第11章 压杆稳定

用应力表示的压杆稳定性条件
25

cr
nst
st
第四节
3. 折减系数法
压杆稳定条件与合理设计
st
稳定条件为：
st 为稳定许用压应力
为许用压应力
1, 称为稳定系数或折减系数

其中：
4. 压杆的合理设计
Fcr n nst F
1500
500
P D
30
B
解：分析杆AB 的受力 M C 0 P 2 FAB sin 30 1.5 0
A
1500 500
P D
FAB
杆AB 的惯性半径：
8 P 3
C
30
B
FAB
杆AB 的长度：
i
I D d 64 2 4 A (D d 2 )
2

384l 2
2 Eh 4
b h z h
y
14
例3：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若 将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的＿＿＿＿＿； 1 / 16 若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为 原压杆的＿＿＿＿＿。 /3
解： （1）
2E I Fcr 2 ( l )
3
代入欧拉公式，有
Fcr
2 EI y
l2
81.3 103 N 81.3kN
若使连杆压缩屈服，则轴力为：
Fs A s 0.04 0.03 235 106 282kN
说明压杆的承压能力还是由稳定性决定的。
10
第二节
临界载荷的欧拉公式
二、其他支座条件下细长压杆的临界载荷
11
第二节
Fcr
临界载荷的欧拉公式
三、欧拉临界压力公式的普遍形式 2 EI l : 相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）
( l )
2
: —— 长度系数，与约束性质有关。
1
0.7
0.5
2
12
第二节
临界载荷的欧拉公式
动画：细长压杆失稳
13
例2：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？ 解：
对图（b）
2a
2 EI
2
P 1
2 EI
2 2a 2
(a)
类似于图（a）的分析，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得： 杆AB、BD受压
FAB FBD P2
由欧拉公式，得
FAB FBD
比较得
2 EI
a
2
P2
2 EI
a2
(b)
P2 P 1
17
作 P341
业
11-3，11-5
18
第三节
(D d )
4 4
2
l AB
1500 1730mm cos 30
杆AB 的柔度：
4
502 402 16mm 4
11.73 108 p i 0.016
杆AB 为大柔度杆(细长杆)
29
l
例5：图示托架，AB 杆外径 D=50mm，内径
d=40mm，两端为球铰，材料为Q235钢， C E=206MPa，λp=100，稳定安全系数nst=3，试 确定托架的许可载荷P。
2 E I正
2E
d4
为原压杆的
2 2
64 ( l) 2
1 16
（2）
Fcr 正 Fcr 圆

( l) 2
E I圆
2

I正 I圆
( l) 2
d 4 4 a 124 124 d d 64 64
3
15
例4：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1
9
例1：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm， l =1.5m，材料为Q235钢，σs=235MPa, E=206GPa，试按欧拉 公式计算其临界压力。 解：由于两端铰支压杆，各个方向约束相同， 故必在最小刚度平面内失稳。
由截面形状可知：
I min
bh 9 104 mm 4 9 108 m 4 Iy 12
30
Fcr FAB nst
Fcr 8 P 3 nst
3 Fcr P 8 nst
例6：五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，
如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
解：对于(a) 杆BD受压，其余杆受拉
二、 弹性细长受压直杆的稳定性
动画：两端铰接细长杆
3
第一节 稳定性的概念
使杆件保持稳 定平衡状态的 最大压力 ——临界载荷 （1）当轴向力P 较小时，其平衡形态为直线。 一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直 线平衡状态。
Fcr
细长压杆失稳 时的应力一般 都小于强度破 坏时的应力。
此时，原来的直线平衡状态是稳定的
24
第四节
压杆稳定条件与合理设计
1. 压杆的临界载荷计算 2 EI 对大柔度杆： Fcr ( l )2 对中柔度杆： Fcr cr A (a b ) A 2. 压杆的稳定性条件
Fcr F Fst nst
称为压杆的稳定性条件
nst 为压杆的稳定安全系数
Fst 为压杆的稳定许用压力
材料和直 径均相同
中、小柔度的临界应力
问 题 的 提 出
能不能应用 欧拉公式计算 四根压杆的临 界载荷？
四根压杆是 不是都会发生 弹性屈曲？
19
第三节
中、小柔度的临界应力
一、临界应力、柔度或细长比 Fcr 2 EI 临界应力： cr A( l ) 2 A
将I 用截面的惯性半径 i 表示：
Fcr
hb 3 2 2E EI y 2 Eh4 12 Fcr 1 2 384l 2 2l 2 2l hh 3 2 2E 2 Eh4 EI 12 Fcr 2 2 48l 2 2l 2 2l
Fcr 2 48l 2 2 4 8 Fcr 1 Eh
第一节 稳定性的概念
三、 工程中常见的压杆
动画：连杆失稳
5
第一节 稳定性的概念
三、 工程中常见的压杆
6
第一节 稳定性的概念
三、 工程中常见的压杆
7
第二节
M ( x) Fw
临界载荷的欧拉公式
y
O
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
将其代入挠曲线近似微分方程：
w
x l M
x
d2w Fw 2 dx EI 引入记号： k 2 F / EI
I i A
2
2 Ei 2 A 2E cr 2 2 A( l ) l
i
令

l
i
2E cr 2
欧拉临界应力公式
称为压杆的柔度或细长比， 无量纲量
反映杆端约束情况、杆长、截面形状和 尺寸等因素对临界应力的影响
20
第三节
中、小柔度的临界应力
F
y
w
x
F
d w 2 k w0 2 dx
此方程的通解：
2
w A sin kx B cos kx
边界条件：当x 0时, w 0
B0
kl n , n 0,1,2, 又k 2 F / EI k n / l n 2 2 EI
F
8 (n 0,1,2,)
A sin kl 0
中、小柔度的临界应力
时，采用经验公式计算临界应力 合金钢，铸铁与松木等材料 其中：a 、b 为与材料有关的常数。 —— 塑性材料
三、临界应力的经验公式
cr a b
适用范围：
s p cr a b b
a s ( b ) 0 b
—— 脆性材料
w A sin kx
——挠曲线是一条正弦曲线
l2
第二节
临界载荷的欧拉公式
y
O
两端铰支细长压杆的临界载荷 Fcr的计算公式
w
x l
x
Fcr
说明：
2 EI —— 两端铰支压
l2
杆的欧拉公式。
F
( 1 ) Fcr与 EI 成正比，与杆长 l 成反比； ( 2 ) 如果截面对于不同轴的惯性矩 I 不同，确定临界压力需根 据最小惯性矩 Imin 计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平 面内； ( 3 ) Fcr与 杆件的支承条件有关。
A l i I
l
a 在同样的截面面积情况下，增大截面惯性矩 I 的值，如：
27
第四节
压杆稳定条件与合理设计
Iy Iz
b 在选择截面形状与尺寸时, 还要考虑失稳的方向性. 压杆两端为球形铰或固定端时，尽量选择截面
压杆两端柱状铰时，一般 I y I z .此时，理想的设计是使压杆 在两个方向的柔度相等，即：
直线公式的适用范围：
p 0
称中柔度杆或中长杆
22
第三节
若
中、小柔度的临界应力
s cr b
0
称为小柔度杆或短粗杆。
此时压杆一般不发生失稳，其 破坏大多由强度不够引起： 2、抛物线公式
cr a1 b1
2
(0 p )
其中：a1 、b1 为与材料有关的常数。 结构钢，低合金钢等材料
1500
500
P D
30
B
Fcr

2 EI
l
2 AB
A
1500
2
500
P D
2 206 109 (504 404 ) 1012
1.73
3
C
30
B
121.54 10 N
FAB
杆AB 的稳定性条件：
3 121.54 103 3 P 15.2 10 N 15.2kN 8 3
（2）当轴向力P 较大时，如有一微小的侧向干 扰力，压杆产生弯曲变形；
当侧向力去掉后，杆不能回到原来的直线 平衡状态。而是处于曲线平衡状态。
研究压杆稳 定性的关键 是确定临界 载荷。
此时，原来的直线平衡状态是不稳定的 失稳（曲屈） 稳定的平衡
( P Fcr )
不稳定的平衡
( P Fcr )
4
EI Fcr ( l )2
2
影响压杆稳定性因素： （1）材料的性能； （2）横截面的形状； （4）压杆的长度。
26
（3）约束条件；
第四节
压杆稳定条件与合理设计
( 1 ) 合理选择压杆的材料 a 对大柔度杆，临界压力与材料的弹性模量E有关，而不同金 属 E 相差不大，故选择优质钢材对提高稳定意义不大; b 对中柔度杆，临界压力与材料的强度有关，故选择高强度 优质钢材对提高稳定具有一定意义。 ( 2 ) 选择合理的截面形状
l z l y
Iz A Iy A
或
l z l y
Iz Iy
( 3 ) 改变压杆的约束条件
一般地，增强压杆的约束，可大大提高压杆的稳定性。 ( 4 ) 改变压杆的长度
28
例5：图示托架，AB 杆外径 D=50mm，内径
d=40mm，两端为球铰，材料为Q235钢， C E=206MPa，λp=100，稳定安全系数nst=3，试 确定托架的许可载荷P。
2E p
二、 欧拉公式的适用范围
2E cr 2 p
即：
2E 记： p p
欧拉公式的适用范围为：
p
满足此式的压杆，称为大柔度杆或细长杆。
p仅与材料的性质有关，如，Q235钢：
E p 100 p
2
21
第三节
当柔度小于 1、直线公式
FBD
P 1
FAC
x
A
FAC P （受拉） 1

y
FAD 2P （受压） 1
节点D：
FAD FAD

x
D
F
x
0 FCD FAD cos 0
(b) y
16
FCD P （受拉） 1
FCD
FD
对图（a）中受压杆件作稳定性分析 杆AD：
FAD 2P 1
（受压）
FAD 2P 1
和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
解：对图（a）， 先分析各杆的内力 节点B： FAB 0 FBD 0
节点A：
FAB
B
(a)
F F
x y
0 P FAD sin 0 1 0 FAC FAD cos 0
第十一章 压杆稳定问题
中国民航大学
2012年12月21日
1
第十一章 压杆稳定问题
第一节 稳定性的概念
第二节 临界载荷的欧拉公式
第三节 中、小柔度杆的临界应力
第四节 压杆稳定条件与合理设计
2
第一节 稳定性的概念
一、稳定性概念
稳定性：承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力。
稳定的平衡
不稳定的平衡
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第三节
四、临界应力总图
中、小柔度的临界应力
cr cr s
2E p p
a s 0 b
抛物线公式
s
A
B
cr a b
C
p
小柔 度杆 O
2E cr 2
D
中柔度杆
大柔度杆
0
p

cr a1 b1 2

p