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常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系、充分条件与必要条件（一）【知识梳理】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：；否命题：；逆否命题：(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的条件；若q⇒p，则p叫做q的条件；如果p⇔q，则p叫做q的条件（二）【范例导航】探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．探究点三充要条件的证明例3设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.（三）【巩固练习】1．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0 2．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b∈M，则a∉M 二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（一）【知识梳理】1．逻辑联结词命题中的叫做逻辑联结词．“p且q”记作，“p或q”记作，“p”记作2．命题p∧q，p∨q，非p3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定（二）【范例导航】探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假例1写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“非p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，则下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧非q ”是假命题；③命题“非p ∨q ”是真命题；④命题“非p ∨非q ”是假命题，其中正确．．的是( ) 探究点二全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12. （） (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. （）(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . （） (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3. （）变式迁移2下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3探究点三全称命题与特称命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3 命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R,2x >0 （三）【巩固练习】1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<02．若命题p ：x ∈A ∩B ，则綈p 是( )A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∪B3．若p 、q 是两个简单命题，且“p ∨q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 5．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4三、期末试题案例1。

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目标认知：考试大纲要求：重点：难点：：知识点一：命题：定义：“”“”能帮助判断。

如：一定推出.“”“不一定等于逻辑联结词：）复合命题的真假判断（利用真值表）：非“或”.“p 且q”“p 或q”.123(4知识点二：四种命题四种命题的形式：分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 否命题：若p 则q 逆否命题：若q 则p.建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙2. 四种命题的关系： ①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.四种命题及其关系：关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；5．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及2=x 3=x 0652=+-x x 命题的否定，并判其真假。

解: 逆命题：若，则或，是真命题；0652=+-x x 2=x 3=x 否命题：若且，则，是真命题；2≠x 3≠x 0652≠+-x x 逆否命题：若，则且，是真命题。

0652≠+-x x 2≠x 3≠x 命题的否定：若或，则，是假命题。

2=x 3=x 0652≠+-x x 知识点三：充分条件与必要条件：1. 定义：对于“若p 则q”形式的命题： ①若p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若pq ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p q ，又有qp ，记作pq ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.判断命题充要条件的三种方法建议收藏下载本文，以便随时学习！与；与；与的等价关系，对于A B A B A BB A A B.“”“，且”是的充分不必要条件“”“”是的充分必要条件678C．充要条件9知识点四：全称量词与存在量词：全称量词与存在量词：“”建议收藏下载本文，以便随时学习！“”“”“”对含有一个量词的命题进行否定：：，他的否定：：，他的否定：规律方法指导： ②判断其中简单命题p 和q 的真假； ③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.类型二：四种命题及其关系： 10. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

(完整版)常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。

常用逻辑用语课件PPT

解析答案
12345
5.若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x|x<m} {x|x>2或x<1}. ∴m≤1.
解析答案
课堂小结
1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
答案
思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？答案充分条件. (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？答案必要条件.
答案
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题型探究
题型一充分条件、必要条件例1 给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；解 ∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；解 ∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p. ∴p是q的充分不必要条件.
知识梳理
自主学习
知识点充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件 . (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第2讲集合的表示方法教师版

第2讲集合的表示【知识梳理】知识点一列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【要点讲解】使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.【知识精讲】例1 (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．9 (2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．【解】选B (1)∵x ∈A ，∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．【变式训练】1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .解：对任意a ∈A ，有|a |∈B .因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}.2、用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合．解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}．3、用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．解：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．4、用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}．解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1.∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．【方法技巧总结】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．【知识梳理】知识点二描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【要点讲解】1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.例1 (1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【解】(1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．【答案】(1)①∈∉②∈【变式训练】1、下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.2、试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．3、用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．解：{(x，y)|y＝x2－2}．4、用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．5、集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}D．{x|x＝(－1)n-1(2n＋1)，n∈N}【解】选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.【方法技巧总结】利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．知识点三集合表示的综合应用【知识梳理】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．【知识精讲】题型1 选择适当的方法表示集合例1 用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．【变式训练】1、若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.【答案】{2 000,2 001,2 004}【解析】由A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x 2∈{0,1,4}，x 2＋2 000的值为2 000,2001,2 004，所以B ＝{2 000,2 001,2 004}．2、设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x N x 26|. ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .【解】①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N. 所以1∈B,2∉B .②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．题型2 新定义的集合例2 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{}5n ＋k |n ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a ，b 属于同一“类”，则a －b ∈[0]；④若a －b ∈[0]，则整数a ，b 属于同一“类”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析由于[k ]＝{ 5n ＋k |n ∈Z|，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a ，b 是同一“类”，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，则a －b ＝5(n 1－n 2)能被5整除，∴a －b ∈[0]，∴③正确；对于④，若a －b ∈[0]，则可设a －b ＝5n ，n ∈Z ，即a ＝5n ＋b ，n ∈Z ，不妨令b ＝5m ＋k ，m ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，则a ＝5n ＋5m ＋k ＝5(m ＋n )＋k ，m ∈Z ，n ∈Z ，∴a ，b 属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个．【变式训练】1、定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 中的所有元素之和为________．答案 6解析由题意得t ＝0,2,4，即A ※B ＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A ※B 中的所有元素之和为6.【易错题】[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．【解析】当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．【易错点】解答上面例题时，a ＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是a ＝0，即它是一元一次方程；二是a ≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．【易错点训练】1、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或没有元素．当A 中只有一个元素时，由例题可知，a ＝0或a ＝1.当A 中没有元素时，Δ＝4－4a <0，即a >1.故当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．2、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1.∴A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ≤1}．3、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若1∈A ，则a 为何值？解：∵1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.4、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：∵A ＝{1}，∴1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.又当a ＝－3时，由－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝－13或x ＝1，即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾．故不存在实数a ，使A ＝{1}．【课堂小测】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y |y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0} 解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________.解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，∴B ＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(6)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x |x 是梯形}或{梯形}．(4){x |x ＝3n ，n ∈Z}．(5){1,2}．(6){x |x >3}．【课后作业】一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2}D ．{(1,2)} 考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合答案 C解析方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合．2．集合A ＝{x ∈Z|－2<x <3}的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点用描述法表示集合题点用描述法表示有限数集答案 D解析因为A ＝{x ∈Z|－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合考点用描述法表示集合题点用描述法表示点集答案 D解析集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 C解析当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( )A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2}考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案 A解析元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等．6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )A.{}x |x 是小于18的正奇数B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5 考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 D解析对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.7．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 考点用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 D解析 ∵集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3为偶数，故D 错误．8．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )A ．18B ．17C ．16D ．15答案 B解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.二、填空题9．集合{x ∈N|x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 {1}解析由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.10．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合答案 3解析根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．11．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －23<0，则集合A －B ＝________.考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案 {x |x ≥2}解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}．三、解答题12．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．考点用描述法表示集合题点用描述法表示集合的综合问题解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．13．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q}．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．四、探究与拓展14．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c ) 考点用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 C解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．故选C.15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。

(完整word版)常用逻辑用语知识点归纳,推荐文档

常用逻辑用语知识点归纳
1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）
（1）四种命题的关系，
（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）
（a）原命题与其逆否命题同真、同假。

（b）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件
（1）定义：若p成立，则q成立，即p q时，p是q的充分条件。

同时q是p的必要条件。

若p成立，则q成立，且q成立，则p成立，即p q且q p，则p与q互为充要条件。

（2）判断方法：
（i）定义法，
（ii）集合法：设使p成立的条件组成的集合是A，使q成立的条件组成的集合为B，若A B则p 是q的充分条件。

同时q是p的必要条件。

若A=B，则p与q互为充要条件。

（iii）命题法：假设命题："若p则q”当原命题为真时，p是q的充分条件。

当其逆命题也为真时，p与q互为充要条件。

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：
用集合法判断看，前者：集合A是集合B的子集；后者：集合A是集合B的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）
（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

4.逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：
注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结在数学和日常的逻辑思考中，常用逻辑用语是非常重要的工具，它们帮助我们清晰准确地表达思想、进行推理和判断。

下面就让我们来一起总结一下常用逻辑用语的相关知识点。

一、命题命题是能够判断真假的陈述句。

比如“今天是晴天”，如果今天确实是晴天，那么这个命题就是真的；如果今天不是晴天，那么这个命题就是假的。

需要注意的是，疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。

命题又分为真命题和假命题。

真命题就是判断为真的命题，假命题则是判断为假的命题。

二、四种命题及其关系1、原命题：若 p，则 q。

2、逆命题：若 q，则 p。

3、否命题：若¬p，则¬q。

4、逆否命题：若¬q，则¬p。

其中，原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假。

这两对关系在推理和证明中经常被用到。

三、充分条件与必要条件如果有“若 p，则q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

例如，“如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除”，“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的充分条件，“这个数能被 2 整除”就是“一个数是偶数”的必要条件。

充分不必要条件：p 能推出 q，但 q 不能推出 p。

必要不充分条件：q 能推出 p，但 p 不能推出 q。

充要条件：p 能推出 q，q 也能推出 p。

四、逻辑联结词1、“且”（∧）：表示两个命题同时成立。

例如，命题 p：今天是星期一；命题 q：今天是晴天。

那么“今天是星期一且今天是晴天”就是用“且”联结的复合命题。

只有当 p 和 q 都为真时，“p 且q”为真。

2、“或”（∨）：表示两个命题至少有一个成立。

例如，“今天是星期一或今天是晴天”，只要 p 和 q 中有一个为真，“p 或q”就为真。

3、“非”（¬）：表示对一个命题的否定。

例如，命题 p：今天是星期一，那么“非p”就是“今天不是星期一”。

当 p 为真时，“非p”为假；当 p 为假时，“非p”为真。

高中数学：常用逻辑用语

常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。

其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件（1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。

（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。

5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命题表述形式原命题若p 则q 逆命题若q 则p 否命题若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。

高中数学第1章常用逻辑用语 1

§1.3简单的逻辑联结词知识点一由简单命题写出复合命题分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N⃘Z.(3)p∨q：x2＋1≠x－4；p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；綈p：x2＋1≤x－4.知识点二从复合命题中找出简单命题指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1或x>2}；(4)他是运动员兼教练员．解(1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．(2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．(3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}．(4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：3>3，q：3＝3；(2)p：∅{0}，q：0∈∅；(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．解(1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．(2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．知识点四非命题与否命题写出下列命题的否定及命题的否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)面积相等的三角形是全等三角形．解(1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．考题赏析1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.上述命题中为真命题的是________．解析p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．答案②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为()①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．A．②③B．②④C．①③D．①④答案 C解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选C.2．条件p：x∈A∪B，则綈p是()A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉BC ．x ∈A ∩BD ．x ∉A 或x ∈B 答案 B解析因x ∈A ∪B ⇔x ∈A 或x ∈B ，所以綈p 为x ∉A 且x ∉B ，故选B.3．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或綈q 是真命题； ②p 或綈q 是假命题； ③綈p 且綈q 是假命题； ④綈p 或q 是假命题，其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为p 且q 为真，所以p 与q 都为真，所以綈p 且綈q 为假．所以只有①③是真命题，所以选C. 4．若命题“p ∧q ”为假，且“綈p ”为假，则( ) A ．p ∨q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假答案 B解析綈p 为假，则p 为真，又p ∧q 为假，所以q 为假．所以选B. 5．“a ≥5且b ≥2”的否定是________．答案 a <5或b <2解析本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”，“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”． 6．命题p ：{2}∈{2,3}，q ：{2}⊆{2,3}，则下列对复合命题的判断，正确的是________．(填上所有正确的序号)①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．答案 ①④⑤⑥解析由题可知p 为假，q 为真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假．答案为①④⑤⑥.7．已知p ：3－x ≤0或3－x >4，q ：5x ＋2<1，求p ∧q .解由3－x ≤0或3－x >4，解得p ：x ≥3或x <－1；由5x ＋2－1<0，即3－x x ＋2<0，解得q ：x <－2或x >3.所以p ∧q ：x <－2或x >3.8．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.若p真q 假，则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52＝⎣⎡⎭⎫12，1. 若p 假q 真，注意到已知a ＞0，a ≠1，所以有 a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.讲练学案部分知识点一含逻辑联结词的命题的构成将下列命题写成“p ∧q ”“p ∨q ”和“綈p ”的形式： (1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；(2)p ：能被5整除的整数的个位数一定为5，q ：能被5整除的整数的个位数一定为0. 解 (1)p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且平分． p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或平分．綈p ：菱形的对角线不互相垂直．(2)p ∧q ：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0； p ∨q ：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；綈p ：能被5整除的整数的个位数一定不为5.【反思感悟】简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p ∨q 不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p 、q 都是假命题，则p ∨q 也为假命题．判断下列命题是否是复合命题并说明理由．(1)2是4和6的约数；(2)不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或x <2.解 (1)是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数．(2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3是假命题，不等式x 2－5x ＋6>0的解为x <2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p 、q 都假，则p ∨q 一定假矛盾．命题“不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或解为x <2”是p ∨q 的形式．知识点二含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．【反思感悟】判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是对应p 、q 的真假及“p ∧q ”“p ∨q ”为真时的判定依据，至于“綈p ”的真假，可就p 的真假判断，也可就“綈p ”直接判断．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q ，也属于集合R ； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．(3)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 为真命题，所以“綈p ”为假命题，故原命题为假命题．知识点三简单的逻辑联结词的综合应用已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．【反思感悟】由p 、q 的真假，可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”的真假．反之，由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假，也能推断p 、q 的真假，如“p ∧q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等负根．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．(1)当m 为何值时，p 或q 为真？ (2)当m 为何值时，p 且q 为真？解由已知可知：p 真时m >2，q 真时1<m <3， (1)若p 或q 为真，只需m ∈{m |m >2}∪{m |1<m <3} ＝{m |m >1}．(2)若p 且q 为真，只需m ∈{m |m >2}∩{m |1<m <3} ＝{m |2<m <3}.课堂小结：1. 从集合的角度理解“且”“或”“非”. 设命题p ：x ∈A.命题q ：x ∈B. 则p ∧qx ∈A 且x ∈Bx ∈A ∩B ；p ∨q x ∈A 或x ∈B x ∈A ∪B ；2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p 、q 都为真，p ∧q 才为真；⌝p 与p 的真假性相反且一定有一个为真.当p 、q 有一个为真，p ∨q 即为真； 3.含有逻辑联结词的命题否定（1）“x=0或x=1”的否定是“x ≠0且x ≠1”而不是“x ≠0或x ≠1”; （2）“x 、y 全为0”的否定是“x 、y 不全为0”，而不是“x 、y 全不为0”；（3）“全等三角形一定是相似三角形”的否定是“全等三角形一定不是相似三角形”而不是“全等三角形不一定是相似三角形”.一、选择题1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．2．如果原命题的结论是“p 且q ”的形式，那么否命题的结论形式为( ) A ．綈p 且綈q B ．綈p 或綈q C ．綈p 或q D ．綈q 或p 答案 B解析注意逻辑联结词的否定，“或”的否定是“且”，“且”的否定为“或”，所以p 且q 的否定为綈p 或綈q .所以选B.3．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真答案 C解析由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．4．若p 、q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真答案 B解析因为p 或q 的否定綈p 且綈q 为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，所以p 与q 都为假命题．所以选B.5．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形答案 D解析 A 中的命题是条件复合的简单命题，B 中的命题是结论复合的简单命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型．二、填空题6．由命题p ：6是12的约数，命题q ：6是24的约数．构成的“p ∨q ”形式的命题是______________________________，“p ∧q ”形式的命题是______________________________，“綈p ”形式的命题是________________________________．答案 6是12或24的约数 6是12和24的约数 6不是12的约数7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________．答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．8．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．答案綈p 解析对于p 当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.三、解答题9．判断下列复合命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题． 10．已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12.q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数 ⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1.⇒m ≥1.(2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤120<m <1⇒0<m ≤12综上，得m ≥1或0<m ≤12.。

逻辑学知识点及公式

逻辑学知识点及公式逻辑学是一门研究思维形式、思维规律和思维方法的科学。

它对于我们正确地思考、表达和论证具有重要的意义。

下面为您介绍一些常见的逻辑学知识点及公式。

一、命题逻辑1、命题命题是具有真假值的陈述句。

例如，“今天是晴天”“2 ＋ 3 ＝5”等。

2、逻辑连接词（1）“且”（用“∧”表示）：两个命题都为真时，其组合命题才为真。

例如：命题 P：今天是晴天；命题 Q：我心情很好。

P∧Q 只有在今天是晴天并且我心情很好时才为真。

（2）“或”（用“∨”表示）：两个命题中至少有一个为真时，其组合命题为真。

例如：命题 P：我吃苹果；命题 Q：我吃香蕉。

P∨Q 在我吃苹果或者我吃香蕉或者两者都有时为真。

（3）“非”（用“¬”表示）：对原命题的否定。

例如：命题 P：今天下雨。

¬P 则表示今天不下雨。

3、命题公式的真值表通过列出命题中变量的所有可能取值，并计算出整个命题公式的真假值，可以得到真值表。

4、等价式（1）双重否定律：¬¬P ＝ P（2）交换律：P∧Q ＝ Q∧P，P∨Q ＝ Q∨P（3）结合律：（P∧Q)∧R ＝ P∧（Q∧R)，（P∨Q)∨R ＝ P∨（Q∨R)5、蕴含式如果 P 则 Q，记作P → Q。

只有当 P 为真且 Q 为假时，P → Q 为假。

二、谓词逻辑1、个体、谓词和量词个体是指可以独立存在的事物，谓词是描述个体性质或关系的词语，量词包括全称量词（“所有”，用“∀”表示）和存在量词（“存在”，用“∃”表示）。

2、公式例如，∀x （P(x) → Q(x)）表示对于所有的 x，若 P(x) 成立则 Q(x) 成立。

三、推理规则1、假言推理如果P → Q 为真，且 P 为真，那么可以推出 Q 为真。

2、选言推理（1）否定肯定式：P∨Q，¬P ，则 Q。

（2）肯定否定式：P∨Q，P ，则¬Q （这种情况在不相容选言中成立）3、三段论推理例如：所有的人都会思考，张三是人，所以张三会思考。

1 第02讲常用逻辑用语

第02讲常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；（2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；（3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤ 3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（） A ．-2B ．-1C ．0D ．12．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（）A ．,[)0b ∈+∞B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围.高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x <D ．3x >4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x <<D ．24x -<<5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0-6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 2．下列命题中的假命题是（）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>3．在下列命题中，是真命题的是（）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 4．下列命题为真命题的是（） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥5．下列命题中的假命题的是（） A ．B ．C ．D ．高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________.4．命题“0x R x x ∈∃，”的否定是___________. 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（） A ．1B ．14C ．12D ．-15．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．“x =1”是“2320x x -+=”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件7．下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（） A ．[0,4]B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 三、解答题13．已知集合()(){}3|10,|12A x x a x a B x x ⎧⎫=--+≤=>⎨⎬+⎩⎭． (1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题22:,(21)8p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．14．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．15．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.第02讲常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；（2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；（3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件故选：B2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤【答案】D解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，故选：D3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D 命题“，”为特称量词命题，其否定为，；故选：D4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0 【答案】A设p: 0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由: 0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选：A高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C已知A ，B 为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而p 不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，第四部分：例题剖析一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则p 是的必要不充分条件故选：C2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C对于p ，如果x =1.5，则q 不能成立，如果，则x 必然在区间内，因此p 为q 的必要不充分条件；故选：C.3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，由，故充分性成立，当时，比如，满足，但，故必要性不成立.故选：A4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 解不等式可得，，又，反之不成立，所以“”是“111x >-”的必要不充分条件，故选：B.5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 函数－kx －k 的值恒为正值，则，∵，∴“”是“函数－kx －k 的值恒为正值”的必要不充分条件.故选：B.高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D 由，得或，因为”的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a 的最大值为1，故选：D2．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（） A ．,[)0b ∈+∞ B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞【答案】B函数2()f x x bx c =++的单调递增区间是，依题意，，于是得，解得，所以函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是. 故选：B3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】由题意得，，由是成立的一个充分而不必要条件，得，即解得，，故答案为：.4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】或（4，6]解析：122x x -≥-移项整理可得，解得．22x a -<得．由题意得：122a -+≤且132a+>，从而得出．故答案为：5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围. 【答案】(1)；(2). (1)由题设，，当时，所以；(2)由题设，，且，若p 是的必要不充分条件，则，又a 为正实数，即，解得，故的取值范围为. 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 解不等式得：，即，显然{|13}x x -<< ，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：C2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 解：因为，所以，解得；由，即，解得；所以与互相不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；故选：D3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x < D ．3x >【答案】D 因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x << D ．24x -<<【答案】A 解不等式得：，对于A ，因，即是成立的充分不必要条件，A 正确；对于B ，是成立的充要条件，B 不正确；对于C ，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C 不正确；对于D ，因，则是成立的必要不充分条件，D 不正确. 故选：A5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0- 【答案】B命题”为假命题，命题“，220ax ax --”为真命题，当时，20-成立，当时，，故方程的解得：80a -<，故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B 满足题意.故选：B6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】．因是的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 【答案】C 由于对任意，都有，因而有，故A 为假命题．由于，当时，不成立，故B 为假命题．由于，当时，，故C 为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数平方等于3，故D 是假命题．故选：C2．下列命题中的假命题是（）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>【答案】B 解：对A ：取，则成立，故选项A 正确；对B ：当时，没有意义，故选项B 错误；对C ：取，则成了，故选项C 正确；对D ：由指数函数的性质有成立，故选项D 正确.故选：B.3．在下列命题中，是真命题的是（）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 【答案】B 选项A ，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B ，，，故该选项正确；选项C ，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D ，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B.4．下列命题为真命题的是（） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥【答案】D对于A 选项，当0x <且，，A 选项错误；对于B 选项，当0x <时，，B 选项错误；对于C 选项，，C 选项错误；对于D 选项，构造函数，其中，则()1sin 0f x x '=-≥，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，，，D 选项正确.故选：D.5．下列命题中的假命题的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 当时，，显然选项B 错误，故选B. 高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->【答案】B∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定， ∴“，”的否定为“，”，故选：. 2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 【答案】B 由得：0x <或，所以的否定是.所以，命题的否定是“，”.故选：B.3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________. 【答案】，有题“，都有”的否定是：．故答案为：．4．命题“0x R x x ∈∃+≥，”的否定是___________. 【答案】，.特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞【答案】C 由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C 先求当命题p ：，为真命题时的的取值范围（1）若，则不等式等价为，对于不成立，（2）若不为0，则，解得13a >，∴命题p 为真命题的的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <- B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<【答案】B 因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B ．4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C由不等式230x mx m +-≥，可化为，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以函数的最大值为，要使得存在，使得230x mx m +-≥，则，则的最大值为.故选：C.5．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】（由题意知：不等式对x ∈R 恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得304a <<，所以的取值范围是(，故答案为：（.6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】当，有，则，，使得()()12f x g x >成立，等价于，，即，在上恒成立，参变分离可得：，当，，当时取等，所以，故答案为：.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 【答案】解：因为命题“，使得不等式”是真命题当时，10≥恒成立，满足条件；当时，则解得综上可得即故答案为：8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．【答案】若，使是假命题，则，使是真命题，当转化，不合题意；当，使即恒成立，即，解得或（舍），所以，故答案为：9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．【答案】∵ 命题，恒成立是假命题，∴ ，，∴ ，，又函数在为减函数，∴ ，∴，∴ 实数a 的取值范围是（, 故答案为：（.10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】存在x ∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，设，，易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∨【答案】A 由于，所以命题p 为真命题；由于在R 上为增函数，0x ≥，所以，所以命题为真第五部分：高考真题命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A ．2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 由题意，若，则，故充分性成立；若，则或6a <-，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．“x =1”是“2320x x -+=”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 将代入中可得,即“”是“”的充分条件；由可得,即或2x =,所以“”不是“”的必要条件,故选:A4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.7．下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【答案】D A 项：因为，所以且是假命题，A 错误；B 项：根据、易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知，C 错误；D 项：2x 恒大于等于，D 正确，故选：D.一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 【答案】B 因为命题，，所以为，.故选：B.2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（） A ．[0,4] B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]【答案】C 因为 “，”是假命题，所以 “，”是真命题，所以当时，90>成立；当时，则，解得04a <<，综上：04a ≤<，所以a 的取值范围为，故选：C3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞【答案】C 因为命题“存在，使得”是假命题，所以命题“对任意，都有”是真命题.令函数，显然在上单调递增，则，故，即12m ≥.故选：C4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B第六部分：课后测试因为，但，故不充分；因为，所以当时，，故必要；故选:B5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以1a b -<⇒，而1a b +<⇒，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C A.令，由，解得，由二次函数的性质知：t 在上递增，在上递减，又lg y t =在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B. 当时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p 任意x ∈R ，均有，故正确；故选：C7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】C，若在上不单调，令，对称轴方程为，则函数与轴在上有交点．当时，显然不成立；当时，有解得或．四个选项中的范围，只有为的真子集，∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选：C ．8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <【答案】B 由得，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B 二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________. 【答案】由，得,令，，“”是“”成立的必要不充分条件，BA ∴.（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.故答案为：中任何一个均可.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．【答案】．因为￢q 是￢p 的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，由不等式，可得，由不等式，可得，所以，因为p 是q 的必要不充分条件，所以，解得，故实数m 的取值范围是．故答案为：．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______. 【答案】因为若对，，使得，所以，因为的对称轴为，所以，因为，，所以所以，即所以12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】。

高二数学知识点之常用逻辑用语

高二数学知识点之常用逻辑用语高中是每位家长和小孩人一辈子的转折，为了关心考生更好的备考高考，查字典数学网为你整理了高二数学知识点之常用逻辑用语。

常用逻辑用语：1、四种命题：⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若p则q;⑷逆否命题：若q则p注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

判定命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是;否命题是.命题或的否定是且且的否定是或.3、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q; p q p q p q p⑵或(or)：命题形式p q; 真真真真假⑶非(not)：命题形式p . 真假假真假假真假真真假假假假真或命题的真假特点是一真即真，要假全假且命题的真假特点是一假即假，要真全真非命题的真假特点是一真一假4、充要条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、制造和进展。

短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

高中数学知识点总结：常用逻辑用语

高中数学知识点总结：常用逻辑用语
高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中数学知识点总结：常用逻辑用语，各位考生可以参考。

常用逻辑用语：
1、四种命题：
⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若 p 则q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ;否命题是 .命题或的否定是且且的否定是或 .
3、逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真真真真假
⑶非(not)：命题形式 p . 真假假真假
假真假真真
假假假假真
或命题的真假特点是一真即真，要假全假
且命题的真假特点是一假即假，要真全真
非命题的真假特点是一真一假
4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：
短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

全称命题p： ; 全称命题p的否定 p：。

特称命题p： ; 特称命题p的否定 p：
以上就是高中数学知识点总结：常用逻辑用语的全部内容，更多考试资讯请继续关注!。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结在数学的学习中，常用逻辑用语是非常重要的一部分，它能够帮助我们清晰、准确地表达思维和推理过程。

下面就来详细总结一下常用逻辑用语的相关知识点。

一、命题命题是能够判断真假的陈述句。

比如“2 是偶数”，这是一个真命题；“1 ＋ 1 ＝4”，这是一个假命题。

需要注意的是，疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。

命题通常用小写字母 p，q，r 等来表示。

根据命题的真假情况，命题可以分为真命题和假命题。

二、四种命题及其关系1、原命题：若 p，则 q。

2、逆命题：若 q，则 p。

3、否命题：若¬p，则¬q。

4、逆否命题：若¬q，则¬p。

原命题和逆否命题、逆命题和否命题互为逆否关系，它们的真假性相同。

例如，原命题“若 a ＞ 0，则 a²＞0”是真命题，那么它的逆否命题“若a² ≤ 0，则a ≤ 0”也是真命题。

三、充分条件与必要条件如果有“若 p，则q”为真命题，那么就说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

比如“若 x ＞ 2，则 x ＞1”，因为 x ＞ 2 能推出 x ＞ 1，所以“x ＞2”是“x ＞1”的充分条件，“x ＞ 1”是“x ＞2”的必要条件。

充分不必要条件：p 能推出 q，但 q 不能推出 p。

必要不充分条件：q 能推出 p，但 p 不能推出 q。

充要条件：p 能推出 q，q 也能推出 p。

四、逻辑联结词1、“且”（∧）：当两个命题 p 和 q 都为真时，p ∧ q 为真；只要有一个为假，p ∧ q 就为假。

例如，命题“2 是偶数且 3 是奇数”是真命题，因为“2 是偶数”和“3是奇数”都是真命题。

2、“或”（∨）：只要两个命题 p 和 q 中有一个为真，p ∨ q 就为真；只有两个都为假时，p ∨ q 才为假。

比如，“2 是奇数或 3 是偶数”是假命题，因为“2 是奇数”和“3 是偶数”都是假命题。

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