初一七年级数学 4.2黄金分割
4.2黄金分割(公开课) 完整版课件PPT
观察 欣赏
应用 黄金分割
你知道芭蕾舞演员跳 舞时为什么要掂起脚 尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
∵ AC2 BC• AB ∴C点为AB的黄金分割点
∴BC= 15 5 5
试一试
应用 黄金分割
利用黄金分割求值：
问题3
A
B
DC
把窗台看成线段AB，现把原放置在窗台上点A处的一 盆花，移到该线段的黄金分割点上，若AB=2a米，试 计算这盆花移动后应离A点几米？
注意：一条线段有两个黄金分割点 分两种情况：
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
或
AC2=AB ∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section), 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
思考：黄金比是多少?
议一议
领悟 黄金分割
说一说
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取 3、在ABD上E截=D取BAC=AE.
根据上述作图点C是线段AB的黄金分割点吗？
试一试
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取
E
D
∟
A
CB
3、在ABD上E截=D取BAC=AE.
4.2黄金分割
BC AC
A
黄 金 分 割 在 艺 术
世界艺术珍品——维纳 世界艺术珍品——维纳 —— 斯女神，她是西元前一 百多年希腊雕塑鼎 百多年希腊雕塑鼎盛时 期的代表作，她的上半 期的代表作， 身和下半身的比值接近 身和下半身的比值接近 0.618. 0.618.这样的身体给人的感觉
就是非常的匀称，充满着美感 就是非常的匀称，充满着美感.
答： BD = 1, AD = 5 (1) AC = 5 − 1, BC = 3 − 5
(2)点C是AB的黄金分割点。 点 是 的黄金分割点 的黄金分割点。 因为通过计算可以发现： 因为通过计算可以发现：
AC BC 5 −1 = = AB AC 2
一条线段有两个黄金分割点。 一条线段有两个黄金分割点。
黄金比： AC : AB = 5 −1 : 1 ≈ 0 . 618 2
B
从形式上理解：成比例线段的形式。 从形式上理解：成比例线段的形式。较长线段 = 较短线段 原长线段 较长线段
5 −1 从比值上理解： 从比值上理解：黄金比 即较长线段 = ⋅ 原线段 2
≈ 0.618 ⋅原线段
B
C
AC AB
=
黄 金 分 割 在 艺 术 上 的 应 用
通过下面两幅图片可以 看出来，蒙娜丽莎的头 看出来，蒙娜丽莎的头 和两肩在整幅画面中都 和两肩在整幅画面中都 处于完美的体现了黄金 处于完美的体现了黄金 分割， 分割，使得这幅油画看 起来是那么的和谐和完 美.
黄 金 分 割 在 摄 影 在用相机拍摄照片时，往往把主要景色放在黄金分割点上。 在用相机拍摄照片时，往往把主要景色放在黄金分割点上。
八年级数学（下）第四章 相似图形
4.2黄金分割 4.2黄金分割
黄金分割公式和计算
黄金分割公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个相当有趣又神秘的数学概念呢！咱们先来讲讲黄金分割到底是啥。
简单说，就是把一条线段分成两部分，较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比值约等于 0.618，这就是神奇的黄金分割比例。
那黄金分割公式是怎么来的呢？假设整条线段的长度是 a，较长部分的长度是 x，较短部分的长度就是 a - x 。
按照黄金分割的定义，就有 x / a = (a - x) / x 。
经过一番推导和计算，就能得出黄金分割的公式啦。
给您举个例子哈，比如说有一个长方形，咱想让它看起来符合黄金分割的美感。
假设这个长方形的长是 a，宽是 b ，要是满足 b / a =0.618 ，那这个长方形看起来就会特别舒服、顺眼。
我记得有一次去参观一个艺术展览，里面有好多画作和雕塑。
其中有一幅画，它的构图就巧妙地运用了黄金分割。
画面中主体部分的位置和大小，与整个画面的比例刚好接近黄金分割比例。
当时我就站在那幅画前，仔仔细细地观察，越看越觉得那种比例的安排简直太妙了。
整幅画的重心恰到好处，元素的分布既平衡又富有动感，让人的视线不自觉地就被吸引住，而且停留很久都不觉得腻。
再来说说在建筑中的黄金分割。
有些著名的建筑，比如古希腊的帕特农神庙，它的很多尺寸比例都接近黄金分割。
还有巴黎的埃菲尔铁塔，从某些角度去看，它的结构比例也蕴含着黄金分割的奥秘。
咱们在日常生活中也能发现黄金分割的影子。
比如拍照的时候，把主要的景物放在画面大约 0.618 的位置，拍出来的照片往往会更好看。
计算黄金分割也不难。
如果已知线段的长度是 10 厘米，要求出黄金分割点的位置，那就可以设较长部分的长度是 x 厘米，根据公式就有 x / 10 = (10 - x) / x ，通过解方程就能算出 x 的值啦。
总之，黄金分割这个概念虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，而且通过简单的公式和计算，咱们就能发现和运用它带来的美妙和神奇。
北师大版4.2_黄金分割课件
黄金身材比例
人 体肚 脐 不 但是 黄 金 点美 化身型，有时还是医疗效果黄 金点，许多民间名医在肚脐上 贴药治好了某些疾病。人体最 感舒适的温度是23℃(体温)， 也是正常人体温（37℃）的黄 金点（23=37×0.618）。这说 明医学与0.618有千丝万缕联系 ,尚待开拓研究。人体还有几个 黄金点：肚脐上部分的黄金点 在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘 关节。上肢与下肢长文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。 但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
读一读
耐人寻味的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地 大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的 极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰 好在此纬度上。这不免让人联想起许多与 北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀 水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山， 吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金 分割的纬度上。
正五角星形,有庄严雄健之美.
A
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
实际 应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金 比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时 室内温度调到什么温度最适合。 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾 舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米， 下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来 更美呢？
初中数学知识点精讲精析 黄金分割
4·2黄金分割1.（即AC 2＝BC ·AB ），那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2. 黄金分割的尺规作图法：如图：已知线段AB（2）连结AD ，在DA 上取DE ＝DB （3）在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点3.实际应用①、“黄金三角形”：顶角为︒36的等腰三角形,作底角B 的平分线BD,则D 就是AC 边上的黄金分割点.②、“黄金矩形”：矩形的宽与长的比等于黄金数.1.已知：如图,AB=1,AC=215-. 求证：BC AB AC ⋅=2 黄金分割：点把线段分成两条线段和（），如果C AB AC BC AC >BC AC AB BC AC =黄金比为：：512106181-≈.（）经过点作，使1B BD AB BD =12⊥AB A BC【解析】∵AB=1,AC=215-, ∴BC=1－AC=1－253215-=-. ∵22)215(-=AC =253-,BC AB ⨯=1×253253-=-, ∴BC AB AC ⨯=22.的值.【解析】∵点C 是线段AB 的黄金分割点3. 已知线段BC 求作点A ，使点A 将BC 黄金分割.∴点A 即为所求. 已知点是线段的黄金分割点，且，若＝，求、C AB AC >BC AC 3cm AB BC AB∴=-AC AB 512∴-=()512AB AC AB cm =⨯-=+23513532()BC AB AB AC AB AC AB =-=-=--=-11512352。
初中黄金分割比的准确值
初中黄金分割比的准确值一、引言黄金分割比是一种常见的数学比例关系，它在自然界和人类生活中有着广泛的应用。
在初中数学中，黄金分割比是一个重要的知识点，但教材中通常只给出其近似值，而没有给出准确值。
本文将介绍黄金分割比的准确值及其在初中数学中的应用。
二、黄金分割比的定义黄金分割比是指一个线段被分割成两个部分，使得较长线段与原线段的比等于较短线段与较长线段的比，这个比值称为黄金分割比。
通常表示为φ（斐波那契数列的第二项），其近似值为1.618034。
三、黄金分割比的发现和应用黄金分割比的发现可以追溯到古希腊时期，当时哲学家和数学家毕达哥拉斯学派研究了音乐、建筑、艺术等领域中的比例关系，发现了黄金分割比具有特殊的美学意义。
如今，黄金分割比在各个领域都有着广泛的应用，如建筑设计、摄影构图、音乐创作、股票市场分析等。
四、黄金分割比的近似值在初中数学教材中，黄金分割比的近似值通常是用根号形式表示的，即：$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$这个公式可以用来计算黄金分割比的近似值，其精度已经足够满足大多数初中数学应用的需求。
然而，对于需要更高精度的情况，可以使用更复杂的公式来计算黄金分割比的准确值。
五、黄金分割比在初中的应用在初中数学中，黄金分割比的应用主要体现在以下两个方面：1.平面几何：在平面几何中，黄金分割比可以用于解决一些与比例和相似图形相关的问题。
例如，在解决与矩形、平行四边形、三角形等有关的面积问题时，可以利用黄金分割比来寻找解题思路。
2.代数方程：在初中代数中，一些方程可以通过黄金分割比进行求解。
例如，一些一元二次方程的解可以用黄金分割比来表示。
此外，在解一些复杂分数方程时，也可以利用黄金分割比来简化计算过程。
六、如何记忆黄金分割比的近似值记忆黄金分割比的近似值可以采用以下几种方法：1.口诀法：可以将近似值编成口诀进行记忆，如“一分为二，根号加一，结果记住”。
这种方法可以帮助学生在短时间内记住近似值。
黄金分割知识总结
黄金分割知识总结
黄金分割是一个数学术语，它是指将一个线段分成两部分，使得其中一部分与原线段的比例等于另一部分与这部分的比例。
这个比例被认为是最美的比例之一，因此在艺术、建筑、设计等领域中得到了广泛的应用。
黄金分割的数学表达式为：较长线段是较短线段与原线段的比例中项。
在黄金分割中，较长线段和较短线段的长度可以通过以下公式计算：
较长线段= (√5 + 1) / 2 * 原线段
较短线段= 原线段- 较长线段
黄金分割在数学中有很多有趣的性质和应用。
它与斐波那契数列有着密切的联系，因为斐波那契数列中的任何一个数字都可以表示为前两个数字之和。
斐波那契数列在自然界中也有很多奇妙的应用，例如植物的花瓣排列和动物的生长周期等。
此外，黄金分割还被广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。
例如，在建筑中，黄金分割被用来确定窗户、门和建筑物线条的位置和大小，以使建筑物看起来更加协调和美观。
在绘画和摄影中，黄金分割也被用来确定构图和画面布局的最佳位置。
总之，黄金分割是一个非常有趣和有用的数学概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还在艺术、建筑和设计等领域中发挥着重要的作用。
黄金分割的计算方法
黄金分割的计算方法嘿，咱今儿个就来讲讲这黄金分割的计算方法！这黄金分割啊，那可真是个神奇又美妙的东西呢！你想想看，这世界上好多美好的东西都和它有点关系。
就好比那漂亮的建筑，为啥看着就那么舒服，那么协调呀，说不定就有黄金分割在里面捣鼓呢！还有那些让人惊叹的艺术作品，那构图，那比例，是不是有时候就让你觉得妙不可言呀，嘿嘿，也许黄金分割在其中出了不少力呢！那怎么算这黄金分割呢？其实也不难。
咱就先找一段线段，然后把它分成两部分，让长的那部分和整个线段的比，等于短的那部分和长的那部分的比，这就是黄金分割啦！听着有点绕是不是？别急，咱慢慢来。
比如说，有一条线段 AB，咱要在上面找一个点 C，让 AC 是长的那段，BC 是短的那段。
那这个比例呢，就大概是 0.618 左右。
你说神奇不神奇？就这么一个数字，就能让整个线段变得特别好看，特别和谐。
你可能会问了，那怎么找到这个点呀？这就得动点小脑筋啦。
咱可以用数学公式来算嘛。
假设线段 AB 的长度是 1，那 AC 的长度就是0.618，BC 的长度就是 1-0.618=0.382。
然后呢，咱就可以根据这个比例在实际的线段上找出来啦。
哎呀呀，你说这黄金分割是不是特别有意思呀？它就像一个隐藏在各种事物背后的小魔法，让一切都变得更有魅力了呢！你再想想看，咱们的人体其实也有黄金分割呢！比如说脸的长度和宽度，要是符合黄金分割比例，那看起来就会特别好看。
还有咱们的身材比例，要是腿长和身高也符合黄金分割，那走在路上，得多吸引人眼球呀！算黄金分割不只是好玩，它在好多地方都有用呢！搞设计的人得知道它吧，不然怎么设计出好看的东西来呢？艺术家也得了解它吧，不然怎么画出让人惊艳的作品呀？就连咱普通人，了解了解黄金分割，也能让咱更会欣赏这个世界的美呢！所以呀，可别小看了这黄金分割的计算方法，它能带给咱的可多了去了呢！你学会了吗？赶紧去试试找找身边的黄金分割吧！。
黄金分割点比例公式初中
黄金分割点比例公式初中初三数学黄金分割公式：b2=a（a-b）=a2-ab；（√5-1）÷2。
公式中a为线段AB的长度，C点在靠近B点的黄金分割点上，b为AC的长度，b与a的比值就是黄金分割。
黄金分割线是一种古老的数学方法，黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618。
黄金分割点AB÷a=a÷b=1.618拓展资料：1.条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数。
2.这个分割点就叫做黄金分割点，通常用Φ表示。
这是一个十分有趣的数字，以0.618来近似表示。
3.黄金分割点美学价值：因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。
4.舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
5.就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
6.正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
7.黄金分割有着很多的应用。
如：最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618；最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。
(公开课)4.2黄金分割课件
一副成功的摄影作品，构图非常重要。而在摄影中最常 用的一种构图方法就是“三分法”(又称井字形分割法） 其中隐藏着一个数学的秘密,其基本规律是在黄
金分割基础上演变而来的。
。
扇子中的黄金分割
炎炎夏日，最环保的方法， 是用扇子扇走暑气. 从数学的观点，我们应用黄 金比例(0.618)来设计一把张 开角Ａ１为137.5 度的纸扇才 会最富美感.
大自然的魅力
建筑与黄金分割
古埃及胡夫金字塔 古希腊巴台农神庙
文明古国埃及的金字塔， 形似方锥，大小各异。 但这些金字塔底面的边长 与高这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在 建筑时高和宽也是按黄 金比0.618来建立，他 们认为这样的长方形看 来是较美观；其大理石 柱廓，就是根据黄金分 割律分割整个神庙的.
宽
2
黄 金 分 割
• 学无止境
• 没有最好,只有更 好
P113
习题 4.3
1、2.
P113
3、4题
填空:
（1）已知线段AB=2cm,点C是线段AB的黄金分割点，
则AC=
5 1 或 3 5 。
(2)一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然 得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站 在A处，则它应至少再走 (30–10 5)米才最理想。
(3)已知线段AB=a，在线段AB上有一点C， 若AC= 3 5 则点C是线段AB的黄金分割 点 a 2
学而不思则罔 回 头 一 看 ， 我 想 说 …
我有哪些收获呢？ 与大家共分享！
全
知识回顾
A
长 C 短
B
AC
BC = AB AC
长 = 短 = 5 1 １.黄金分割比的定义: 全 长 2 2.黄金分割比的画法
黄金分割初中数学课件
在直角三角形中，如果斜边和一条直角边的比例符合黄金分割，那么另一条直角边将满 足勾股定理，从而形成一个完美的直角三角形。
黄金分割与无理数
总结词
黄金分割与无理数之间存在关联，无理数π 在黄金分割中扮演着重要的角色。
详细描述
黄金分割的比值可以用无理数π来表示，这 表明黄金分割与圆周、弧度等概念密切相关 ，进一步展示了黄金分割在几何学中的重要 地位。
练习题三：探究黄金分割的数学奥秘
总结词
深入探究黄金分割的数学性质和证明方法
详细描述
通过数学推导和证明，探究黄金分割的数学性质和证明 方法，理解其在几何学中的重要地位和作用，提高数学 思维和推理能力。
THANKS
感谢观看
详细描述
在生活中寻找具有黄金分割特征的实例，如 建筑设计、艺术作品、自然景观等，通过观 察和测量，理解黄金分割的美学价值和实际
应用。
练习题二：利用黄金分割创作图案
要点一
总结词
要点二
详细描述
运用黄金分割原理设计图案，培养创造力和审美能力
根据黄金分割原理，设计具有美感的图案或几何图形，可 以使用绘图工具或软件进行创作，通过实践进一步理解黄 金分割的原理和应用。
黄金分割的线段实例
例如，在等腰三角形中，底边上的高将底边分为两段，较长的一段与腰的比值等于较短的一段与高的比值，这就 是黄金分割在三角形中的应用。
黄金分割与矩形
黄金分割与矩形
黄金分割也可以应用于矩形中。一个 矩形如果满足长边和短边的比值为 1.618，则被称为黄金矩形。
黄金矩形的应用
在建筑、艺术和设计等领域中，黄金 矩形被广泛运用，因为它具有视觉上 的美感。例如，许多名画和建筑都采 用了黄金分割的比例来构图和设计。
黄金分割的公式和计算
黄金分割的公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个挺有趣的数学概念。
咱们先来讲讲黄金分割的公式。
简单来说，黄金分割点是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
这个比值约为 0.618 。
如果设线段的全长为 1 ，较长段为 x ，那公式就是：x / 1 = ( 1 - x ) / x ，通过解方程就能得到 x 约等于 0.618 。
那在实际计算中怎么用呢？我给您举个例子哈。
比如说，有一幅画，您想把它的上下比例弄得好看，符合黄金分割。
假设这画的高度是 100 厘米，那按照黄金分割，上面部分大约就是 38.2 厘米，下面部分大约就是 61.8 厘米，这样看起来就会更舒服、更美观。
再比如说，建筑师在设计建筑的时候，也会用到黄金分割。
像有些高楼大厦，从整体的外观比例，到窗户的分布，都可能藏着黄金分割的影子。
我之前去参观过一个新建成的图书馆，那建筑的外观比例简直绝了。
从远处看，整个大楼的高度和宽度之间，就像是被一只神奇的手按照黄金分割的比例塑造出来的。
走近一看，每一层楼窗户的分布，还有大门和整个建筑立面的比例，都有着黄金分割的韵味。
当时我就感叹，这设计师真是把黄金分割运用得炉火纯青，让这栋建筑不仅仅是一个实用的场所，更是一件精美的艺术品。
还有啊，在摄影中也能用到黄金分割。
您拍照的时候，如果把主体放在画面大约 0.618 的位置，照片往往会更有吸引力。
有一次我和朋友出去旅游，看到一处特别美的风景，我就想拍下来。
一开始怎么拍都觉得差点意思，后来我突然想到黄金分割，调整了拍摄的构图，把那最吸引人的部分放在了画面的黄金分割点上，哇，拍出来的效果就是不一样，朋友看了都赞不绝口。
在日常生活中，咱们的衣服设计、家具的尺寸比例等等，都可能会用到黄金分割。
就连一些音乐的节奏和旋律，有时候也会遵循黄金分割的规律，给人一种特别和谐、美妙的感觉。
所以说啊，黄金分割这东西，虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，影响着咱们生活的方方面面。
4.2黄金分割
$4.2黄金分割目标导航：⒈知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比：⒉会找一条线段的黄金分割点。
⒊加深理解与掌握线段的比、成比例线段等有关知识。
学法指导：线段的黄金分割是成比例线段具体应用的一个典型例子，学习本节知识，首先要弄清线段黄金分割的意义，在此基础上通过动手操作，会将线段黄金分割。
新知探究：㈠、黄金分割的定义：1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ，计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与ACBC 的值相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。
⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。
2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则ABAC = 。
㈡、确定黄金分割点：1、如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.2、想一想问题：⑴如果设AB=1，则BD= ，AD= ，AC= ，BC= 。
⑵点C 是线段AB 的黄金分割点吗？你知道为什么吗？㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。
【绿色通道】 黄金分割是一种特殊的分割线段的方法，分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，知道其中一条线段的长度，可以求出另外两条线段的长度；一条线段有两个黄金分割点。
课堂消化诊测：⒈已知线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= 。
⒉已知如图，AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD2=BD ·AB ，求ACCD 的值。
黄金分割的正确计算方法
黄金分割的正确计算方法
黄金分割是一种美学比例，也是一种数学比例，它是指一条线段分为两部分，使整条线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比。
黄金分割比例被广泛运用在建筑、绘画、雕塑等艺术领域，被认为是最具美感的比例之一。
在数学中，黄金分割比例被表示为Φ（phi），其值约为1.618。
黄金分割的正确计算方法可以通过以下步骤进行：
1. 设定问题，首先，我们需要明确需要计算黄金分割的线段长度，例如线段AB的长度为x。
2. 建立等式，根据黄金分割的定义，我们可以建立如下等式，(x-a)/a = a/x，其中a为较短部分的长度。
3. 解方程，将等式进行变形，得到x^2 ax a^2 = 0。
然后，我们可以使用一元二次方程的求根公式来解这个方程，得到x = (1+√5)a/2 或 x = (1-√5)a/2。
4. 计算结果，根据上述公式，我们可以计算出黄金分割的两个部分的长度。
需要注意的是，黄金分割比例是一个无理数，无法用有限的小数表示，因此在实际计算中，我们可以采用近似值来进行计算。
通常情况下，我们可以取Φ的近似值1.618进行计算。
除了通过数学方法计算黄金分割外，我们还可以通过绘图的方式来构造黄金分割。
通过绘制正方形和正三角形，我们可以很容易地构造出黄金分割比例。
总之，黄金分割是一种重要的美学比例和数学比例，它在艺术和设计中具有广泛的应用。
掌握黄金分割的正确计算方法，可以帮助我们更好地理解和运用这一比例，从而创作出更具美感和和谐的作品。
黄金分割初中数学名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
三 发明美
E
D
∟
如图,已知线段AB,DB⊥AB A C B 于B,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE,
(1)若AB=2,BD=1,则AD=__5__,AC=__5___1_,
AC AB
5 2
1
则C是线段AB旳_黄__金__分__割_点.
(2)若AB=2a,BD=a 则C点呢? AC
若ABBD __12__A_B 则C即为AB旳黄金分割点.
MP
(1)可得百分比式MN
__P_N___,MP MP NP
MN _M_P___ .
(2)若MN=1,则MP≈_0_._6_1_8,NP≈_0_._3_8_2.
(3)若MN=5,则MP≈__3_._0_9_,NP≈__1_._9_1_.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4)若MN=a,则MP≈0_._6_1_8_a_,NP≈_0_._3_8_2_a.
六 留住美
谈谈你对黄金分割旳收获与体会。
1.一条线段，一种矩形 2.两个分点，两个数字 3.三个等量，三步作出线段旳黄金分
割点
4.美中有数学，数学中有美
七 延伸美
科学研究表白,当人旳下肢长与身高 之比为0.618时,看起来最美.某成年女 士身高为153cm,下肢长为92cm,她旳高 跟鞋鞋跟最佳高度约为______cm(成果 精确到0.1cm).
找一找：画中有几种 黄金矩形？
叶子中旳黄金分割
图中主叶 脉与叶柄 和主叶脉 旳长度之 和比约为 0.618
漂亮旳蝴蝶
0.618随处 可见!
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化 身型，有时还是医疗效果黄金点， 许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适旳温 度是23℃(体温)，也是正常人体 温（37℃）旳黄金点 （23=37×0.618）。这阐明医 学与0.618有千丝万缕联络,尚待 开拓研究。人体还有几种黄金点： 肚脐上部分旳黄金点在咽喉，肚 脐下列部分旳黄金点在膝盖，上 肢旳黄金点在肘关节。上肢与下 肢长度之比均近似0.618.
黄金分割及答案
黄金分割（一）、主要知识点： 1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比过程。
设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 . 注意：（1）一条线段有2个黄金分割点。
（2）较长线段较短线段原线段较长线段黄金比==（3）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形 （4）黄金分割点把线段分成一长一短，则较长线段较短线段原线段较长线段=，即：点C 是线段AB 的黄金分割点：①若AC>BC,则ACBCAB AC = ；②若AC<BC,则BCACAB BC = . 2．如何作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.作图原理：可设AB=1,，则BD=21,则由勾股定理可知25=AD .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。
3.比例的基本性质：如果a b cd =,那么ad=bc ，逆命题也成立。
4.合比性质：如果a b c d =，那么a b b c d d +=+；如果a b c d =，那么a b b c dd -=-。
5.等比性质：如果a b c d ==……=mn（b ＋d ＋……＋n ≠0）；那么，a c m b d n ab ++++++=（二）、典型习题： 一、选择题1．等边三角形的一边与这边上的高的比是_________． A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶3 D ．1∶32．下列各组中的四条线段成比例的是_________． A ．a =2，b =3，c =2，d =3 B ．a =4，b =6，c =5，d =10 C ．a =2，b =5，c =23，d =15 D ．a =2，b =3，c =4，d =13．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是_________． A ．a ∶d =c ∶b B ．a ∶b =c ∶dC ．d ∶a =b ∶cD ．a ∶c =d ∶b4．若ac =bd ，则下列各式一定成立的是_________．A ．d c b a =B ．c c b d d a +=+C ．c d b a =22D ．dacd ab =5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是_________．A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB 二、填空题6．在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________．7．正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________． 8．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 9．若53=-b b a ，则b a=________． 10．若AE ACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________． 三、解答题 11．已知342=+x y x ，求y x ．12．在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1．5 m 的测杆的影长为2．5 m ，那么古塔的高是多少?13．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C ．14．如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．分式（一）、主要知识点： 1.分式的定义分母中含有字母的式子叫做分式，成立的条件：分母不为0 。
4.2 黄金分割
A
是AB的黄金分割点.请说
明理由.
2、查资料制做一份“神
E
秘的0.618”知识小报，
D
G H
B
C
古巴 智利
越南
土耳其
中国
苏里南
这些国旗上的正五角星形, 有庄严雄健之美.
A
C
D
B
有5盆红花和5盆蓝花，计划摆成5行，每行4盆 （红、蓝各两盆），如何摆呢？
想 一 想
乐器中的“黄金分割”
摄影中的“黄金分割”
在现在生活中，黄金比例也一直被使用 着，例如国旗、明信片、报纸、邮票等 等，其长宽之比均接近黃金比，据统计 黄金比也是被使用最多的比例。
黄金分割的定义
A
C
B
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果 AC BC ,那么称线段AB被点C黄 AB AC
金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC
与AB的比叫做黄金比.
一条线段有几个黄金分割点
学习一元二次方程之后，我们可以求出:
AC AB
BC AC
5 1 0.618 2
5 1 0.618 2
全
B
C
长
短
则:
长＝ 5 -1 全 2
短＝ 5 -1 长 2
短＝ 3 - 5 全 2
3 5 0.382 2
练一练
(1)、把长度为20cm的线段黄金分割成两段，
则较长的一段长度为
10( ；5 较1)短cm的一
段长度为
10(3 5 )cm
(2)、已知AB=10cm，点P和点Q是线段AB 的两个黄金分割点，则1P0(Q=5 2)cm .
黄金分割是一个伟大的自然法则和美的 定律,它存在于世界的每一个角落，并逐 步被人们认识和广泛应用．
黄金分割4.2(赛课)
A
B
6.拓展：确定黄金分割点的另一个方法
采用如下的方法也可以得到黄金分割点:如图
1.设AB是已知线段. 2.在AB上作正方形ABCD. 3.取AD的中点E,连接EB. 4.延长长DA至F,使EF=EB.
5.以线段AF为边作正方形AFGH. 即点H就是AB的黄金分割点. 任意作一条线段,用上述方法作 出这条线段的黄金分割点. 你能说说这种作法的道理吗?
建筑与黄金分割
巴台农神庙 （Parthenom Temple）
如果把图中的矩形画成矩形ABCD, 以矩形的宽为边在其内部作正方形 AEFD,那么经过测算可以发现，A BE:BC=BC:AB
P111页想一想
E B
问：点E是AB的黄金分割点吗？
矩形ABCD的宽与长的比是黄金 比吗？ 因为 = 所以 = =
≈
=
0.618
5 1 = 0.618 2
A
C
从形的角度看
B
如何判定点C是线段AB黄金分割点?
从数的角度看
1.用线段比判定黄金分割点
2.用线段的比值判定黄金分割点
自学检测１：2分钟
AP BP . 则 AB AP A
判断正误
( )
1.如图,点P是线段AB的黄金分割点,（AP>BP）
P
B
2. 如图, 线段MN被点C黄金分割，（MC>NC） 则MC2 =MN· NC （ ）
A P B
2、黄金矩形的长与宽的比约是 1.618 。
3、已知线段AB=1，在AB上有一点M，若
5 1 AM= ，M线段AB的黄金分割点吗？ 2 3 5 5 1 若BM= 呢？BM= 呢？ 2 2
4.已知，线段AB=10cm，C为黄金分割点，
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实际
应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金 比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时 室内温度调到什么温度最适合。
2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾 舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米， 下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来 更美呢？
2.矩形ABCD的宽与长的比是
D
F
BC = AB
BE
BC
黄金比吗？
C
BC = BE AB BC
AE = BE AB AE
点E是AB的黄金分割点
AE （即 BC ）是黄金比
AB
AB
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形
心动 不如行动
▪ 如图4-6,已知线段AB 按照如下方法作图:
下面一组矩形中, 你觉得哪一个矩 形最好看呢?
黄金矩形
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黄金分割 与生活
▪ 世界名画<蒙娜丽莎>之所以有名,也得益于黄金分 割,无论是画面整体还是局部.
▪ 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
巴黎圣母院
东方明珠塔，塔 高462.85米。设计 师将在295米处设计 了一个上球体，使 平直单调的塔身变 得丰富多彩，非常 协调、美观。
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符,即以人的肚脐 为分界点,上身与下身之比,或者说下身与全身之比约是0.618 这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感. 著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在 油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎 的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得 这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
A
D
C
B
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
那么我们可以惊奇的发现，BC = AB 。点E是AB的
BE
BC
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
A
E
B 1.点E是AB的黄金分割点吗？
AB AC
2
即 AB= √5 + 3 ≈2.6 18
2
归纳小结：
1.通过建筑、雕塑、音乐等领域的实例 了解黄金分割，感受了黄金分割的美。
2.进一步理解线段的比、成比例线段等相 关内容。 3.通过作图找到一条线段的黄金分割点， 并利用已学知识给予了说明。
读一读 ▪ 耐人寻味的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于 北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红” ，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这 不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。 奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等 等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。
黄金矩形
▪ 黄金矩形是一个长和宽的比有特殊比
▪
例的矩形，很多国家的国旗就是黄金
1.6180339887498948...
矩形。如下图：
▪
1
谢 谢 大 家!
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶 的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央， 而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于 0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人 看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管 其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然 是近似的黄金矩形。
更上一层楼
如图，已知线段AC,并且点C是线段AB的黄金分 割点，你能够找到点B吗？如果已知线段BC呢？ 试试看吧！
A
C
B
如图,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
若 AC=1,
则
AB=
√5 + 1
2
≈1.6 18
若 BC=1,
则 AC = 1 = √5 - 1
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
AC 与 AB 的比叫做黄金比.
√ AC = BC =
AB AC
5–1 2
: 1 ≈ 0.618 : 1
A
DC
B
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点,点D是靠近点A的黄金分割点。试确定 支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的 距离。
黄金分割
黄金分割是一数学比例关系。由公元前六世纪 古希腊数学家毕达哥拉斯发现，以严格的比例 性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 应用时一般取1.618 ，就像圆周率在应用时取
3.14一般。 用希腊字母 φ表示这个值。
黄金分割数是个无理数，列出前面一些:
1. 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766
1
BD=
2
AD= √5
2
AC= √5 – 1
BC= 3-√5
2
2
（2）点C是线段AB的黄金分割点吗？
异曲同工
如下方法也可以得到黄金 分割点？
如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
数学美的魅力 1
古埃及胡夫金字塔
古希腊巴特农神庙
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
数学美的魅力 2
自己找出 黄金分割点
D
1.经过点B作BD⊥AB,
使 BD 1 AB.
2.连接AD,2在AD上截
A
B
取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：
1．如果设AB=2,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少? 2．计算AC／AB，BC／AC。 3．点C是线段AB的黄金分割点吗?
想一想
（1）如果设AB=1，那么
黄金建筑设计
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黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
A
CB
度量C到点A、B的距离,
AC 与 BC 相等吗？
AB
AC
A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
AC = AB
BC
AC
∙ AC2=AB BC
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋?为 什么她们会给人感到和 谐、平衡、舒适，美的 感觉?
黄金身材比例
人体肚脐不但是黄金点美化
身型，有时还是医疗效果黄金点，人与黄金分割
许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适的温 度是23℃(体温)，也是正常人体 温（37℃）的黄金点 （23=37×0.618）。这说明医学 与0.618有千丝万缕联系,尚待开 拓研究。人体还有几个黄金点： 肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚 脐以下部分的黄金点在膝盖，上 肢的黄金点在肘关节。上肢与下 肢长度之比均近似0.618.