通信原理(陈启兴版) 第2章作业和思考题参考答案

a(t)与 θ 统计独立。试求随机过程 X(t)的自相关函数、功率谱密度和平均功率，并判断其是否为广义
E X (t ) E a(t ) cos(ω0t ) E a(t ) E cos(ω0t ) E a(t ) cos(ω0t )d 0
方差为 D[X(t)] = R(0) – E2[X(t)] = R(0)=7/24。 平均功率为
R(0)

7 24
2-4 电路图如图题 2-4 所示。如果输入平稳过程{ X(t), -∞ < t < ∞ }的均值 mX 为零，自相关函数 为 RX ( ) 2e
, 0,
随机过程 X(t)的方差为
D[ X (t )] E[ X 2 (t )] E 2 [ X (t )]
2 2 2 2 E X 1 sin (ωt ) X 2 cos (ωt ) 2 X 1 X 2 sin(ωt ) cos(ωt )
sin 2 (ωt ) E[ X 12 ] cos 2 (ωt ) E[ X 2 2 ] sin(2ωt ) E[ X 1 X 2 ] 2 sin 2 (ωt ) 2 cos 2 (ωt ) sin(2ωt ) E[ X 1 ] E[ X 2 ] 2
1 。 试求输出过程{ Y(t), -∞ < t < ∞ }的均值 m Y， 自相关函数 RY( τ)、 RC
功率谱密度 SY( ω)。
R + X(t) 图 题2-4
解 由电路分析的知识可得
+ C Y(t) -
RC
dY (t ) 1 Y (t ) X (t ), dt RC dY (t ) Y (t ) X (t ) dt
2π 0
随机过程 X(t)的自相关函数为
RX (t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t2 ) E a (t1 ) cos(ω0t1 )a (t2 ) cos(ω0t2 ) E a(t1 ) a(t2 ) E cos(ω0t1 ) cos(ω0t2 ) 1 R E cos(ω0t2 - ω0t1 ) cos(ω0t1 +ω0t2 2 ) 2 1 R E cos(ω0t2 - ω0t1 ) E cos(ω0t1 +ω0t2 2 ) 2 2π 1 1 R cos(ω0 )+ cos(ω0t1 +ω0t2 2 )d Ra cos(ω0 ) 2 0 2
RZ1 (t1 , t2 ) E[ Z1 (t1 ) Z1 (t2 )] E X (t1 ) Y (t1 ) X (t2 ) Y (t2 )
E X (t1 ) X (t2 ) X (t1 )Y (t2 ) Y (t1 ) X (t2 ) Y (t1 )Y (t 2 ) RX ( ) RY ( ) E X (t1 ) E Y (t2 ) E Y (t1 ) E X (t2 ) RX ( ) RY ( ) 2a X aY
2 R(m) E X (n) X (n m) 0
X(n)的功率谱密度为

m0 m0
S ( )
m
R(m)e
S ( )
jm
2
[-π, π]
2-3 已知零均值平稳随机过程{ X(t), -∞ < t < ∞ }的功率谱密度为
2 4 4 10 2 9
其中，τ = t 2 – t 1。 由此可见，随机过程 X(t)的自相关函数只与时间间隔有关，均值函数与时间无关，是广义平稳 过程。 随机过程 X(t)的功率谱密度为
1 1 PX ( ) F 1 RX (t1 , t2 ) π ( - 0 ) + ( 0 ) F 1 Ra ( ) 2 2π 1 ( - 0 ) + ( 0 ) Sa 2 4 2 1 2 0 2 0 Sa Sa 4 2 2
1
2-5 高斯随机变量 X 的均值为 0，方差为 1，试求随机变量 Y = 6X + 5 的概率密度 f(y)。 解 高斯随机变量通过线性变换后仍然是高斯随机变量， Y 也是高斯随机变量。 随机变量 Y 的均值为
E[Y ] E[6 X 5] 6E[ X ] 5 5
随机变量 Y 的方差为
2-1 设随机过程{ X(t) = Acos(ωt) + Bcos(ωt), -∞ < t < ∞ } ， ω 为常数， A、 B 为互相独立的随机 变量，且 E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) = σ 2。试判断 X(t)是否为平稳过程。 解 E X (t ) E A cos(t ) E B sin(t ) 0 ，
jY () Y ( ) X ()
两边取付立叶变换，得到
此系统ຫໍສະໝຸດ Baidu传输函数为
H ( )
此系统的脉冲响应函数为
j
t 0 t0
e t h(t ) F 1 H ( ) 0
输出过程的均值为
mY mX h(t )dt 0
D[Y ] E[Y 2 ] E 2 [Y ] E[36 X 2 60 X 25] 25 36 E[ X 2 ] 36 D[ X ] E 2 [ X ] 36(1 0) 36
随机变量 Y 的概率密度为
( y 5)2 ( y 5) 2 1 1 f ( y) exp exp 72 2 36 2 36 6 2
f ( x)
x2 1 exp 2 2π 2
2-8 平稳随机过程 X(t)和 Y(t)的均值分别为 aX 和 aY，自相关函数分别为 RX(τ)和 RY(τ)，且它们彼 此独立。随机过程 Z 1(t) = X(t) + Y(t) 和 Z 2(t) = X(t) Y(t)的。 解 随机过程 Z 1(t)的自相关函数为
2-7 随机过程 X(t) = X 1 sin(ωt) – X2 cos(ωt)，其中，X 1 和 X 2 都是均值为 0，方差为 σ2 的彼此独立 的高斯随机变量，试求：随机过程 X(t)的均值、方差、一维概率密度函数和自相关函数。 解 随机过程 X(t)的均值为
E[ X (t )] E[ X1 sin(ωt ) X 2 cos(ωt )] sin(ωt )E[ X1 ] cos(ωt )E[ X 2 ] 0
随机过程 X(t)的自相关函数为
R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
E X 1 sin(ωt1 ) X 2 cos(ωt1 ) X 1 sin(ωt2 ) X 2 cos(ωt2 )
2 2 E X 1 sin(ωt1 ) sin(ωt2 ) X 2 cos(ωt1 ) cos(ωt2 ) X 1 X 2 sin(ωt1 ωt2 )
R(t , t ) E X (t ) X (t ) E A cos(t ) B sin(t ) [ A cos(t ) B sin(t )]
2 2 E A A cos(t ) cos(t ) E B sin(t ) sin(t )
试求其自相关函数、方差和平均功率。 解 由于 F
1
2 e ，因此，自相关函数为 2 2
2 4 R( ) F 1 S ( ) F 1 2 2 9 1 3 1 5 1 F 1 2 F 1 2 8 1 8 9 3 5 3 e e 16 48
+E AB cos(t ) sin(t ) sin(t ) cos(t )
2 cos(t ) cos(t ) sin(t ) sin(t ) 2 cos( )
因此，X(t)的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，它是平稳过程。 2-2 离散白噪声{ X(n), n = 0, ± 1, ± 2, … } ， 其中， 是 X(n)是两两不相关的随机变量， 且 E[X(n)] = 2 0, D[X(n)] =σ 。试求 X(n)的功率谱密度。 解 X(n)的自相关函数为
随机过程 Z 2(t)的自相关函数为
RZ2 (t1 , t2 ) E[ Z 2 (t1 ) Z 2 (t2 )] E X (t1 )Y (t1 ) X (t2 )Y (t2 ) E X (t1 ) X (t2 ) E Y (t1 )Y (t2 ) RX ( ) RY ( )
2-6 随机过程 X(t) = 5sin(πt + θ)，其中，θ 是随机变量，概率 P(θ = 0) = 0.2，P(θ = 0.5π) = 0.8， 试求随机变量 X(2)的均值，随机过程 X(t)的自相关函数 RX(0, 1)。 解 随机变量 X(2)的均值为
EX [ X (2)] E 5sin 2π 5 0.2sin 2π 0 0.8sin 2π 0.5π 4
2 sin(ωt1 ) sin(ωt2 ) cos(ωt1 ) cos(ωt2 ) E X 1 E X 2 sin(ωt1 ωt2 ) 2 cos ωt1 ωt2 2 cos ω
其中，τ = t 2 – t 1。 随机过程 X(t)的一维概率密度函数为
随机过程 X(t)的自相关函数 RX(0, 1)为
RX (0,1) E X (0) X (1) E 5sin 5sin π
2 2 2 25 E sin 25 0.2sin 0 0.8sin (0.5π) 20
0

输出过程的功率谱密度为
SY ( ) H ( ) S X ( )
输出过程的自相关函数为
2
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 RY ( ) F SY ( ) 2 F F 2 2 2 2 2 2 2 e e 2
2-9 已知随机过程 X(t) = a(t) cos(ω 0t + θ)，其中，随机变量 θ 在(0， 2π)上服从均匀分布，是 a(t) 广义平稳过程，且其自相关函数为
1 Ra ( ) 1 0
平稳过程。 解 随机过程 X(t)的均值为
-1 0 0 <1 Others