOB ∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设AB ：0x y t ++=，（0t ＞），由圆心O 到直线AB的距离d =可得1=，解得t =1+=【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式二、选择题13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【考点】椭圆的性质．14．【答案】A【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【解析】“1a ＞”⇒“11a <”，“11a<”⇒“1a ＞或0a ＜”，由此能求出结果．【考点】充分条件，必要条件，充要条件15．【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【考点】排列、组合的实际应用16．【答案】B【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当(1)f =，3，0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当2x =，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．故选：B ．【考点】函数的图象与图象的变换三、解答题17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积22112333V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=．（2）∵4PO=，OA，OB是底面半径，且90AOB∠=︒，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(004)P，，，200A(，，)，(0,2,0)B，(1,1,0)M，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PM OB=-=u u u r u u u r设异面直线PM与OB所成的角为θ，则||cos||||PM OBPM OBθ⋅===⋅uuu r uu u ruuu r uu u r∴arccos6θ=∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos6．【解析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积18．【答案】（1）2()sin 22cos f x a x x =+Q ，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，f x Q （）为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin 20a x ∴=，0a ∴=（2）|14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，2asin 2cos 1124a ππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，a ∴=2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，()1f x =Q2sin 2116x π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2264x k πππ∴+=-+或522,64x k k Z πππ+=+∈5x k 24πππ∴=-+或 13x k ,k Z 24ππ=+∈ [,]x ππ∈-Q13x 24π∴=或19x 24π=或5x 24π=-或11x 24π=- 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数19．【答案】（1）由题意知，当30100x ＜＜时，1800()29040f x x x =+->，即2659000x x -+＞，解得20x ＜或45x ＞，∴45100x ∈（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x ＜≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x ＜＜时， 218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴24010()13585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，当032.5x ＜＜时，g x （）单调递减；当32.5100x ＜＜时，gx （）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】（1）由题意知求出()40f x >时x 的取值范围即可；（2）分段求出g x （）的解析式，判断g x （）的单调性，再说明其实际意义．【考点】分段函数的应用20．【答案】（1）由题意可知：设(,)B t ，则2BF t ==+， ∴2BF t =+；（2）(2,0)F ，2FQ =，3t =，则1FA =，AQ ∴=Q ∴，设OQ 的中点D ，3D ,22⎛ ⎝⎭，2K a 322-⋅==-PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=，解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP △的面积1723S == （3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=，直线QF 方程为216(2)8y y x y-=-， ∴2216483(82)84Q y y y y y --=-=，24838,4y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，且2lP 5⎛ ⎝⎭．【解析】（1）设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得AQP △的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线1PF FQk k ⋅=﹣，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系21．【答案】（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -…，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+剟，11111n n n a b a +++-+剟，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+剟，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a +-≤≤，求得i b ，1,2,3,4i =的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d ＞，0d =，20d -＜＜，2d ≤-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【考点】等差数列与等比数列的综合。

2018年上海市高考数学试卷（含解析版）

1 2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z 满足（1+i ）z=1﹣7i （i 是虚数单位），则，则||z |=．6．（4分）记等差数列分）记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且上的两个动点，且|||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列分）设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1（n ∈N *），前n 项和为Sn ．若=，则q=．11．（5分）已知常数a ＞0，函数f （x ）=的图象经过点P （p ，），Q （q ，）．若2p +q =36pq ，则a=．12．（5分）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）设P 是椭圆=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（和为（）A ．2B ．2C ．2D ．414．（5分）已知a ∈R ，则“a ＞1”是“＜1”的（的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A ．4B ．8C ．12D ．16 16．（5分）设D 是含数1的有限实数集，f （x ）是定义在D 上的函数，若f （x ）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（能取值只能是（）A ．B ．C ．D ．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；上的解．（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间在区间[[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．并说明其实际意义．20．（16分）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列分）给定无穷数列{{a n}，若无穷数列，都有||b n，若无穷数列{{b n}满足：对任意n∈N*，都有，则称{{b n}与{a n}“接近”．﹣a n|≤1，则称，判断数列{{b n}）设{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列（1）设是否与{{a n}接近，并说明理由；是否与（2）设数列是一个与{{a n}接近）设数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；满足：{{b n}与{a n}接近，的等差数列，若存在数列{{b n}满足：（3）已知）已知{{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）行列式的值为的值为 18 ．【考点】OM ：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；49：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为的渐近线方程为 ±．【考点】KC ：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，双曲线的几何意义，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为项的系数为 21 （结果用数值表示）．【考点】DA ：二项式定理．【专题】38：对应思想；4O ：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数．【解答】解：二项式（1+x ）7展开式的通项公式为 T r +1=•x r，令r=2，得展开式中x 2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R ：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O ：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3），由此能求出a ．【解答】解：∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）． f （x ）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3）， ∴log 2（1+a ）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查函数的性质等基础知识，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z 满足（1+i ）z=1﹣7i （i 是虚数单位），则，则||z |= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i ）z=1﹣7i ，得，则|z |=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列分）记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，利用等差数列通项公式列出方程组，求出求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【解答】解：∵等差数列解：∵等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14， ∴，解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】4U ：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查幂函数的性质等基础知识，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且上的两个动点，且|||=2，则的最小值为的最小值为 ﹣3 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出，从而得出||a ﹣b |=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得，将a=b +2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴；∴a=b +2，或b=a +2；且；∴；当a=b +2时，；∵b 2+2b ﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，克的事件总数，然后然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列分）设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1（n ∈N *），前n 项和为S n ．若=，则q= 3 ．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列解：等比数列{{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p +q=a 2pq ，由于：2p +q =36pq ，所以：a 2=36，由于a ＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为的最大值为 + ．【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且•=1×1×cos ∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y=1平行，可设AB ：x +y +t=0，（t ＞0），由圆心O 到直线AB 的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，以及圆的方程和运用，以及圆的方程和运用，考查点考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）设P 是椭圆=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（和为（）A ．2B ．2C ．2D ．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x 轴，a=，P 是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，椭圆的定义的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考是基本知识的考查．14．（5分）已知a ∈R ，则“a ＞1”是“＜1”的（的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a ＞1”⇒“”，“”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a ∈R ，则“a ＞1”⇒“”，“”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5O：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）能取值只能是（A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=asin2x +2cos 2x ．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （）=+1，求方程f （x ）=1﹣在区间在区间[[﹣π，π]上的解．【考点】GP ：两角和与差的三角函数；GS ：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R ：转化法；58：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f （x ）=asin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）=﹣asin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ），∴﹣asin2x +2cos 2x=asin2x +2cos 2x ， ∴2asin2x=0， ∴a=0；（2）∵f （）=+1，∴asin +2cos 2（）=a +1=+1，∴a=，∴f （x ）=sin2x +2cos 2x=sin2x +cos2x +1=2sin （2x +）+1，∵f （x ）=1﹣， ∴2sin （2x +）+1=1﹣，∴sin （2x +）=﹣，∴2x +=﹣+2kπ，或2x +=π+2kπ，k ∈Z ，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k ∈Z ，∵x ∈[﹣π，π]， ∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B ：分段函数的应用．【专题】12：应用题；33：函数思想；4C ：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时， f （x ）=2x +﹣90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x ＜100时， g （x ）=（2x +﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x +58；∴g （x ）=；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、解决解决问题的能力．20．（16分）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN ：直线与抛物线的综合．【专题】35：转化思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得||BF |；方法二：根据抛物线的定义，即可求得方法二：根据抛物线的定义，即可求得||BF |；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线k PF •k FQ =﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据+=，求得E 点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B （t ，2t ），则|BF |==t +2， ∴|BF |=t +2；方法二：由题意可知：设B （t ，2t ），由抛物线的性质可知：由抛物线的性质可知：||BF |=t +=t +2，∴，∴||BF |=t +2；（2）F （2，0），|FQ |=2，t=3，则，则||FA |=1，∴|AQ |=，∴Q （3，），设OQ 的中点D ，D （，）， k QF ==﹣，则直线PF 方程：y=﹣（x ﹣2），联立，整理得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP 的面积S=××=；（3）存在，设P （，y ），E （，m ），则k PF ==，k FQ =，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列分）给定无穷数列{{a n}，若无穷数列，若无穷数列{{b n}满足：对任意n∈N *，都有，都有||b n﹣a n|≤1，则称，则称{{b n}与{a n}“接近”．（1）设）设{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列，判断数列{{b n}是否与是否与{{a n}接近，并说明理由；（2）设数列）设数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知）已知{{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列的等差数列，若存在数列{{b n}满足：满足：{{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列）数列{{b n}与{a n}接近．理由：理由：{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N *，可得数列可得数列{{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列的等差数列，若存在数列{{b n}满足：满足：{{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则，则||b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N *，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意；④若d ≤﹣2，若存在数列，若存在数列{{b n }满足：满足：{{b n }与{a n }接近，即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n +1﹣1≤b n +1≤a n +1+1，可得b n +1﹣b n ≤a n +1+1﹣（a n ﹣1）=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。

2018年上海市高考数学试题答案(word、精校、详细解析版)

2018年上海市高考数学试题（详细解析版）1．解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．2．解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±3．解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．4．解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．5．解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．6．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．7．解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．9．解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．10．解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．11．解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：612．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2≤AB=1，即+的最大值为1，故答案为：1．13．解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．14．解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．15．解：根据正六边形的性质可得D1F1⊥A1F1，C1A1⊥A1F1，D1B1⊥A1B1，E1A1⊥A1B1，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，故有2×6=12，故选：C．16．解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．17．解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．18．解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．19．解（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．20．解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．21．解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．。

2018上海高考数学试卷含答案

2018上海一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为． 3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 (结果用数值表示)．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z |＝．6．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝． 11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝． 12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 214．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．1616．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A ． 3B ．32C ．33D ．0三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．18．设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．2018上海答案解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 18 ．【解答】行列式＝4×5－2×1＝18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为．【解答】因双曲线x 24－y 2＝1的a ＝2，b ＝1，焦点在x 轴上，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，故双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，故答案为：y ＝±12x 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 21 (结果用数值表示)．【解答】解：二项式(1＋x )7展开式的通项公式为T r ＋1＝•x r ，令r ＝2，得展开式中x 2的系数为＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ 7 ．【解答】因常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，故函数f (x )＝1og 2(x ＋a )的图象经过点(1，3)，故log 2(1＋a )＝3，解得a ＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z|＝ 5 ．【解答】由(1＋i)z ＝1－7i ，得z ＝－3－4i ，则|z |＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．(4分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ 14 ．【解答】因等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝0，a 6＋a 7＝14，故，解得a 1＝－4，d ＝2，故S 7＝7a 1＋21d ＝－28＋42＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝－1 ．【解答】因α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，故a 是奇数，且a ＜0，故a ＝－1．故答案为：－1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为－3 ．【解答】解：根据题意，设E (0，a )，F (0，b )；故|EF →|＝|a －b |＝2；故a ＝b ＋2，或b ＝a ＋2；且AE→＝(1，a )，BF →＝(－2，b )；故AE →·BF →＝－2＋ab ；当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)b ＝b 2＋2b －2；因b 2＋2b －2的最小值为－3；故AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF→的最小值为－3．故答案为：－3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：＝10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝15，故答案为：15．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ 3 ．【解答】等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N*)，可得a 1＝1，因为1lim +∞→n n n a S ＝12，所以数列的公比不是1，S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＋1＝q n ．可得＝＝＝1q －1＝12，可得q ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ 6 ．【解答】因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ，则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16①， f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6②，①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为．【解答】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，由x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，可得A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，且OA →·OB →＝1×1×cos ∠AOB ＝12，即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的几何意义为点A ，B 两点到直线x ＋y －1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x ＋y ＝1平行，可设AB ：x ＋y ＋t ＝0(t ＞0)，由圆心O 到直线AB 的距离d ＝22t ，可得22-12t ＝1，解得t ＝62，即有两平行线的距离为22(1＋62)＝12(2＋3)，即22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为2＋3，故答案为：2＋3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 2【解答】椭圆x 25＋y 23＝1的焦点坐标在x 轴，a ＝5，P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝25．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“1a ＜1”，“1a ＜1”⇒“a ＞1或a ＜0”，故“a ＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．16【解答】根据正六边形的性质，则D 1－A 1ABB 1，D 1－A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4＝8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选：D ．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A ． 3 B ．32 C ．33 D ．0【解答】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)＝3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x ＝0或者x ＝1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x ＝32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【解答】(1)因圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，故圆锥的体积V ＝13×π×r 2×h ＝13×π×22×23＝833π． (2)因PO ＝4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，故以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0，0，4)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，M (1，1，0)，O (0，0，0)，PM →＝(1，1，－4)，OB →＝(0，2，0)，设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则cos θ＝＝26．故θ＝arccos 26．故异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 26．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．(14分)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．【解答】(1)因f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ，故f (－x )＝－a sin2x ＋2cos 2x ，因f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，故－a sin2x ＋2cos 2x ＝a sin2x ＋2cos 2x ，故2a sin2x ＝0，故a ＝0；(2)因f (π4)＝3＋1，故a sin π2＋2cos 2(π4)＝a ＋1＝3＋1，故a ＝3，故f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，因f (x )＝1－2，故2sin(2x ＋π6)＋1＝1－2，故sin(2x ＋π6)＝－22，故2x ＋π6＝－π4＋2k π，或2x ＋π6＝5π4＋2k π，k ∈Z ，故x ＝－524π＋k π，或x ＝1324π＋k π，k ∈Z ，因x ∈[－π，π]，故x ＝1324π或x ＝1924π或x ＝－524π或x ＝－1124π．【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解答】(1)由题意知，当30＜x ＜100时，f (x )＝2x ＋－90＞40，即x 2－65x ＋900＞0，解得x ＜20或x ＞45，故x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x ≤30时，g (x )＝30•x %＋40(1－x %)＝40－x 10；当30＜x ＜100时，g (x )＝(2x ＋－90)•x %＋40(1－x %)＝－x ＋58；故g (x )＝；当0＜x ＜32．5时，g (x )单调递减；当32．5＜x ＜100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32．5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】(1)方法一：由题意可知：设B (t ，22t )，则|BF |＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2；方法二：由题意可知：设B (t ，22t )，由抛物线的性质可知：|BF |＝t ＋p 2＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； (2)F (2，0)，|FQ |＝2，t ＝3，则|F A |＝1，故|AQ |＝3，故Q (3，3)，设OQ 的中点D ，D (32，22)， k QF ＝－3，则直线PF 方程：y ＝－3(x －2)，代入联立y 2＝8x ，整理得：3x 2－20x ＋12＝0，解得：x ＝23，x ＝6(舍去)，故△AQ P 的面积S ＝12×3×73＝736； (3)存在，设P (18y 2，y )，E (18m 2，m )，则k PF ＝16-82y y ，k FQ ＝y y 8-162，直线QF 方程为y ＝y y 8-162(x －2)，故y Q ＝y y 43-482，Q (8，y y 43-482)，根据FP →＋FQ →＝FE →，则E (18y 2＋6，y y 4482+)，故(yy 4482+)2＝8(18y 2＋6)，解得：y 2＝165，故存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P (25，455)．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【解答】(1)数列{b n }与{a n }接近．理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，可得a n ＝12n －1，b n ＝a n ＋1＋1＝12n ＋1，则|b n －a n |＝|12n ＋1－12n －1|＝1－12n ＜1，n ∈N *，可得数列{b n }与{a n }接近； (2){b n }是一个与{a n }接近的数列，可得a n －1≤b n ≤a n ＋1，数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等，集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，可得a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①若d ＞0，取b n ＝a n ，可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；②若d ＝0，取b n ＝a 1－1n ，则|b n －a n |＝|a 1－1n －a 1|＝1n ＜1，n ∈N *，可得b n ＋1－b n ＝1n －1n ＋1＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；③若－2＜d ＜0，可令b 2n －1＝a 2n －1－1，b 2n ＝a 2n ＋1，则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤－2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n－1≤b n≤a n＋1，a n＋1－1≤b n＋1≤a n＋＋1，可得b n＋1－b n≤a n＋1＋1－(a n－1)＝2＋d≤0，b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符1合题意．综上可得，d的范围是(－2，＋∞)．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。