集合的深入研究

集合

摘要

集合论是当代数学的基础。学习集合，不仅应从本质上去理解与集合有关的各个概念、性质和运用法则，更重要的是在解题的过程中自觉地应用集合的语言和方法去表示各种数量关系，解决各种数学问题。

关键词集合，概念，性质，法则

引言

集合是近现代数学最基本的内容之一。集合概念及其理论，成为集合论，是近现代数学的一个重要基础。一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合论的基础上，另一方面，集合论及其所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用。通过学习集合，让我们对集合有一定程度的了解，如学会集合的表示方法，知道常用集合的字母表示，能够正确区分元素与集合之间的关系等内容。

集合的由来[1]

康托是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。

19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关

于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

集合的发展[2]

然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。

在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R 。现在问R 是否属于R ？如果R 属于R ，则R 满足R 的定义，因此R 不应属于自身，即R 不属于R ；另一方面，如果R 不属于R ，则R 不满足R 的定义，因此R 应属于自身，即R 属于R 。这样，不论何种情况都存在着矛盾。

这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。 1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF 公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。

与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。

公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”

集合的内容

1.1集合的定义

集合是数学中最基本概念，它已深入各个科学领域中，特别是应用于数学的各个分支中.

一般地我们用大写字母C B A ,,表示集合.集合中的每一个个体称之为集合中的元素,一般地集合中的元素用小写字母c b a ,,…表示.

1.2集合的性质[ 3]

（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，任何一个元素在不在这个集合中就确定了，不能含糊不清、模棱两可。如直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的点，（1，1）在这个集合里，(0,1)不在这个集合里。而所有的好人、从分接近2的实数

均不能构成集合。

（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。如{1,0,0}的写法就不正确，应该写成{1,0}。相同的元素在集合中只能算一个。如一元二次方程y=(x-1)2的根构成的集合是{1}。

（3）无序性：对于有限集，用列举法表示的时候，元素是无次序关系的。如{1，2}可写成{2,1}。但是在表示无限集的时候，如{x|=2k+1,k ∈N}不要写成{1,2,3,5，4……}因为这时元素的顺序表示的是一种规律。

1.3集合的表示方法[ 4]

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。列举法适合于元素个数较少的集合。列举时要注意以下三点①元素间用‘，’隔开；②元素不重复、无顺序③对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号④另外要注意元素的表达方

|33|0y +=的解集B={(1,1)}。

（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。用描述法的时候应该注意以下几点①不能出现未能出现或未被说明的字母②多层描述时，应当准确使用“或”、“且”。如第四象限内的点集可表示为{(x,y)|x>0,且y<0};③语句尽量简洁，确切。③集合与它代表的元素所采用的字母无关，而与代表元素的形式相关。如{x|x ≥1}={y|y=x2+1,x ∈R}

（3）图示法：图形表示法能直观地表达意思，比如V enn 图、平面直角坐标系。数集之间的关系常用数轴表示。

V enn 图，若集合B 是A 的子集，则由V enn 图可知U B A=∅I ð

数轴：集合A ＝{x|x<2},B={x|x ≤1},则A ∩B ＝{x|1≤x<2}。12用数轴表示的时候应注意两点。①能取到的点用实心表示，否则用空心圆区分②大于小于用折线表示，这样会清晰一点。

1.4某些集合常用固定表示方法

(1) 所有自然数的集合,用N 表示.