重庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷（理科） 2016.1

（时间：120分钟 分数：150分）

一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．复数31i

i

-（i 是虚数单位）的虚部是（ ）

（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）3

2

-

2．定积分

()3

2sin x x dx ππ-

+⎰等于（ ）

（A ）0 （B ）

2

192π- （C ）2219π- （D ）2

219

π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，0422

3

≠+++x x e x

，则⌝p 为（ ）

（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得0422

0300≠+++x x e x

（C ）R x ∈∃，使得0422

3

=+++x x e x

（D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x e x

4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）

（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点

5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆07222

2

=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN

的长的最小值为（ ）

（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）2

6．()()830+-

（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-x

7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为

11

2121

y y x x y y x x --=--；

②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。其中正确结论有（ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个

8．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，且()()10,a b i a b R +-<∈，复数z 满足

||3z =，则||z a bi +-的最大值．．．

为（ ） （A ）53- （B ）2 （C ）53+ （D ）26

9．（原创）在ABCD 中，已知()3,0C -，()3,0D ，点,E F 满足3AC AE = ，2DF FA = ，

且||||4CF DE -=

，则点A 的轨迹方程是（ ）

（A ）15422=-

y x （B ）()215422≥=-x y x （C ）127922=-y x （D ）()3127

92

2≥=-x y x 10．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在平面ABCD 上，满足PA PC 31=，则点

P 的轨迹为（ ）

（A ）直线 （B ）一段圆弧 （C ）椭圆 （D ）圆

11．（原创）点()()1,0P t t >是椭圆22

143

x y +=上一点，,A B 是该椭圆上异于点P 的两个点，且直线,PA PB 的倾斜角分别为0

72和0

108，则直线AB 的斜率为（ ） （A ）12-

或12

（B ）0tan18 （C ）12 （D ）0

tan 36

12．（原创）观察下列不等式：317126+<，33112912324++<，40

49

4131211333<+++，

33331111371234530++++<，……。照此规律，第五个．．．不等式为33333

11111123456+++++<（ ） （A ）

2621 （B ）2920 （C ）5467 （D ）95

78

二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38=S ，则=+++7632a a a a _____________。 14．已知函数()ax e x f x

-=在()+∞,3单调递增，则实数a 的取值范围是_____________。

15．（原创）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，己知81=AA ，点,E F 分别的棱11,BB CC 上，且

满足3==BE AB ，12FC =，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值等于 。

16．（原创）设F 是椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点，过F 的直线与椭圆C 交于,A B

两点，分别过,A B 作椭圆C 的切线并相交于点P ，线段OP （O 为坐标原点）交椭圆C 于点Q ，

满足2OQ QP = ，且0FQ OF ⋅=

，则椭圆C 的离心率为 。

三．解答题（本题共6个小题，共70分。要求每道题都必须写出必要的过程）

17．（本题满分10分）已知函数()()

32-=x e x f x 。 ⑴求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵求函数()x f y =的极值。

18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知4=a ，3=c ，

3

1cos -=A 。

⑴求角C 的大小； ⑵求ABC ∆的面积。

19．（原创）（本题满分12分）数列{}n a 满足()

++∈--=N n a a a n n n 4

9

21，且21=a 。

⑴写出432,,a a a 的值；

⑵归纳猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明； ⑶设()()()

++∈--=N n a a b n n n 331，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

20．（原创）（本题满分12分）如右图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆是边长为4的正三角形，M 为PD 的中点，底面ABCD 是矩形，3=CD 。

⑴求异面直线PB 与CM 所成的角α的余弦值；

⑵求直线AC 与平面PCM 所成的角β的正切值。