高数第八章无穷级数课堂练习题及答案详解

1. (1)n1 xn
n 1
n
（提示：
(1)n1
xn
x2 x
x3
x4
L
(1)n1
xn
L
）
n 1
n
234
n
解： (1) R lim an lim n 1 1 ，所以收敛半径 R 1
a n n 1
n n
当 x 1 时，级数成为 (1)n 该级数收敛；当 x 1 时，级数成为 1 该级数发散.
a n n 1
n (n 1)(n 2)
n n 2
当 x 1时， n(n 1) 与 (1)n n(n 1) 均发散，
n 1
n 1
所以幂级数 n(n 1)xn 的收敛域是 (1,1) . n 1
（2）设和函数 S (x) n(n 1)xn (1 x 1) n 1
（ (xn1) n(n 1)xn1, xn xxn1 ）
np
n 1
np
n 1
np
n 1
所以当
0
p
1时，
n 1
(1)n1 np
条件收敛；当
p
1时，
n 1
(1)n1 np
绝对收敛.
归纳得：级数 (1)n1 ，当 p 0 时发散，当 0 p 1时条件收敛；当 p 1时绝对收敛。
np
n 1
五. 求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域内的和函数
|
(1)n1
|
1 ，因为 lim 1
1 lim n ，且 1 发散，
n1 ln(n 1) n1 ln(n 1)
n ln(n 1) n n ln(n 1)
n1 n
所以由比较判别法极限形式知
1 发散.
n1 ln(n 1)
又因为 un
1 ln(n 1)
1 ln(n
2)
un1
（
n
1, 2,3,L
若级数 un 收敛，则 un 收敛，称级数 un 绝对收敛.
n 1
n 1
n 1
若级数 un 收敛，而 un 发散，则称级数 un 为条件收敛.
n 1
n 1
n 1
任意项级数 un 的判敛步骤： n 1
(1)计算
lim
n
un
（若
lim
n
un
0 ，则
un
n 1
收敛）
(2)判断正项级数 un 的敛散性（若 un 收敛，则 un 绝对收敛）
因为 8 n1 n
8
n 1
1 n
发散，
n 1
1 3n
n 1
(1)n 3
收敛，所以级数
n 1
8 ( n
1 3n
)
发散.
3. n ln(1 1)
n 1
n
解：因为
lim
n
un
lim n ln(1
n
1) n
lim ln(1
n
1 )n n
ln e
0 ，所以级数发散.
二. 证明：若级数 un2 及 vn2 都收敛，则
n 1
n 1
n 1
即 S1(x) n(n 1)xn1 ，两边积分得 n 1
x
0 S1(t)dt
x n(n 1)t n1dt
0
x n(n 1)t n1dt (n 1)xn
0
n 1
n 1
n 1
再求 (n 1)xn 的和函数，设为 S2 (x) ，即 S2 (x) (n 1)xn ，两边积分得
收敛
2n
所以由比较法得
n cos2 n 3
收敛.
n 1
2n
四．判定下列级数是绝对收敛、条件收敛，还是发散
（交错级数的莱布尼茨判别法）若交错级数 (1)n1un （ un 0 ）满足条件 n 1
（1） un
un1 (n
1、2L
)
（2）
lim
n
un
0
则该级数收敛，且其和 S u1 .
（绝对收敛、条件收敛）设 un 为任意项级数 n 1
n 1
n 1
则(1)
unvn ；(2)
n 1
(un vn )2 ；(3)
n 1
un 都收敛。 n1 n
提示： (un vn )2 un2 vn2 2unvn 0 ，即 un2 vn2 2unvn
( un vn )2 u2n v2n 2 un vn ，0 即 un2 vn2 2 unvn
六. 幂级数的和函数的应用
1. 求级数 1 1 1 1 L 1 L 的和
1 3 2 32 3 33 4 34
n 3n
提示： 1
1
1
1
L
1
L
1 1(1)n
1 3 2 32 3 33 4 34
n 1
n 1
n 1
（ii）若 un 与 vn 均发散，则 un vn 不一定发散.
n 1
n 1
n 1
2.级数 kun ( k 为非零常数)与 un 有相同的敛散性，且 un 收敛时， kun k un .
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
3.增加、去掉或改变级数的有限项不改变级数的敛散性
n
an an1
|
lim
n
2n 2n1
2 ，当
x
2 时，级数
2
n 1
与
(2) 均不收敛，
n 1
所以幂级数
n0
xn 2n1
的收敛域是 (2, 2)
.
设和函数
S(x)
n0
xn 2n1
，
x
(2, 2)
2( x )2 2 4
n0 2 1 x 2 x 2
所以
n0
xn 2n1
4 2x
，
x (2, 2)
n 1
n 1
n 1
(3)用莱布尼茨判别法判断交错级数 un 的敛散性（若 un 收敛，则 un 条件收敛）
n 1
n 1
n 1
1. (1)n1 n1 ln(n 1)
（ lim 1 0 ） n ln(n 1)
解：
（ lim
x
lim
x
lim (x 1) ）
x ln(x 1) x [ln(x 1)] x
n1 n
n1 n
从而幂级数的收敛域为 (1, 1]
(在收敛域 (1, 1] 上，设其和函数为 S(x) )
(2)
设 S(x) x x2
x3
x4
L
(1)n1
xn
L
,
(1 x 1)
234
n
显然 S(0) 0 ，且 S(x) 1 x x2 L (1)n1 xn1 L 1 (1 x 1) 1 x
n 1
n 1
(3)取 vn
1 n
，
vn2
n 1
1 n2
收敛，由(1)知
un
n1 n
收敛.
三. 判断下列级数的敛散性(利用无穷级数的性质、几何级数或调和级数的敛散性)：
（正项级数比值判别法）设级数
un
n 1
( un
0 )， lim un1 u n
n
l
，
若 l 1，则 un 收敛；若 l 1，则 un 也发散； l 1时判别法失效.
a n n 1
n (n 1)(n 2)
n n 2
当 x 1时， n(n 1) 与 (1)n n(n 1) 均发散，
n 1
n 1
所以幂级数 n(n 1)xn 的收敛域是 (1,1) . n 1
设和函数 S(x) n(n 1)xn x n(n 1)xn1 . 先求 n(n 1)xn1 的和函数，设为 S1(x) ，
由积分公式 x S(x)dx S(x) S(0) 得 0
S(x) S(0)
x
S(x)dx
x
1
dx ln(1 x)
0
0 1 x
因题设级数在 x 1 时收敛，所以 (1)n1 xn ln(1 x), (1 x 1)
n 1
n
2. n(n 1)xn n 1
解：（1） R lim | an | lim | n(n 1) | lim n 1，
1 1)2
1 n2
（ n 1, 2,3,L
），而级数
1
2n
n 1
收敛，
所以由比较判别法可知
sin na
绝对收敛.
n1 (n 1)2
3. (1)n1 ln(1 1 )
n 1
n
（
lim(1)n
n
1
un
lim(1)n1 ln(1
n
1) n
0
）
解： (1)n ln(1 1 ) ln(1 1 ) ~ 1 (n ) ，因为 lim (1)n ln(1 1 ) 1 1，而 1 发散.
第八章 无穷级数 课堂练习题（2） 一．判断下列级数的敛散性(利用无穷级数的定义、性质、几何级数或调和级数的敛 s ， vn v ，则 un vn un vn s v
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
注：（i）若 un 收敛， vn 发散，则 un vn 发散.
n 1
n 1
x
0 S2 (t)dt
x (n 1)tndt
0
n 1
n 1
x (n 1)t ndt xn1 x2
0
n 1
1 x
上式两边对
x
求导，得
S2 (x)
d dx
x
0 S2 (t)dt
( x2 ) 1 x
2x x2 (1 x)2
，即
S2 (x)
(n 1)xn
n 1
2x x2 (1 x)2
解： Sn
ln 2 ln 3 ln 4 L 123
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) L
[ln(n 1) ln n]
l nn( 1 )
S
lim
n
Sn
lim ln(n 1)
n
，所以级数发散
2.
n 1
8 ( n
1 3n
)
解：
n
nn
n
nn
n1 n
所以由比较判别法极限形式知 ln(1 1 ) 收敛.
n 1
n
又因为 un
ln(1
1) n
ln(1
1) n 1
un1
(n
1, 2,L
)
，并且
lim
n
un
lim ln(1
n
1) n
0，
所以由莱布尼兹判别法知 (1)n ln(1 1 ) 收敛，从而为条件收敛.
n 1
n
4. (1)n1
因为 un2 及 vn2 都收敛，所以 (un2 vn2 ) 也收敛
n 1
n 1
n 1
证明：(1)因为 un2 vn2 2 unvn ， (un2 vn2 ) 收敛，所以 unvn 也收敛.
n 1
n 1
(2)因为 (un vn )2 un2 vn2 2unvn 2(un2 vn2 ) ， (un2 vn2 ) 收敛，所以 (un vn )2 也收敛.
注：即级数的敛散性与“前面的”的有限项无关，只与“后面的”无穷多项有关.
4.收敛级数任意加括号所成级数仍然收敛，且收敛于原级数的和.
注：（i）若加括号所成级数发散，则原级数必发散.
（ii）若加括号后所成级数收敛，则原级数的敛散性不确定.
5.若
un
n 1
收敛，则
lim
n
un
0
1.
ln(
n
1)
n 1
n
），并且
lim
n
un
lim 1 0 ， n ln(n 1)
所以由莱布尼兹定理知
(1)n1 收敛，从而为条件收敛.
n1 ln(n 1)
2. sin na n1 (n 1)2
（ 1 sin na 0 (n ) ，有界变量乘以无穷小） (n 1)2
解：因为
|
sin na (n 1)2
|
(n
np
n 1
解：当
p
0
时，
lim
n
(1)n1 np
不存在，此时级数
n 1
(1)n1 np
发散.
当
p 0 时，因为 un
1 np
1 (n 1) p
un1
，且
lim
n
un
1
lim
n
n
p
0，
所以由莱布尼兹定理知 (1)n1 收敛.
np
n 1
因为
(1)n1
|
|
1
， p 级数 (1)n1 ，当 0 p 1时发散，当 p 1时收敛；
x(xn1) x (xn1) x( xn1)
n 1
n 1
n 1
（逐项微分）
x(
x2
)
2x x[
x2
]
2x
1 x
(1 x)2 (1 x)3
（ xn1
x2
，首项x2，公比x ）
n1
1 x
所以 n(n 1)xn
2x
， x (1,1)
n 1
(1 x)3
解法 2： R lim | an | lim | n(n 1) | lim n 1，
n 1
n 1
（正项级数比较判别法）设级数 un ( un 0 )和 vn ( vn 0 )，若 un cvn （常数 c 0 ）
n 1
n 1
则（1） vn 收敛时， un 也收敛；（2） un 发散时， vn 也发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
1.
3n sin
n 1
5n
提示：
n
lim
n
3n 1 3n
sin sin
5n 1 5n
lim
n
3
5n 1
5n
3 1， 5
所以级数
n 1
3n
sin
5n
收敛.
2.
n cos2 n 3
n 1
2n
n cos2 n
解：因为
3
2n
n 2n
n 1
；又 lim n
2 n 1 n
lim
n
n 1 2n
1 2
1 ，由比值法知
n 1
n n2
，也即
x
2x x2
0 S1(t)dt (1 x)2
S1 ( x)
d dx
x 0
S1 (t )dt
2x x2 ( (1 x)2
)
2 (1 x)3
，两边再对 x 求导得，
由此可得 S(x)
xS1 ( x)
2x (1 x)3
，
x (1,1) .
3.
1 xn 2 n 1
n0
解：
R
lim |
因为
sin
x
x,
x
(0,
)
2
，所以
sin
5n
5n
解法 1（比较法）：因为 3n sin 3n (3)n ，几何级数 (3)n 收敛