自主招生-数论
大学自主招生数学培训教材--初等数论第一章--实数
第一章 实数1.1.自然数练习一、整数的整除和余数的妙用（1）正整数 N、M 除以 5 分别余 4、2，问：N + M 除以 5 余多少？（2）正整数 A、B 除以 11 分别余 3、5，问：AB 除以 11 余多少？（3）任意一个正整数，它的平方除以 7 的余数有多少种可能值？（5）有很多方式可以将 2010 写成 28 个自然数（可以相同可以不同）的和，对每一种写法，这28个数都有最大公约数。
求这些最大公约数的最大值。
（6）已知：N ＝ 222…2，且 N 是 1998 的倍数，求 K 的最小值。
（K个2）（7）三个连续的三位正整数分别是7、8、9的倍数，求这三个三位数。
（8）求 20122012…2012（共有2012个2012）除以 13 的余数。
（9）已知 N 被2012除余7，求 -N 被2012除所得的余数。
（10）互不相等的正奇数 a、b、c、d、e 满足：（2005-a)（2005-b)（2005-c)（2005-d)（2005-e) ＝ 242。
求：a2 + b2 + c2 + d2 + e2 的个位数字。
（11）盒子里有不多于200颗棋子。
每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，则最终都余下一粒。
如果每次11粒取出则刚好取完。
问：盒子里有多少颗棋子。
（12）对任意大于 3 的自然数 n，若：n、n+2 是质数，则 n+1 是 6 的倍数。
（13）11的倍数的规律：A）求证：abc00…00 （偶数个0）与 abc 除以 11 余数相同。
B）已知：a﹥e，求证：abcdef - efabcd 是 11 的倍数。
（14）正整数 x, y, z, 7x+2y-5z 是 11 的倍数. 求证: 3x+4y+12z 也是 11 的倍数.拓展题：（14）正整数 m﹥n， 若 3m 与 3n 个位数相同， 求 m + n 的最小值。
若 3m 与 3n 末两位数字相同，求 m - n 的最小值。
创知路自主招生数学
创知路自主招生数学创知路自主招生数学课程标题：创知路自主招生数学课程分类：中考高考关键词创知路自主招生数学• 1.函数的奇偶性与对称性•2.函数的单调性•3.函数的周期性•5.恒成立问题2•4.恒成立问题•6.多项式函数•7.二次函数及其性质•8.函数方程数列•1.等差数列与等比数列•2.线性特征根法•3.分式特征根法•4.求复杂通项公式•5.求复杂通项公式2•6.求复杂通项公式3•7.数列求和裂项法•8.数列求和的具体应用•9.数列求和错项相消三角函数•1.反三角函数•2.和差化积和积化和差•3.三倍角公式•4.点鞭炮公式•5.三角恒等式•6.三角中的线性方程•7.三角函数的化简问题•8.三角函数的最值问题•9.特殊值的代换•10.三角形中的三角函数平面向量与复数•1.向量的定比分点公式•2.复数的基本概念•3.复数的共轭与模•4.复数中的三角不等式•5.棣莫弗公式•7.单位根•6.棣莫弗公式的应用•8.解复数方程-•9.多项式函数复数根•10.复数旋转求坐标•11.复数三角形的应用•12.三角函数对称形式不等式•1.均值不等式-创知路自主招生数学•2.柯西不等式-创知路自主招生数学•3.琴生不等式-创知路自主招生数学•4.排序不等式-创知路自主招生数学•5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学•6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学•7.函数法-创知路自主招生数学•8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学•9.数学归纳法-创知路自主招生数学•10.调整法-创知路自主招生数学解析几何•1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学•2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学•3.直线参数方程•4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学•韦达定理2-创知路自主招生数学•韦达定理1-创知路自主招生数学•圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学•5.圆锥曲线的极坐标•6.圆锥曲线的切线•7.解析几何极值问题•8.面积问题1•11.单元最值问题•12.多元最值问题•9.面积问题2•10.定值问题排列组合与概率•1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学•2.容斥原理-创知路自主招生数学•3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学•4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学•5.隔板法-创知路自主招生数学•6.平均分组问题•7.正难则反问题•8.染色几何问题•9.概率基础知识•10.概率递推初等数论•1.整除-创知路自主招生数学•2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学•3.素数-创知路自主招生数学•5.同余-创知路自主招生数学•4.最小公倍数-创知路自主招生数学•6.不定方程-创知路自主招生数学•7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何•1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学•2.三角形的五心1-创知路自主招生数学•3.三角形的五心2-创知路自主招生数学•4.塞瓦定理-创知路自主招生数学•5.平面几何解析法-创知路自主招生数学•6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学•8.旋转的应用1-创知路自主招生数学•7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学•9.旋转的应用2-创知路自主招生数学•10.截长补短1-创知路自主招生数学•11.截长补短2-创知路自主招生数学•12.对称变换1-创知路自主招生数学•13.对称变换2-创知路自主招生数学•14.托勒密定理-创知路自主招生数学•15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学•1.极端原理-创知路自主招生数学•2.抽屉原理-创知路自主招生数学•3.不变量-创知路自主招生数学•4.算两次-创知路自主招生数学•5.染色与配对•6.组合最值问题•7.组合构造•8.组合奇偶性•9.图论函数与导数1.函数的奇偶性与对称性2.函数的单调性3.函数的周期性5.恒成立问题24.恒成立问题6.多项式函数7.二次函数及其性质8.函数方程数列1.等差数列与等比数列2.线性特征根法3.分式特征根法4.求复杂通项公式5.求复杂通项公式26.求复杂通项公式37.数列求和裂项法8.数列求和的具体应用9.数列求和错项相消三角函数2.和差化积和积化和差1.反三角函数3.三倍角公式4.点鞭炮公式5.三角恒等式6.三角中的线性方程7.三角函数的化简问题8.三角函数的最值问题9.特殊值的代换10.三角形中的三角函数平面向量与复数1.向量的定比分点公式2.复数的基本概念3.复数的共轭与模4.复数中的三角不等式5.棣莫弗公式7.单位根6.棣莫弗公式的应用8.解复数方程-9.多项式函数复数根10.复数旋转求坐标11.复数三角形的应用12.三角函数对称形式不等式1.均值不等式-创知路自主招生数学2.柯西不等式-创知路自主招生数学3.琴生不等式-创知路自主招生数学4.排序不等式-创知路自主招生数学5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学7.函数法-创知路自主招生数学8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学9.数学归纳法-创知路自主招生数学10.调整法-创知路自主招生数学解析几何1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学3.直线参数方程4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学韦达定理2-创知路自主招生数学韦达定理1-创知路自主招生数学圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学5.圆锥曲线的极坐标6.圆锥曲线的切线7.解析几何极值问题8.面积问题111.单元最值问题12.多元最值问题9.面积问题210.定值问题排列组合与概率1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学2.容斥原理-创知路自主招生数学3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学5.隔板法-创知路自主招生数学6.平均分组问题7.正难则反问题8.染色几何问题9.概率基础知识10.概率递推初等数论1.整除-创知路自主招生数学2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学3.素数-创知路自主招生数学5.同余-创知路自主招生数学4.最小公倍数-创知路自主招生数学6.不定方程-创知路自主招生数学7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学2.三角形的五心1-创知路自主招生数学3.三角形的五心2-创知路自主招生数学4.塞瓦定理-创知路自主招生数学5.平面几何解析法-创知路自主招生数学6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学8.旋转的应用1-创知路自主招生数学7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学9.旋转的应用2-创知路自主招生数学10.截长补短1-创知路自主招生数学11.截长补短2-创知路自主招生数学12.对称变换1-创知路自主招生数学13.对称变换2-创知路自主招生数学14.托勒密定理-创知路自主招生数学15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学1.极端原理-创知路自主招生数学2.抽屉原理-创知路自主招生数学3.不变量-创知路自主招生数学4.算两次-创知路自主招生数学5.染色与配对6.组合最值问题7.组合构造8.组合奇偶性9.图论。
初升高自主招生——数与式（含答案）
初升⾼⾃主招⽣——数与式（含答案）初升⾼⾃主招⽣研讨——数与式（答案）【涉及知识点】1、数列（1）求和：基础、裂项、错位、倒序（2）其他：找规律、累加累乘等2、⼆重根式直接法、乘2除2法、解⽅程组、字母变形、平⽅法3、乘法公式（1）基础公式（7+3）（2）拓展公式4、因式分解（1）多项式的因数定理与余数定理（2）多项式除以多项式（综合除法）（3）⼀猜（有理根）⼆添、⼆拆、⼆除、⼆待（3）猜不中（⽆理根）⼆待、⼆凑（4次⽅凑平⽅和+平⽅差）5、代数式恒等变形（重中之重）6、其他（1）简单计数与数论（2）三个⾮负数、两次有理化、【涉及⽅法】1、猜、凑2、配⽅法3、待定系数法4、换元法【涉及思想】1、消元与降次思想2、构造思想3、整体与讨论思想4、定义域与化简优先【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）【题型⼆】分式（化简、求值、求和）【题型三】⼆次根式（化简、求值、求和、⼆重根式）【题型四】整式（多项式、因式分解、乘法公式、化简、求值）【题型五】数列（找规律、简单计数、求和、新定义）【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）1、若()6255252=xxx，则x=________________。
【参考答案】2或-12、已知: 23a =，32b =，则1111a b +=++______________.【参考答案】13、已知()21240x y x y --+++=则32x y -=（）-1A 、 -2B 、 2C 、 1D 、【参考答案】Ｄ4、已知实数a 满⾜2008a -a ，那么a －22008值是（）（A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006【参考答案】A【参考答案】-15、()1015323π-??-+---=( ).A ．4-B ．12C ．4D ．2【参考答案】Ｃ7、有理数a ，b 在数轴上的位置如图所⽰，则a b +的值是( ).A ．0⼩于B ．0⼤于C ．a ⼩于D ．b ⼤于【参考答案】Ｂ8、若,,a b c三个数在数轴上对应点的位置如图所⽰，化简：。
高校自主招生数学讲义 初等数论
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）第六讲．数列知识要求1.掌握等差数列与等比数列的相关知识2.掌握递推数列的通项的求法3.了解极限的相关内容4.掌握数学归纳法典型例题1. （1）已知数列{}n a满足：*110,)n a a n N +==∈，则n a = (2010武汉大学)（2）已知数列{}n a 满足：11a =，123nn n a a a +=+，求数列{}n a 的通项公式（2010东南大学）2.已知方程22(2)(2)x x m x x n -+-+的四个根组成一个首项为14的等差数列，则||m n -的值是（ ）（A ）1 （B ）34 （C ）12 （D ）38（2012年北约） 相关习题（1）.等差数列{}n a 满足：313a =-，7 3.a =这个数列的前n 项和为n S ，数列1S ，2S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. （2011年北约）（2） 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,.n =n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（A ）0 （B ）3lg2（C ）lg 2 （D ）lg 3 （2012年华约联考） 3. 数列{}n a 、{}n b 的定义是1a ，12b =，11n n n n n a a b a b +++=，11n n nn nb a b b a +++=，求证：2013 5.a < （2013年清华大学夏令营）相关例题（1）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1).n S na n n =+-（i ）求证：{}n a 为等差数列；（ii ）求点{,}nn S a n所在的直线方程. （2009年清华大学文科）(2). 已知数列{}n a 、{}n b 满足：12n n n a a b +=--，（1） 166n n n b a b +=+（2），又12a =，14b =，试求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. （2012年苏州大学自主招生） 4. 设数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212.n n n a a a ++=+（i ）设1n n n b a a +=-，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列； （ii ）若12lim()4n n a a a →∞+++=，求a 、b 的值. （2011年卓越联盟）相关习题(1) 正项等比数列{}n a 满足：34215a a a a +--=，求56a a +的最小值.（2012北京大学）5. 已知数列{}n a 满足2111,n n a a a n +==-+，求数列{}n a 的通项公式n a ，并求2000a 的值.（2013年华东师大）相关习题（1）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，且142n n S a +=+，则2013a =（2013年北约）（2）. .正数数列{}n x ，{}n y 满足：212n n n x x x ++=+，212n n n y y y ++=+（*n N ∈），证明：存在正整数0n ，使得对任意的正整数0n n >，都有n n x y >成立. （2009年中国科技大学） 6. 设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()s t at b ϕ==+（12t >，0a ≠），满足2121().t s f t s-+= （1）证明：存在函数()t s cs d ψ==+（0s >），满足2121()s t f s t +-=； （2）设13x =，1()n n x f x +=，1,2,n =，证明：11|2|.3n n x +-≤（2010年华约） 相关习题（1） 已知数列{}n a 满足：22n n n a a na α+=-+，首项1 3.a =（i ）若对一切n 满足2n a n ≥，求α的取值范围；（ii ）若2α=-，求证：121112.222n a a a +++<--- （2013年卓越联盟）第七讲．几何问题知识要求1.了解平面几何的几个古典定理2.了解三角形的五心的性质3.掌握圆锥曲线的基本概念4.熟练掌握圆锥曲线与直线的位置关系问题典型例题1. 如图，已知ABC ∆面积为1，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，2BD DC =，2CE EA =，2AF FB =，AD 、BE 、CF 两交于P 、Q 、R ，求PQR ∆的面积.（2009年中国科技大学）相关习题（1） 求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形. （2012年北约） （2）. 如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于点H ，且10AB =，8CD =，4DE =，EF 是圆的切线，BF 交HD 于点.G（1）求GH ；（2）连接FD ，判断FD 与AB 的关系，并加以证明.（2012年卓越）2. 如图所示，已知正六边形111AC BACB 中，11AC AB =，11BC BA =，11CA CB =，111A B C A B C ∠+∠+∠=∠+∠+∠，求证：ABC ∆的面积是六边形面积的一半. (2008年北京大学)相关习题（1）.ABC ∆内点M 满足100CMB ∠=，线段BM 的中垂线交边AB 为P ，线段CM 的中垂线交边AC 于点Q ，已知点,,P M Q 三点共线，求.CAB ∠1（2013年北京大学保送生试题）3. 设M 是直线24x y +=上一点，1F 与2F 是椭圆22162x y +=的焦点.过M ，以1F 、2F 为焦点作椭圆.C 问M 在何处时，所作椭圆C 的长轴最短?并求此时椭圆C 的方程.（2008年南京大学）相关习题（1）. 已知两点(2,0)A -，(2,0)B ，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22||P A P B P H ⋅=. （i ）求动点P 的轨迹C 的方程；（ii ）已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点M ，N ，设MN 的中点为R ，过R 与点(0,2)Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围. （2012年华约）(2). 已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆的左顶点(,0)A a -的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点.R 过原点且与直线l 平行的直线交椭圆于点.P求证：AQ 、AR 成等比数列. （2013年清华大学夏令营）（2009年清华大学） 4. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，21OA OB k ⨯=+，O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为C⑴求C 的轨迹方程⑵抛物线22x py =（p ＞0）与C 相切与两点，求证两点在两条定直线上，并求出两条切线方程. （2013年华约） 相关习题（1）. 设椭圆22214x y a +=（2a >）的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于C 、D 两点.（i ）求椭圆方程；（ii ）若直线l 与x 轴交于点G ，且GC DE =，求实数k 的值； （iii ）设A 为椭圆的下顶点，AC k ，AD k 分别为直线AC ，AD 的斜率.证明：对任意的实数k ，恒有 2.AC AD k k ⋅=- （2013年卓越） 5. 抛物线上有两点A 、B ，过A 、B 的切线交于点C ，且AB 的中点为K .求证：KC 的中点在抛物线上. （2011年北京大学优秀中学生体验营） 相关习题（1）．已知椭圆方程为221169x y +=，过长轴顶点(4,0)A -的两条斜率乘积为916-的直线交椭圆于另两点B 、C ，是否存定点D ，使得直线BC 过定点D ？若存在，求出D 点的坐标，若不存在，说明理由. （2013年华东师范大学） （2）.抛物线22y px =（p >），F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上两点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的中垂线光x 轴于点(,0)D a （0a >），||||.m A F B F =+（i ）证明：a 是p ，m 的等差中项；（ii ）若3m p =，l 是平行于y 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l 的方程. （2012年卓越）第八讲．向量与复数知识要求1.掌握平面向量的有关知识，学会利用平面向量解决相关问题2.掌握复数的三种形式3.掌握复数方法典型例题1. ,,O A B 为平面上的三点，且||2OA =，||1OB =，θ为OA 与OB 的夹角.已知OP tOA =，(1)OQ t OB =-，设||PQ 取得最小时0t t =，问θ取何值时，有0105t <<成立？ （2010年北京大学）2． 如图，设P 、Q 为ABC ∆内两点， 且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+， 则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ ）A.13 B.14 C.35 D.45（2010年武汉大学）相关习题（1）. 已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆=O 为坐标原点． （i ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（ii ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（iii ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由． （2011年山东卷高考） 3. 求0.4 1.222ii e e ππ++的模. （2009年清华大学）相关习题（1） 求最小的正整数n ，使得1()2nI =为纯虚数，并求出.I （2006年清华大学）4. 平面坐标系逆时针旋转θ，求原坐标中点(,)P x y 在新坐标系下的坐标11(,)P x y '.（2008年中国科技大学）相关习题（1）在实数分解因式 （i ）321x x x +++；（ii ）4321.x x x x ++++ （2008年山东大学）（2006年复旦大学）5. 已知sin cos z t i t =+，且sin cos 1.t t +=试求1nk k z =∑的值. （2009年清华大学）6. 对自然数n ，令n S 为1ni =的最小值，其中1a 、2a 、…、n a 为正实数，其和为17，若存在唯一的n 使得n S 也为整数，求n . 7. 证明：*1π2π(1)πsinsin sin(2,).2n n nn n n nn --⋅⋅⋅=≥∈N （2013年中国科技大学夏令营）8. 求方程53102040x x x ++-=的所有根.（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）第九讲．初等数论相关知识1.了解数的整除性；2.掌握奇偶分析方法；4.了解同余分析； 5.学会不定方程的求解 典型例题1. 当,p q 都是奇数时，方程2220x px q ++=是否有有理根？请证明之（2009年清华大学）相关习题（1） 设,,a b c 数. （2008年清华大学）2.求正整数区间[,]m n 中不能被3整除的数之和. （2008年清华大学保送生） 相关习题（1）是否存在一个2012位数，各数码均由1或2组成，且可以被20122整除？（2012年南开大学数学试点班试题）3. 记2012!1232012=⨯⨯⨯⨯为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（ ）A.504B.503C.502D.501 （2012年复旦大学）4.不定方程2232x y -=的整数解的个数是（ ）A.0B.1C.3D.无穷多个 （2013年复旦大学）5. 求证：存在无穷多对正整数对(,)a b 满足84| 1.ab a b ++（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc =（2004年上海交通大学）（2）讨论方程20142420122013(1)(1)2014x x x x x +++++=的根的情况.（2013年中国科技大学夏令营）。
2024年高中自主招生素质检测数学试题及参考答案
学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括 试题卷 (4页)和 答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将 试题卷 和 答题卡 一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一 假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一 假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。
2024年海南省文昌中学自主招生数学试题(含答案)
2024年初中学业水平自主招生测试数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.本场考试为考试时间为90分钟，请分配好时间。
3.本卷共14小题，满分120分。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(Florence Nightingale 1820-1910)设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是 A. 2015年至2022年, 知识付费用户数量逐年增加B. 2016年至 2022年, 知识付费用户数量的年增加量逐年递增C. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D. 2017年至2018年, 知识付费用户数量增加量为近些年来最多2.若将函数y= cos x- 3sin x 的图象向左平移m (m>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为A. π3B. π6C.2π3D.5π63.我国古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上 B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧.若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角分别为(60°和20°,且BC=100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）(cos10°≈0.985)A. 49.25mB. 52.76mC. 56.74mD. 50.76m4.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，例如，|(-3.5]=-4,[2,1]=2.，则以下选项错误的是（ ）A.[2x]=2[x] B.[x]<x<x+1C.[x]+[x+12]=[2x]D.x 2+14>[x]5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）(参考数据：lg 2≈0.3, lg 3≈0.48)A.第5代种子 B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子6．若实数m ，，满足，以下选项中正确的是（ ）0n >21m n +=A ．mn 的最大值为14B．的最小值为C．的最小值为D ．最小值为7．若实数满足，则下列选项错误的是（ ）A ．且B ．的最小值为9C ．的最小值为D ．8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷+答案
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷1．202420252024202363030301030×+=−×____________．2x +=的正数解为____________．3．等腰ABC △的底边AC 长为30，腰上的高为24，则ABC △的腰长为____________．4．已知实数m ，n 满足2202410m m ++=，224200n n ++=且1mn ≠，则601n mn=+____________． 5．若x 为全体实数，则函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有____________个． 6．若0abc ≠，1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c c a a b ++=+++____________． 7．K 为ABC △内一点，过点K 作三边的垂线KM ，KN ，KP ，若3AM =，5BM =，4BN =，2CN =，4CP =，则2AP =____________．8．记a ，b ，c 的最小值为{}min ,,a b c ，若{}()min 41,2,24fx x x x =++−+的最大值为M ，则6M =____________．9．已知正方形OBAC ，以OB 为半径作圆，过A 的直线交O 于M ，Q ，交BC 与P ，R 为PQ 中点，若18AP =，7PR =，则BC =____________．10．若a ，b ，c ，d ，e 为两两不同的整数，则22222()()()()()a b b c c d d e e f −+−+−+−+−的最小值为____________．11．PA ，PB 分别为1O 和2O 的切线，连接AB 交1O 于C 交2O 于D ，且AC BD =，已知1O 和2O 的半径分别为20和24，则2180PA PB = ____________．12．已知a ，b ，c 正整数，且只要1111a b c ++<，则111m a b c ++≤，设m 的最小值为r s （r s 为最简分数），则r s +=____________． 13．对于任意实数x ，y ，定义运算符号*，且*x y 有唯一解，满足()()()***a b c a c b c +=+，0*()(0*)(0*)a b a b +=+，则20*24=____________． 14．已知正整数A ，B ，C 且A C >，满足222879897ABC BCA CAB ++=，则ABC =____________．15．等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为____________．2024深圳中学自招答案一、填空题．1．【解析】原式20242025220242023630306303018090054301030301020×+×++===−×−．2．x +=，x =， ∴218232x x x =−， ∵0x >，∴223218x −=，解得：5x =，∴该方程的正数解为5x =．3．【解析】①若ABC △为锐角三角形，如图所示：设ABC △的腰长为x ，在ACD △中，18AD =，在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =，∴ABC △的腰长为25；②若ABC △为钝角三角形，如图所示：在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =（舍）， 综上所述：ABC △的腰长为25．4．【解析】由224200n n ++=得21120()2410n n+⋅+=，∵1m n ≠，∴m ，1n可以视为方程2202410x x ++=的两个实数根， ∴165m n +=−，∴60605011n mn m n ==++． 5．【解析】问题等价于方程2223243x x x x −+=−+的解的个数问题； ∴2240x x x +−=， 当0x ≥时，220x x −=，∴0x =或2x =；当0x <时，260x x −=，∴0x =或6x =（舍）； 综上所述：函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有2个． 6．【解析】222()()a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b++++=+++++++++++， ∴222a b c a b c a b c b c a c a b++=++++++++， ∴2220a b c b c a c a b++=+++． 7．【解析】22222222()()KA KB KM AM KM BM AM BM −=−+=−， 同理可得：2222KB KC BN CN −=−，2222KC KA CP AP −=−，三式相加得：222222AM BN CP BM CN AP ++=++，∴222222.34452AP ++=++，解得212AP =．8．【解析】由题意作出以下图形：考虑24y x =−+与2y x =+的交点即可；联立242y x y x =−+ =+ ，解得2383x y = = ，∴83M =，∴616M =． 9．【解析】连接OP ，设AM x =，ACOC a ==， ∴18PM x =−，32QM x =−，由正方形的对称性：18OP AP ==，由圆幂定理：2AC AM AQ =⋅，22PM PQ OC OP ⋅=−，∴232a x =，2214(18)18x a −=−，∴214(18)3218x x −=−，解得：28823x =，∴BC ==．10．【解析】记1a b x −=，2b c x −=，3c d x −=，4d e x −=，5e a x −=，则1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均为整数且不等于0，同时满足123450x x x x x ++++=，∴1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中存在偶数个奇数，若存在2个1，2个1−，1个2，则对于1x 、2x 、3x 、4x 、5x 构成的数环而言必有一个1与1−相邻，这是不符合要求的，否则存在两数相等；所以至少存在两个数的绝对值为1，3个数的绝对值为2，∴222221234514x x x x x ++++≥，对于(,,,,)(1,3,5,4,2)a b c d e =而言可以取到14，故其最小值为14．11．【解析】过1O 、2O 、P 分别作AB 的垂线，垂足依次为E 、F 、G ， ∴1190PAG O AE AO E ∠=°−∠=∠，2290PBG O BF BO F ∠=°−∠=∠，1122AE AG BD BF ===， ∴1APG O AE △∽△，2BPG O BF △∽△，∴1PA AO PG AE =，2PB BO PG BF =， ∴1122205246AO PA AO AE BO PB AO BF====，∴225180()180()1256PA PB =×=．12．【解析】不妨设a b c ≤≤，则2a ≥，当3a ≥时，1111111133412a b c ++≤++=； 当2a =时，11111112a b c b c ++=++<，∴1112b c +<，∴3b ≥， 当4b ≥时，1111111924520a b c ++≤++=， 当3b =时，1111114123742a b c ++≤++=， 即当(,,)(2,3,7)a b c =时，4142m =，83r s +=． 13．【解析】由(*)(*)(*)a b c a c b c +=+得*(*)(*)a b a c b c c =+−， ∴*(*)(*)*b a b c a c c a b =+−=，取0c =，则*(*0)(*0)(0*)(0*)0*()a b a b a b a b =+=+=+，对于0*()(0*)(0*)a b a b +=+，取0a b ==，得0*00=， 同时0*0(0*)(0*)0c c c =+−=，∴0*2c c =， ∴20*240*(2024)0*4422=+==．14．【解析】首先22228798971000ABC BCA CAB ++=<，∴A 、B 、C 均为一位数，且不为0，即从1到9，其次考虑末尾特点，222A B C ++的末尾为7，而完全平方数的末尾为014569，不考虑0，剩下14569，想要使得末尾为7，可以有1157++=或44917++=或56617++=或99927++=，由于A B C >>，故99927++=舍去（末尾为9的只有3、7两个），若满足1157++=，则对应的数为9、5、1，显然222951519195879897++>，舍去； 若满足56617++=，则对应的数为6、5、4，显然222654546465942057879897++=>，舍去； 若满足44917++=，则对应的数为8、3、2或8、7、2，计算222832328283879897++=符合题意；计算222872728287879897++>，舍去； 综上所述：832ABC =．15．【解析】设该等腰ABC △的腰为a ，底为b ．由题意：112(2)2b a b ×+，∴48(2)b a b +，∴b 2322304(2)ab b a b −=+， ∴33223042304246082(48)(48)b b b b a b b b ++=−+−，∴3230446082(48)(48)(48)(48)b b b a b b b b b +==++−+−， 记4608(48)(48)b k b b =+−，k 为正整数，∴222248480kb b k −×−=，∴2∆==×为完全平方数，m =（m 为正整数），∴22248m k −=，即2()()48m k m k +−=， 由于2824823=×，有(81)(21)27++=个因子，应该存在(271)2114−÷+=组，考虑到()m k +与()m k −应该同奇偶，故存在14311−=组，列举如下： ∴(,)(1152,2)m k m k +−=或(576,4)或(384,6)或(288,8)或(192,12)或(144,16)或(128,18)或(96,24)或(72,32)或(64,36)或(48,48)，∴(,)(577,575)m k =或)290,286(或)195,189(或)148,140(或(102,90)或(80,64)或(73,55)或(60,36)或(52,20)或(50,14)或(48,0)， 根据求根公式，224824848(48)2m m b k k ×+×+=， 代入检验可得：当(,)(102,90)m k =或(80,64)或(60,36)或(52,20)或(50,14)， 依次解得：80b =或96或144或240或336， ∵2a b k =+，∴2b k a +=，解得85a =或80或90或130或175， 综上所述：所有可能的等腰三角形的腰长之和为858090130175560++++=．。
自主招生里的数论
1、有理数与无理数例1、(2009清华)求证：当,p q 都为奇数时，曲线2220x px q ++=与x 轴交点的横坐标为无理数。
例2、(2009北大)是否存在实数x ，使得tan x cot x例3、（2008年清华大学）已知,,a b c 都是有理数，也是有理数.求证2、同余的性质例4、(2004年上海交大)2004818(736)+的个位数是_______________． ，例5、（2009年清华）请写出满足下列条件的三个数，它们均为质数，且构成公差为8的等差数列，并证明你的结论。
例6、(2009清华)请写出满足下列条件的三个数，它们均为质数，且构成公差为8的等差数列，并证明你的结论。
例7、(2008清华)求正整数区间[,]m n 中不能被3整除的数之和．3、构造法例8、(2009中科大)已知*{|!,}A x x n n n N ==+∈，B 是A 在*N 上的补集． (1)求证：不能在集合B 中取得一个有无限项的公差不是0的等差数列； (2)是否能在集合B 中找到一个有无限多项的等比数列？4、不等式估计例9、(2009上海交大)求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212n n a a a a a a =+++．例10、(2009南京大学)求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ⋅⋅≤++的非直角三角形ABC ∆．这里[]x 表示不大于x 的最大整数． 5、方程例11、(2011北约)是否存在四个正整数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？例12、(2004上海交大)已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc =__________。
6、综合例13、今有某三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一最大数和一最小数(例如427经过重新排列得到最大数为742，最小数为247)，如果所得最大数与最小数之差就是原来那个位数，试求这个三位数。
高二“自主招生、竞赛及高考”讲义二(基础数论)
基础数论问题讲解基本内容：奇数与偶数，带余数除法，质数与合数，最大公约数与最小公倍数，裴蜀等式，整数分解定理，勾股数与不定方程1、证明：数1232011201220134022a =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 能被20112012b =+整除． 证：因201220134022(40232011)(40232010)(40232)(40231)⋅⋅⋅=--⋅⋅--4023122011122011M bM =-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅ ，即a bM =，所以b a ．2、设{}1,2,,2013M = 是前2013个正整数组成的集合，{}1230,,,A a a a = 是M 的一个30元子集，若A 中的元素两两互质，证明A 中至少有一半元素是质数．证：先证明，A 中16个元素中必有一个是质数．为此，任取16个元素，不妨设为1216,,,a a a ，若其中没有质数，则它们中至多一个为1，其余15个皆为合数，设1215,,,a a a 都是合数，则每个数皆可分解成至少两个质因数的乘积，若i p 是i a 的最小质因数，则i i p a ≤，1,2,,15i = ，由于A 中的数两两互质，则1215,,,p p p 互不相同，而将全体质数自小到大排列，第15个质数是47，所以，若1p 是1215,,,p p p 中的最大数，即有147p ≥，于是2211472013a p ≥≥>，即1a M ∉，矛盾!因此1215,,,a a a 中必有质数．不妨设1a 为质数；今从集A 中去掉1a ，在剩下的29个元素中，再次进行同样的讨论，可知其中的16个元素中也必有一个是质数，设为2a ，如此下去，这样的手续可以连续进行15次，每次都可从A 中取到一个新的质数，因此A 中至少有15个质数．3、设k 为正奇数，n 为正整数，12k k k k S n =+++ ，证明：1k S S ．证：因为1(1)122n n S n +=+++=，并且n 与1n +互质，因此我们只要证， 在n 为偶数时，k S 能分别被2n 与1n +整除；而n 为奇数时，k S 能分别被n 与12n +整除；(1)、如果n 为偶数，将k S 写作：12(1)122k kk k k kk n n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由于每一括号中的两数之和皆可被1n +整除，所以(1)k n S +；再将k S 写作：1(1)2(2)11222k k kkkkkkk n n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+-++-++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 可知，每一括号皆可被2n 整除，所以(1)2k n n S +，即1k S S ． (2)、如果n 为奇数，将k S 写作：13112(1)222k k kkkkkk n n n S n n ⎡⎤-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，据此知，每一项皆可被12n +整除，又由 111(1)2(2)22k kk k k kk k n n S n n n ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+-++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此每一项皆可被n 整除，所以(1)2k n n S +，即1k S S ． 综合以上两步讨论，可知对每个正整数n ，都有(1)2k n n S +，即1k S S ．4、设,a b 是不全为0的整数，集合{},M ax by x y Z =+∈，若00ax by +是集合M中的最小正整数；证明：(1)、对任何整数,x y ，都有00()()ax by ax by ++．(2)、若d 是,a b 的最大公约数，则存在整数00,x y ，使00ax by d +=．证：(1)、反证法，若存在整数,x y ，使得00()ax by + ()ax by +，则由带余数除法知， 存在整数,q r ，使得0000(),0ax by ax by q r r ax by +=+⋅+<<+，则00()()r a x qx b y qy =-+-，即r 也是集合M 中的正整数，且00r ax by <+，这与00ax by +的最小性矛盾，故所设不真，因此对任何整数,x y ，都有00()()ax by ax by ++．(2)、由于,a b 不全为0，则M 的正整数子集非空，其中必有最小数，设00ax by +是集合M 中的最小正整数，据(1)，对任何整数,x y ，都有00()()ax by ax by ++，故有0000()(10),()(01)ax by a b ax by a b +⋅+⋅+⋅+⋅，即0000,ax by a ax by b ++，于是00ax by d +，又由,d a d b 知，00d ax by +，而d 与00ax by +皆为正整数，所以00ax by d +=．5、证明：在全体三位数当中，各位数字和是7的倍数者有偶数个．证：对于任一个三位数123x a a a =，其中12319,0,9a a a ≤≤≤≤，作一数123y b b b =，使得11223310,9,9b a b a b a =-=-=-，则x 与y 一一对应，并且123123()()28a a a b b b +++++=是7的倍数，所以，x 的各位数字和是7的倍数当且仅当y 的各位数字和是7的倍数；由于1099x y +=为奇数，则x 与y 一奇一偶，现在若x 跑遍数字和是7的倍数的所有三位奇数，则y 跑遍数字和是7的倍数的所有三位偶数，反之亦然；因此这两类数的个数相等，于是全体这样的三位数有偶数个．6、设2n ≥，证明：对于前n 个正整数1,2,,n ，总可将它们按照适当的顺序排成一个正整数a ，使得a 是7的倍数．（例如1,2可排成21，而1,2,3可排成231，等等）． 证：采用“守株待兔”法，首先，当4n =时，对于前四个正整数1,2,3,4，我们有13241(mod7),12342(mod7),34123(mod7),12434(mod7),≡≡≡≡ 34215(mod7),21346(mod7),41230(mod7)≡≡≡ … ①；当5n ≥时，我们可先将5,6,,n 按一个接一个的顺序排成一个正整数A ，若410(mod 7),06A k k ⨯≡≤≤，在①中的7个数中，取一数B abcd =，满足 7(mod 7)B abcd k =≡-，那么410A B ⨯+便合要求．（例如，在8n =时，由于567800004(mod7)≡，而在①中，有34123(mod 7)≡，则45678103412567834120(mod 7)⨯+=≡满足要求）；因此结论成立．7、试确定: 是否存在正整数n 及非平方的正整数a ，使{}{}{}2...nn S a a a =+++的值为有理数？证明你的结论.（06-西部赛题）解：不存在。
自招竞赛课程数学讲义：1 数论 整除【讲师版】
课程类型 数学“数论1 整除理论”讲义编号：数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
被誉为“最纯”的数学领域。
数论问题一直是数学竞赛中考察的重点，也常常是数学竞赛中最难的问题。
之所以难并非由于它需要很多知识，恰恰相反，他所需要的知识都是大家熟悉的。
从最基础的“全国高中数学联赛”，到“中国数学奥林匹克竞赛（冬令营）”、“中国数学奥林匹克集训队”、国家队，直至IMO ，数论都是必考题，并且占很大的比重。
在近年来的各大高校自招和联盟自招中，数列的比重也在逐渐增加，如“华约”从2012年到2013、2014，数论都有出现，并有增加的趋势。
从这一节开始，我们将用三节的课时对数论问题做一个初步的介绍。
本节的重点是整除理论，包括带余除法、辗转相除法、最大公约数理论和算术基本定理。
1. 整除定义与基本性质定义1：定理1：1)||||a b a b a b a b ⇔-⇔-⇔ 2)|a b 且|b c ，则|a c 3) |a b 且|a c ⇔ 对,x y ∀∈Z ，有|a bx cy +。
一般地，1|,...,|k a b a b 同时成立 ⇔ 对1,...,k x x ∀∈Z ，有11|...k k a b x b x ++4) m 不为0，则||a b ma mb ⇔5) |a b 且|b a ，则b a =±6) b 不为0，那么|a b a b ⇒≤请同学试着利用整除的定义证明1~6的结论。
例1例2例3例4 （2013华约真题）设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．【解答】因为)1)(1z (1)(－－－zx y xy ＝z)+y +z(x z)(2xy xy －＋zx y xy +z +－1，而z)+y +z(x z)(2xy xy －能被xyz 整除，于是只需zx y xy +z +－1能被xyz 整除即可．又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +－1xy 3<，即3<z ，∴2=z ．于是只需x y xy 2+2+－1能被xy 2整除，。
自主招生-数论
柳州铁一中学高2013级高三自主招生数学培训——数论
数论是研究整数的性质和方程的整数解的一门学科。
它起源于古代的东方，距今已有3000年的历史。
数论也叫整数论，其研究对象是自然数。
由于其形式简单，意义明确，基础知识较为简单，但处理问题方法技巧性很强，在培养人们思维能力方面有着重要作用，因而在国内外数学竞赛中占有重要地位。
一．数的整除
1.整数的概念和性质
猜想：
证明：
2.带余除法
（可考虑数学归纳法）
二．同余
以下定理请同学们证明并会应用，页面所限，后面补充！
讨论下述例题。
深圳中学数理高中一类自主招生
深圳中学数理高中一类自主招生自主招生已经成为高中阶段教育的一种重要途径，旨在选拔志在科学与数理领域发展的优秀学生。
深圳中学作为一所享有盛誉的学府，也面向广大学子开放了自主招生通道。
本文将就深圳中学数理高中一类自主招生的相关要求和流程进行详细介绍。
一、招生对象深圳中学数理高中一类自主招生的招生对象是具备较强的数理基础和科学兴趣，有志于进一步深造和投身科学研究的中学生。
学校鼓励具备良好的综合素质和创新能力的学生积极参与自主招生。
二、招生计划深圳中学数理高中一类自主招生每年计划招生30名左右，具体名额以学校发布的公告为准。
三、招生科目自主招生考试科目包括数学、物理、化学、生物和科学素养。
1. 数学：考查学生对数学基本概念的理解和运用能力，包括代数、几何、数论等方面的知识。
2. 物理：考查学生对经典物理、电磁学、光学等基础知识的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
3. 化学：考查学生对化学基本理论的了解，具备基本的实验技能和推理能力。
4. 生物：考查学生对生命科学的常识和基础理论的掌握情况，以及对实际问题的分析能力。
5. 科学素养：考查学生对科学研究方法的了解，科学知识的运用以及科学实践和科研探索的能力。
四、招生流程深圳中学数理高中一类自主招生采取多阶段的选拔流程，以全面评估学生的学术能力和综合素质。
1. 笔试：笔试阶段是自主招生的第一轮选拔，主要考查学生的数学、物理、化学、生物和科学素养方面的知识和能力。
笔试成绩将作为学生进入面试环节的依据。
2. 面试：面试环节将由学校相关教师和专家组成的评委进行。
面试主要考察学生的英语交流能力、逻辑思维、科学实践经历等方面的素养和能力。
面试将结合学生的个人陈述和自荐信等材料进行综合评估。
3. 综合评价：综合评价将根据学生的笔试成绩、面试表现、学业成绩、科研经历以及学校特殊推荐等综合素质进行综合评估，确定最终的录取名单。
五、报名和准备1. 报名时间：学校将会在每年的招生季公布自主招生报名时间，学生在规定时间内准备相关材料并按要求完成报名手续。
高中自主招生考试分类 专题十三 初等数论
专题十三 初等数论1. 已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z .【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =, 当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-, 也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =;于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =,经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)2. 在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？解： 将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（2008,2009,2010）,（2011,2012）这671组，如果所取数672n ≥，则由抽屉原理必然有两个数属于同一组，不妨设为a b >，则1a b -=或2。
当1a b -=时，此时a b -整除a b +，不合要求。
初中自招数学知识点
初中自招数学知识点
得嘞，咱这就开始说初中自招数学的知识点。
初中自招数学嘛，那可真是得下点功夫才行。
咱得从基础开始说起，得把代数、几何这两大块儿都搞明白了。
代数方面，那方程、不等式、函数都是得掌握的，尤其是二次方程和一次函数，那可是自招考试里的常客。
再说说几何吧，全等三角形、相似三角形这些，可都是得心里有数的。
还有平面几何里的圆和扇形，那些定理、性质，咱得都记牢了，考试时候才能灵活运用。
还有啊，数论也是初中自招数学里的一大块儿。
什么质数、合数、因数、倍数，还有同余定理、中国剩余定理，这些都得有所了解。
另外，别忘了那些常见的数学方法，比如配方法、换元法、待定系数法等等，这些在解题时候都能起到事半功倍的效果。
最后啊，得提一句，初中数学自招考试可不仅仅是考知识点，更多的是考察你的思维能力和解题技巧。
所以啊，平时得多做练习，多总结方法，这样才能在考试中脱颖而出。
好啦，就这么多，初中自招数学的知识点，咱就简单说了说。
有啥不明白的，您随时问咱。
自主招生中的简单数论问题
ｊ ■
借助 数轴 ， 由题 意 Ｉ ｌ ≤３ ， 则 一６ ， ａ ∈（ 一１ ， ２ ］ ， 则 。 一３ ， 所 以 Ｐ一 旦 ＝ ＝ ．
。
彝 题 中 出 现 了 一 个 变 量 ， 所 以 联 想 到 ： 一 维 ㈢ 个 变量 ｚ ㈢ 数轴㈢ 长度 ．
由于假设 Ａ 中没有 ２个数 的 和 为平 方 数 ， 所以 ３ ， ８ ， １ ５等 数不 在 Ａ 中 ． 则３ ， １ ５ ∈Ｂ， 由此 又 推 出 ６ ， １ ０ ∈Ａ，
但是 ６ ＋１ ０ —４ 。是 完 全 平 方 数 ， 与 假 设 矛 盾． 因此 集 合 Ａ或 Ｂ中 ， 必 有 ２个数 ， 它 们 的和 为完全 平方 数．
，
一 ２
— ０
形， 必须 满足 ＋ ＞ １ 一 —Ｙ，
＋ ｌ— — Ｙ＞ ， Ｙ＋ １一 一
初 等数 论是 研究 数 的规 律 ， 特别 是 整 数 性 质 的数 学 分支 ． 它 是数 论 的一 个 最 古 老 的分 支 ， 它 以算 术 方
法 为最 主要 的研 究 方 法 ， 即 以初 等 、 朴 素 的方 法 研 究
数论 的主要 内容和 主体方 法 ， 所 考 查 的 主要 内容 包括
影 域 ， 所 以 Ｐ一 ＝÷．
整数 、 有理 数 、 实数、 整除与 同余、 多项 式、 高 斯 函数
彝 妻 ，
能 构成 一个 锐角 角 形 的概率 是（
Ａ １ ／ ２； Ｂ １ ／ ３；
Ｂ都是 ， 一｛ ｌ ， ２ ， …， ｝ 的真 子集 ， Ａ ｎ Ｂ＝ｊ ２ 『 ， Ａ Ｕ Ｂ一
【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第17讲 简单的初等数论
第十七讲简单的初等数论一、 知识总结1. 高斯函数问题 设x 是实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，称为x 的整数部分，即[]x 是一个整数且满足[][]1x x x ≤<+。
例如：[]2.22=，[]44=，[]2.23-=-，[]66-=-。
记{}[]x x x =-，称为x 的小数部分。
高斯函数的主要性质性质1：对任意的x R ∈，均有[][]11x x x x -<≤<+；性质2：对任意的x R ∈，函数{}y x =的值域为[)0,1；性质3：若12x x ≤，则[][]12x x ≤；性质4：若n Z ∈，x R ∈，则有[][]x n n x +=+，{}{}n x x +=；后一式子表明{}y x =是一个以1为周期的函数。
性质5：若x 、y R ∈，则[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++；性质6：若*n N ∈，x R ∈，则[][]nx n x ≥； 性质7：若*n N ∈，x R +∈，则在区间[]1,x 内，恰有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个整数是n 的倍数； 性质8：设p 为质数，*n N ∈，则p 在!n 的质因数分解式中的幂次为2(!)n n p n p p ⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
2. 带余除法：对于任意整数a ，b （0b ≠），存在唯一的一对整数q 、r ，使得a qb r =+，0r b ≤<，其中q 和r 分别称为b 除a 的商和余数。
3. 裴蜀定理（Bezout theorem ）：若a ，b 是整数，且(,)a b d =，那么对于任意的整数x 、y ，ax by +都一定是d 的倍数。
特别地，一定存在整数x 、y ，使ax by d +=成立。
推论：a ，b 互质的充要条件是存在x 、y ，使1ax by +=。
n 个整数的裴蜀定理：设1a ，2a ，，n a 是不全为零的整数，d 是它们的最大公约数， 那么存在整数1x ，2x ，，n x ，使得1122n n a x a x a x d +++=，即（1a ，2a ，，n a ）|d 。
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柳州铁一中学高2013级高三自主招生数学培训——数论
数论是研究整数的性质和方程的整数解的一门学科。
它起源于古代的东方，距今已有3000年的历史。
数论也叫整数论，其研究对象是自然数。
由于其形式简单，意义明确，基础知识较为简单，但处理问题方法技巧性很强，在培养人们思维能力方面有着重要作用，因而在国内外数学竞赛中占有重要地位。
一．数的整除
1.整数的概念和性质
猜想：
证明：
2.带余除法
（可考虑数学归纳法）
二．同余
以下定理请同学们证明并会应用，页面所限，后面补充！
讨论下述例题。