奥林匹克训练题库·组合
奥林匹克ABC题库·杂题(二)训练A卷
奥林匹克ABC题库·杂题(二)训练A卷班级______ 姓名______ 得分______1．运算：275×35+88×360+53×275+365×88=（）2．运算：44444×55555÷11111＝（）3．运算：999999×999999+1999999=（）4．全班42人排成一列横队。
从左面数起，小华是第24个，从右面数起，小明是第24个，小华和小明之间有（）人。
5．假如被乘数增加15，乘数不变、积就增加180。
假如被乘数不变，乘数增加4，那么积就增加120，原先两个数相乘的积是（）。
6．有一个数自身相加、相减，相乘、相除，所得的结果的总和是81，那个数是（）。
7．把432个同样大小的正方形拼成一个长方形，一共有（）种不同的拼法。
8．把一个竹竿垂直插到一个蓄水池的池底，浸湿的部分是1.2米，掉过头把另一端垂直插到池底，如此没有浸湿的部分比全长的一半还少0.4米。
这根竹竿没有浸湿的部分长（）米。
9．小明在做减法时，把被减数十位上的8错看成3，把被减数个位上的5错看成6，如此算出来的差是108，正确的得数是（）。
10．有4个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数。
这四个数的积是多少？11．假如把一根长36厘米的铁丝围成长和宽差不多上整厘米数的长方形，一共有多少种围法？12．从1～9这九个数字中，每次取两个不同的数字组成一个两位数，而十位与个位上数字的和都必须比10大，如此的两位数一共有几个？13．有一块正方形木板，在它的第一边截去2分米，在相邻的第二边截去1分米，如此剩下部分的面积就比原先的少25平方分米，剩下的面积是多少平方分米？14．数一数下图中一共有（）个长方形（包括正方形）。
15．小明的妈妈买来一袋苹果和梨，已知苹果的只数是梨的2倍。
他们每天吃去5只苹果、4只梨。
(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。
公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。
（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；r n C 记为C （n,r ）。
加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。
奥林匹克训练题库·组合
组合59从分别写有2，4，6，8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法。
如果其中的“6”可以看做“9”，那么共有多少种不同的乘积？60从分别写有3，4，5，6，7， 8的六张卡片中任取三张，做三个一位数的乘法。
如果其中的“6”不能看做“9”，那么共有多少种不同的乘积？61在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条直线？多少个三角形？多少个四边形？62左下图中有多少个锐角？63直线a，b上分别有5个点和4个点（右上图），以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？多少个四边形？64半圆及其直径上共有12个点（左下图），以这些点为顶点可画出多少个三角形？65三条平行线上分别有2，4，3个点（右上图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线。
问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？66在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？67从15名同学中选5名参加数学竞赛，分别满足下列条件的选法各有多少种？（1）某两人必须入选；（2）某两人中至少有一人入选；（3）某三人中入选一人；（4）某三人不能同时都入选。
68学校乒乓球队有10名男生、8名女生，现在要选8人参加区里的比赛，在下列条件下，分别有多少种选法？（1）恰有3名女生入选；（2）至少有两名女生入选；（3）某两名女生、某两名男生必须入选；（4）某两名女生、某两名男生不能同时都入选；（5）某两名女生、某两名男生最多入选两人。
69有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军。
问：共需比赛多少场？70一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同。
从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？7110个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？7210个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？73五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种？74学校合唱团要从五年级6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种不同的抽调方法？75将三个同样的红球和四个同样的白球排成一排，要求三个红球互不相邻，共有多少种不同排法？。
六年级奥林匹克训练题库350页
第一章数字谜一找规律1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，5，8，13，（），34，……（3）1，2，4，8，16，（），……（4）2，6，12，20，（），42，……2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）2，3，5，7，11，13，（），19，……（2）1，2，2，4，8，32，（），……（3）2，5，11，23，47，（），……（4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），……3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：（1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），……（2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），……4．按规律填上第五个数组中的数：{1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ }5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式：（1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9，3＋11，1＋13，2＋15，（2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，……6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？（1）2 6 7 11 （2）2 3 14 4 ( ) 1 35 23 5 5 64 ( ) 37．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（1）3，5，7，11，15，19，23，……（2）6，12，3，27，21，10，15，30，……（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，……（4）2，3，5，8，12，16，23，30，……8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1） (2)9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
冬奥会体育考试题库及答案
冬奥会体育考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 2022年北京冬奥会是第几届冬季奥林匹克运动会？A. 22B. 23C. 24D. 25答案：C2. 北京冬奥会的会徽是什么？A. 飞跃B. 冬梦C. 飞跃之梦D. 冰雪之梦答案：B3. 北京冬奥会的吉祥物是什么？A. 冰墩墩B. 雪容融C. 冰墩墩和雪容融D. 冰墩和雪融答案：C4. 北京冬奥会的火炬传递主题是什么？A. 激情冰雪相约北京B. 冰雪之约C. 飞跃之梦D. 冰雪之梦答案：A5. 北京冬奥会的口号是什么？A. 一起向未来B. 激情冰雪相约北京C. 飞跃之梦D. 冰雪之约答案：A6. 北京冬奥会的开幕式是在哪个场馆举行的？A. 国家体育场（鸟巢）B. 国家游泳中心（水立方）C. 国家速滑馆（冰丝带）D. 首都体育馆答案：A7. 北京冬奥会的闭幕式是在哪个场馆举行的？A. 国家体育场（鸟巢）B. 国家游泳中心（水立方）C. 国家速滑馆（冰丝带）D. 首都体育馆答案：A8. 北京冬奥会的奖牌设计灵感来源于什么？A. 古代玉璧B. 古代铜镜C. 古代瓷器D. 古代丝绸答案：A9. 北京冬奥会的火炬设计灵感来源于什么？A. 古代玉璧B. 古代铜镜C. 古代瓷器D. 古代丝绸答案：D10. 北京冬奥会的火炬传递路线包括哪些城市？A. 北京、延庆、张家口B. 北京、张家口、崇礼C. 北京、延庆、崇礼D. 北京、张家口、延庆答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 北京冬奥会的比赛项目包括哪些大项？A. 冰球B. 速度滑冰C. 花样滑冰D. 短道速滑E. 自由式滑雪F. 单板滑雪G. 越野滑雪H. 高山滑雪I. 北欧两项J. 跳台滑雪K. 冬季两项答案：ABCD EFGHIJK12. 北京冬奥会的金牌得主包括哪些中国运动员？A. 武大靖B. 任子威C. 谷爱凌D. 苏翊鸣E. 徐梦桃F. 齐广璞G. 范可新H. 曲春雨答案：ABC DEFGH13. 北京冬奥会的中国代表团在哪些项目上获得了奖牌？A. 短道速滑B. 花样滑冰C. 自由式滑雪D. 单板滑雪E. 速度滑冰F. 越野滑雪G. 高山滑雪H. 北欧两项I. 冬季两项J. 跳台滑雪答案：ABCD EFGIJ14. 北京冬奥会的中国代表团在哪些项目上获得了金牌？A. 短道速滑B. 花样滑冰C. 自由式滑雪D. 单板滑雪E. 速度滑冰G. 高山滑雪H. 北欧两项I. 冬季两项J. 跳台滑雪答案：ACD15. 北京冬奥会的中国代表团在哪些项目上获得了银牌？A. 短道速滑B. 花样滑冰C. 自由式滑雪D. 单板滑雪E. 速度滑冰F. 越野滑雪G. 高山滑雪H. 北欧两项I. 冬季两项答案：ABE三、判断题（每题1分，共10分）16. 北京冬奥会是中国首次举办冬季奥林匹克运动会。
奥林匹克知识问题及答案
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奥林匹克知识问题及答案单项选择 1. 古代奥林匹克运动会每 4 年在古希腊的）（地区举办一次，共举办了293 届，历时 1170 年。
A、奥林匹亚 B、雅典 C、斯巴达 D、以佛所 2. 1992 年 7 月 21 日，国际奥委会在巴塞罗那召开第 99 次全会，决定以（）为榜样，向国际社会呼吁在奥运会期间实行“奥林匹克神圣休战”。
A、罗马 B、埃及 C、古希腊 D、巴塞罗那 3. 赛跑是奥林匹克竞技会设置最早、普及最广泛的项目，其中（）是 1—13 届古代奥运会唯一的比赛项目。
A、长跑 B、短跑 C、武装赛跑 D、中跑 4. 被誉为“现代奥林匹克之父”的教育家是法国人（）。
A、基拉宁 B、萨马兰奇 C、皮埃尔·德·顾拜旦 D、罗格 5. 1896 年 4 月 5 日，首届现代奥运会在（）举行。
A、雅典 B、巴黎 C、伦敦 D、罗马 6. 《奥林匹克宪章》指出：奥林匹克精神就是（）。
A、相互理解、友谊、团结和公平对待 B、相互支持、帮助、团结和公平对待 C、相互团结、理解、友谊和平等对待 D、相互团结、友谊、理解和平等对待 7. （）是国际奥委会制定的关于奥林匹克运动的最高法律文件。
A、《奥林匹克条例》B、《奥林匹克规章》C、《奥林匹克章程》D、《奥林匹克宪章》 8. 奥林匹克大家庭是对所有参与奥林匹克运动的组织和个人的统称，包括国际奥委会、（）、国际单项体育联合会、夏季奥运会和冬季奥运会组委会以及参与奥林匹克运动的运动员、教练员、官员、奥运会赞助商等。
A、各国体育领导机构 B、各国政府 C、国家（地区）奥委会 D、各国运动员 9. 1934 年，国际奥委会决定，在奥运会期间，从开幕到闭幕，主会场要燃烧象征光明、友谊、团结的奥林匹克圣火，火种必须从）（采集，以（）的形式传到奥运会主办城市。
奥林匹克训练题库答案
奥林匹克训练题库第五章应用题一行程问题1.57.6千米/时。
2.60千米/时。
19（分）。
6.2.4时。
解：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上、下山的平均速度是（x＋2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）＝30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。
因此共需要72÷30＝2.4（时）。
8.15辆。
11.30分。
提示：一个单程步行比骑车多用20分。
12.2时20分。
13.12千米/时。
14.4000千米。
15.15千米。
16.140千米。
17.20千米。
18.52.5千米。
解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行19.25∶24。
提示：设A，B两地相距600千米。
20.5时。
提示：先求出上坡的路程和所用时间。
21.25千米。
提示：先求出走平路所用的时间和路程。
22.10米/秒；200米。
提示：设火车的长度为x米，根据火车的速度列出方程24.乙班。
提示：快速行走的路程越长，所用时间越短。
甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长，所以乙班获胜。
25.30千米。
提示：军犬的速度为20千米/时，它跑的时间等于甲、乙两队从出发到相遇所用的时间。
26.2时15分。
提示：上山休息了5次，走路180分。
推知下山走路180÷1.5＝120（分），中途休息了3次。
28． 24千米。
解：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。
全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。
29．8时。
解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。
如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。
高中数学-组合-训练题-西部数学奥林匹克2001-2017精选全文完整版
组合训练题_西部数学奥林匹克1.若集合A的n个子集A1, A2, …, A n同时满足：①A1∪A2∪…∪A n= A；②A i∩A j≠∅(1≤i< j≤n)，则称A1, A2, …, A n为A的一个n划分.求最小的正整数m，使得对集合A = {1, 2, …, m}的任意一个14划分A1, A2, …, A14，一定存在某个集合A i (1≤i≤14)，在A i中有两个元素a, b满足b < a≤!! ! .2.设n为正整数，集合A1, A2, …, A n+1是集合{1, 2, …, n}的n + 1个非空子集.证明：存在{1, 2, …, n + 1}的两个不交的非空子集{i1, i2, …, i k}和{j1, j2, …, j m}，使得A!!∪A!!∪…∪A!!= A!!∪A!!∪…∪A!!.3.设S = (a1, a2, …, a n)是一个由0, 1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续的5项不同，即对任意1≤i < j≤n – 4，a i, a i+1, a i+2, a i+3, a i+4与a j, a j+1, a j+2, a j+3, a j+4不相同. 证明：数列S最前面的4项与最后面的4项相同.4.将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10. 求每一个面上四个数之和的最小值.5.1650个学生排成22行、75列. 已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对. 证明：男生的个数不超过928.6.将m×n棋盘（由m行n列方格构成，m≥3, n≥3）的所有小方格都染上红蓝二色之一. 如果两个相邻（有公共边）的小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对”. 设棋盘中“标准对”的个数为S. 试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S 为偶数？说明理由.7.设n个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求n的最大值.8.给定正整数n (n≥2)，求|X|的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集B1, B2, …, B n，都存在集合X的一个子集Y，满足：(1) |Y| = n；(2) 对i = 1, 2, …, n，都有|Y∩B i|≤1.这里|A|表示有限集合A的元素个数.9.设O为△ABC内部一点. 证明：存在正整数p, q, r，使得| p·OA+ q·OB+ r·OC| <! !""#.10.将n个白子与n个黑子任意地放在一个圆周上. 从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2, …, n. 再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1, 2, …, n. 证明：存在连续n个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为1, 2, …, n.11.在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.12.设n为给定的正整数，求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集A = {x1, x2, …,x k}，B = {y1, y2, …, y k}和C = {z1, z2, …, z k}满足：对任意1≤j≤k都有x j + y j + z j = n.13.给定整数n≥3，求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n个两两不同的实数x1, x2, …, x n，满足x1 + x2, x2 + x3, …, x n–1 + x n, x n + x1均属于A.14. 有n (n > 12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由15个填空题组成，每答对1题得1分，不答或答错得0分. 分析每一种可能的得分情况，发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少3个同样的题. 求n 的最小可能值.15. 求所有的正整数n ，使得集合{1, 2, … , n }有n 个两两不同的三元子集A 1, A 2, … , A n ，满足对任意1≤i < j ≤n ，都有| A i ∩A j |≠1.16. 有n (n ≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场. 如果选手A 的手下败将不都是B的手下败将，则称A 不亚于B . 试求所有可能的n ，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.17. 已知集合M ⊆{1, 2, … , 2011}，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素a , b ，使得a |b 或b | a . 求|M |的最大值（其中|M |表示集合M 的元素个数）.18. 给定整数n ≥2.(1) 证明：可以将集合{1, 2, … , n }的所有子集适当地排列为A 1, A 2, … , A !!，使得A i 与A i +1的元素个数恰相差1，其中i = 1, 2, … , 2n 且A !!!! = A 1；(2) 对于满足(1)中条件的子集A 1, A 2, … , A !!，求−1!S (A !)!!!!!的所有可能值，其中S (A i ) =x !∈!!，S (∅) = 0.19. 证明：在正2n – 1 (n ≥3)边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形.20. 设E 是一个给定的n 元集合，A 1, A 2, … , A k 是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对任意的1≤i < j ≤k ，要么A i 与A j 的交集为空集，要么A i 与A j 中的一个是另一个的子集. 求k 的最大值.21. 一张n ×n 的方格表，称有公共边的方格是相邻的. 开始时每个方格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号. 求所有的正整数n ≥2，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变成–1.22. 把n (n ≥2)枚硬币排成一行. 如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作. 当所有硬币正面朝下时，停止操作. 若开始时硬币全部正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行[!!!!!]次操作？23. 若非空集合A ⊆{1, 2, 3, … , n }满足|A |≤min !∈!x ，则称A 为n 级好集合. 记a n 为n 级好集合的个数. 证明：对一切正整数n ，都有a n +2 = a n +1 + a n + 1.24. 将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1, 2, … , n . 求所有的整数n ≥4，使得可以用n –3条在内部不交的对角线将这个n 边形分成n – 2个三角形区域，并且在这n – 3条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等.25. 给定正整数n ，设a 1, a 2, a 3, … , a n 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”.已知a 1, a 2, a 3, … , a n 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求a !!!!!的最小值.26. 对平面上的100条直线，用T 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合. 求|T |的最大可能值.27. 对数列a 1, a 2, … , a m ，定义集合A = {a i | 1≤i ≤m }, B = {a i + 2a j | 1≤i , j ≤m , i ≠j }. 设n 为给定的大于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a 1, a 2, … , a n ，求集合A △B 的元素个数的最小值.（其中，A △B = (A ∪B )\(A ∩B ).）28.定义n元整数组的一次变换为(a1, a2, …, a n) →(a1 + a2, a2 + a3, …, a n + a1)，求所有的正整数对(n, k) (n, k≥2)，满足：对于任意的n元整数组(a1, a2, …, a n)，在有限次变换后所得数组中的每一个数都是k的倍数.29.给定整数n, k，n≥k≥2. 甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n×n的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行. 如果某个人染色后，每个k×k的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束，此人获胜. 问谁有必胜策略？30.设9个正整数a1, a2, …, a9（可以相同），满足：对任意1≤i < j < k≤9，都存在与i, j, k不同的l (1≤l≤9)，使得a i + a j + a k + a l = 100. 求满足上述要求的有序9元数组(a1, a2, …, a9)的个数.。
华中师大金牌奥赛培训---组合计数
组合计数计数的方法大致有以下几种：1．基本方法.其中包括分情况讨论——加法原理；在每种情况中，逐步递进，先做一件事，再做第二件事，……这就需要乘法原理. 还有，从反而考虑问题：在总数中减去A不出现的个数得到A出现的个数.2. 应用公式. 包括排列、组合、允许重复的组合、圆周排列等. 这些公式在通常的课本中可以找到.3. 利用对应.4. 建立递推关系.5. 利用容斥原理.6.算两次7. 利用母函数8.其它问题讨论：1.从1，2，…，49中取出6个不同的数，使得其中至少有两个相邻，问共有多少种取法？解：首先,集合{}1,2,,49M = 的所有不同的6元子集的个数为649C ,但是,其中6个数不相邻的子集{}1261,,,,1,1,2,3,4,i i a a a a a i ++<= 不满足题中要求.记满足①的所有6元子集的集合为A ,并令{}{}126126,,,,,,a a a b b b → , 其中1,1,2,3,4,5,6.i i b a i i =-+=显然,126,,,b b b 互不相同且有126144.b b b ≤<<<≤ 容易验证②定义的映射是由集合A 到集合{}1,2,,44 的所有不同的6元子集的一一映射.所以644||||.A B C ==故满足条件的取法共有649C －644C 种.2．求方程123420x x x x +++=且满足123416,07,48,26x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤的（有序）整数解的个数.解：作替换11223344,1,3,1y x y x y x y y ==+=-=-，则问题化为求123417y y y y +++= ①满足123416,18,15,15y y y y ≤≤≤≤≤≤≤≤的整数解的个数.记S 为方程①的正整数解的集合；1234,,,S S S S 分别是S 有满足12347,9,6,6y y y y ≥≥≥≥的子集，则所求的解的个数为1234||S S S S I I I I .第3讲例1知163||()560S ==.为求出1||S ，再令'116y y =-，则1||S 等于'123411y y y y +++=的正整数解的个数4713()120+-=.同样可算出45148123343||()56,||||()165S S S +-+-=====；以及513143||||()10S S S S ===I I ，2324||||1S S S S ==I I ， 634322||()20,||0S S S S ===I I ；而1234||||i j k S S S S S S S I I I I I 和都是0.最后由容斥原理求得问题中的解的个数是56012016556165102122096----+⨯+⨯+=. 3．设{}1,2,,1000S =L ，A 是S 的一个201元子集，若A 中各元素之和能被5整除，则称A 为S 的好子集，求S 的所有好子集的个数.解：将S 的所有201元子集分为5类：01234,,,,S S S S S ，其中{|,||201A k S A A S A =⊆=且中5}k 各元素之和被除的余数为 (0,1,2,3,4)k =.作映射0:(14)k f S S k →≤≤如下：若122010{,,,}A a a a S =∈…，则12201(){,,,}f A a ka k a k =+++…，其中当1000i a k +>时，用1000i a k +-代替i k a +，则不难得到20120111()201(mod5)i i i i a k a k k ==+=+≡∑∑，即()k f A S ∈，容易验证f 是双射，所以0||||(14)k S S k =≤≤，记这个数为a ，则2010123410005||||||||||a S S S S S C =++++=. 所以，S 的好子集个数为201010001||5S a C ==.4．圆周上有n 个点(6)n ≥，每两点间连一线段，假设其中任意三条线段在圆内不共点，于是任三条线段相交构成一个三角形.试求这些线段确定的三角形的个数.解：我们称圆周上的点为外点，任意两条对角线在圆内的交点为内点，则所确定的三角形按其顶点可分为4类：(1)第一类三角形的3个顶点均为外点，其个数设为I 1;(2)第二类三角形的顶点中有2个外点和l 个内点，其个数设为I 2； (3)第三类三角形的顶点中有1个外点和2个内点，其个数设为I 3; (4)第四类三角形的三个顶点均为内点，其个数记为I 4．显然，第一类三角形与圆周上的3点组集合成一一对应，所以31n I C =．其次，如图1-4(1)，圆周上任取4点A 1，A 2，A 3，A 4，两两相连的线段，确定了4个第二类三角形：12233441,,,AOA A OA A OA A OA ∆∆∆∆．反之，每4个这样有公共内顶点的第二类三角形对应了圆周上的一个4点组，于是，414n I C =．类似的，如图l-4(2)，圆周上任取5点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，两两连一线段，确定了5个第三类三角形：112223334445551,,,,A B B A B B A B B A B B A B B ∆∆∆∆∆，于是可得515n I C =．最后，如图1-4(3)，圆周上任取6点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，对应于1个第四类三角形，所以64n I C =．综上所述，得所确定的三角形共有345645n n n nC C C C +++个． 当我们要建立组合计数问题中的不等关系时，常常要构造单射或满射来实现．关于这方面的例题，我们将在后面的章节中叙述．5. 设M 是平面上所有整点的集合, M 中的点{P 0, P 1, …, P n }构成的一条折线满足P i －1P i =1, i =1, 2, …, n , 则称这条折线长度为n , 又设F (n )表示起点P 0在原点, 而终点P n 在x 轴上的长度为n 的不同折线的条数. 求证: F (n )=C n n 2.解1：将折线中上转化为上上，下转化为右右，左转化为右上，右转化为上右，则将每条折线唯一对应到一条(0，0)至(n ，n )的折线，显见2()n n F n C =.解2：考察有m 步向y 轴正向走的折线.因为折线从原点出发，最后回到x 轴，所以必有m 步是向y 轴负向走.因此，这种折线的条数为22m m n m n n m C C --⋅.从而知长度为n 的所有不同折线的条数为[]220()2nm mn m n n m m F n C C --==⋅∑①下面用等函数法来计算①右端的和数.考察恒等式2(1)(12)n n x x x 2+=++上式左端n x 的系数为2nn C ，右端n x 的系数为[][]22220!22!(2)!!nnn mm mn m n n m m m n C C m n m m ---==⋅=⋅-∑∑ ②由①和②即得2()nn F n C =.6.有人民币1元3张，2元2张，5元1张，10元1张，50元1张，能组成多少种币值？各有多少种组合方案？ 解：1元币3张，可以组合成0元或1元或2元或3元各一种，用231x x x +++来表示，其中k x 代表k 元币值，其系数为组成这一币值的方案.于是2元币2张可用241x x ++来表示，5元币1张可用51x +来表示，依此类推.于是有母函数2324510502345678910111213141516171819202122505152535455565758596061(1)(1)(1)(1)(1)1222323223232232322222232322323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++=+++++++++++++++++++++++++++++++++++626364656667686970717222323222x x x x x x x x x x ++++++++++ 各币值及方案数见各项幂值及系数.7．将圆分为(2)n n ≥个扇形，每个扇形用r 种不同颜色之一染色，要求相邻扇形所染的颜色不同，问有多少种染色方法.解：设圆分成的扇形为12,,,n S S S …，且一共有n a 种染色方法，则120,(1)a a r r ==-.当n ≥2时，1S 有r 种染法，2S 有r －1种染法，…，n S 有r －1种染法，共有1(1)n r r -⋅－种方法．但这种方法只保证1,(1,2,,1)i i S S i n +=-…的颜色不同，不保证n S 与11n S S +=的颜色不同，所以1(1)n r r -⋅-种方法可分为两类：第一类：n S 与1S 颜色不同，有n a 种方法； 第二类：n S 与1S 颜色相同，有1n a -种方法， 故 11(1)(2)n n n r r a a n --=+≥- 可求得*(1)(1)(1),()n nn a r r n N =--+-∈ 8．将周长为24的圆周等分成24段从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所走的弧长都不等于3和8．问满足要求的8点组的不同取法共有多少种?说明理由． 解1：将24个分点依次编号为l ，2，…，24，并将它们按“坏的关系”排成如下的3×8数表：易见，表中每行中相邻两数所代表的两个分点间所夹的弧长为3，每列相邻两数所代表的两个分点间所夹的弧长都是8(首尾两数也算作相邻)．这样一来，题中对所取8点的要求化为要求所取8点的号码在数表中互不相邻．所以，每列恰取l 个数，每行至多取4个互不相邻的数．从而3行数中分别取数的个数只有4种不同情形：{4，4，0}，{4，3，1}，{4，2，2}，{3，3，2}．(1){4，4，0}．3行中任取一行不取数，有3种不同取法．另两行中第一行取4个互不相邻的数，有两种不同取法．余下4列为另一行所取4个数所在的列惟一确定．由乘法原理知这种情形共有6种不同取法．(2){4，3，1}．在3行中取数的个数分别为4，3，1，共有3！= 6种不同安排．在一行中取4个互不相邻的数，有两种不同取法．在另一行和余下4列中选1个数，有4种不同选法．最后第3行从余下3列中各选l 个数，选法惟一确定．由乘法原理知，这时共有6×2×4=48(种)不同选法．(3){4，2，2}．从3行中选定一行取4个互不相邻的数，选行有3种不同，取数有两种不同，共有6种不同取法，余下4列互不相邻．第2行从4列中任取2列，共有246C = (种)不同取法．由乘法原理知，这种情形共有6×6=36(种)不同取法．(4){3，3，2}．从3行数中选定一行取2个不相邻的数，选行有3种不同，选数有27120C -=(种)不同(其中减1是去掉两个数分别在第l 列与第8列的一种)．选定两数之后，余下6列被分成两部分，有3种不同分段情形：{1，5}，{2，4}和{3，3}．3种分段的种数分别为8，8，4．容易看出：(1)对于{1，5}分段，取3列互不相邻，有两种不同取法； (2)对于{2，4}分段，取3列互不相邻，有4种不同取法； (3)对于{3，3}分段，取3列互不相邻，有两种不同取法． 所以，这种情形的不同取法种数为3×(8×2+8×4+4×2)=168．综上可知，满足题中要求的不同取法种数为6+48+36+168=258．解2：像在解法一中一样地将24个数写成3×8数表，于是选取8个数时每列恰取一个数，这时，从第1列取l 个数，共有3种不同取法．第1列取定后，第2列所取的数不能与第1列所取的数同行，故只有两种不同取法．以后每列都有两种不同取法，共有3×27种不同取法．但其中第l 列所取的数与第8列所取的数同行的所有取法都不满足要求．若记从3 × n 数表中每列恰取一个数且任何相邻两列(包括第n 列与第1列)所取的数都不同行的不同取法种数为x n ，则上段论述的结论恰为x 8+x 7=3×27．类似地可以得到x n +x n －1=3⨯2n －1由此递推即得7768767667654323232(32)3(22)3(2222222)386258x x x x =⨯-=⨯=⨯-=⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯-+-+-+=⨯=即满足题中要求的不同取法种数为258.9.一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点涂然红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。
[小学奥数专题15】7-5_组合_题库学生版
组合知识框架图7 计数综合7-5 组合7-5-1组合及其应用7-5-2排除法7-5-3插板法教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法； 第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．例题精讲模块一、组合及其应用【例 1】 计算：⑴ ，；⑵ ，．（2级）【例 2】 计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ．（2级）【巩固】 计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ．（2级）【例3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】 某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例4】 （难度等级 ※※）学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？（4级）【例5】 某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例6】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【例8】 从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积？2 有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】 从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多9】 少种不同的取法？（6级）【巩固】 从、、……、、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【例10】 一个盒子装有个编号依次为，，，，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例11】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例12】 从，，，，中任取三个数字，从，，，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【例13】 从、、、、、、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例14】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例15】 工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例16】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【例17】 在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：1 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．（6级）【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【例18】 平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？（6级）【巩固】 如图，问：⑴ 图中，共有多少条线段？⑵ 图中，共有多少个角？（4级） 图 图【例19】 某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在人中选人站成一排，有多少种站法？（6级）【巩固】 学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【例20】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【例21】 在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【例22】 在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？（6级）【例23】 某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【例24】 (2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【例25】 甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）【例26】 有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【例27】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【例28】 有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【例29】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【例30】 从名男生，名女生中选出名代表．⑴ 不同的选法共有多少种？⑵ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？⑶ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？⑴ 有3名内科医生和2名外科医生；⑵ 既有内科医生，又有外科医生；⑶ 至少有一名主任参加；⑷ 既有主任，又有外科医生．（8级）【例31】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？（8级）【例32】 有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）【巩固】 某旅社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余个既会英语又会日语．现要从中选人，其中人做英语导游，另外人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？（8级）板块二、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例33】 如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）【例34】 如图，正方形的边界上共有7个点、、、、、、、其中、、分别在边、、上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛) （6级）【巩固】 图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）【例35】 如图，有个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4级）【例36】 在的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）【例37】 1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）【巩固】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）【例38】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）【例39】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有 个．（6级）【例40】 从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）【例41】 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）【例42】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）【例43】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）【例44】 若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？（6级）【例45】 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）【例46】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）【例47】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）【例48】 正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）【例49】 用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）【解析】【解析】板块三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ 个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵ 个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶ 个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．【例50】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法．（6级）【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有 种．（6级）【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6级）【巩固】学校合唱团要从个班中补充名同学，每个班至少名，共有多少种抽调方法？（6级）【例51】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？（6级）【例52】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】 如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？（6级）【例53】 (1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法? （6级）【巩固】（难度等级 ※※※※）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？（6级）【例54】 马路上有编号为，，，…，的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？（6级）【例55】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？（6级）【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？（6级）【例56】 兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？（8级）。
六年级下册练习小学奥数组合模块综合练习全国通用共张
组合——游戏与策略
【练一练】25个金币中，有一个比真金币轻的假金币，问用天平称几次一定 能够将假金币找出来（天平无砝码）?
组合——数字谜
【例 10】如图，相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字，问
组合——统筹与优化
【例8】理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理 的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，问怎样安排他们理发的顺序， 才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？
组合——统筹与优化
【练一练】在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数 字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输1千米需要运费1元，问集中到哪个仓库运费最少？
组合——逻辑推理
【例1】小翟、小添、小菲分别是跳伞、田径、游泳运动员，已知： （1）小添从未上过天； （2）跳伞运动员已得过两块金牌； （3）小菲还未得过第一名，她与田径运动员同年出生； 根据上述情况判断小翟、小添、小菲各从事什么项目的运动.
组合——逻辑推理
【练一练】甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地； 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话；问不在场的何伟住在哪儿？
组合——抽屉原理
【练一练】证明：任给5个数，其中必有3个数，它们的和是3的倍数．
组合——抽屉原理
【例4】证明：任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．
奥林匹克运动选修课试题库及答案
奥林匹克运动选修课试题库及答案一、选择题：1、公元前776年从有文字记载的第一届古奥运会，在希腊的举办地是。
（C）A、雅典B、泽尔非C、奥林匹亚2、古奥运会每隔年举行一次，人们把这一周期称为奥林匹亚德。
（B）A、5年B、4年C、3年3、古奥林匹亚的宙斯庙建于公元前490年前，希腊军大败波斯军的地方是。
（B）A、奥林匹斯山B、马拉松河谷C、爱琴海4、古奥运会赛前最后一天要到宙斯庙宣誓，誓词大意为。
（C）A、服从裁判B、重在参与，不中途退出C、永不把非正当手段用于比赛5、古代奥运会五项全能比赛的五个项目。
（A）A、赛跑、跳远、铁饼、标枪和角力B、赛跑、跳远、铁饼、标枪和角力C、赛跑、跳远、铅球、标枪和角力6、古奥运会跳远比赛踏跳时，着地要求。
（C）A、单脚B、双脚不同时间C、双脚整齐7、古奥运会塞马的冠军是。
（C）A、马B、骑手C、马主人8、古奥运会战车赛，比赛距离的为米左右。
（B）A、1万米B、9千米C、8千米9、古奥运会从第78届起将比赛时间延长，整个会期总共为天。
（C）A、4天B、3天C、5天10、古奥运从第6届开始，奖给冠军的是。
（C）A、一头羊C、用橄榄枝编织的花冠11、古奥运会由衰落直至走向毁灭的时间段是。
（A）A、公元前146年至公元394年B、公元前776年至公元前338年C、公元前338年至公元前146年12、现代奥运创始人是。
（B）A、马泰奥B、顾拜旦C、扎巴斯13、具有历史意义的巴黎国际体育会议，于1894年6月23日通过决议，成立国际奥林匹克委员会，不少国家称之为体育节日，我国也于1986年将这天定为。
（C）A、体育节B、世界体育节C、奥林匹克14、第一届国际奥委会第一任主席是。
（C）A、顾拜旦B、卡洛C、维凯拉斯15、1896年第一届现代奥运会的举办地是。
（B）A、巴黎C、奥林匹克16、国际奥委会总部设在。
（C）A、巴黎B、伦敦C、洛桑17、中国任国际奥委会第一副主席、奥委会执委之一的人名叫（A）A、何振梁B、伍邵组C、张百发18、奥林匹克会旗图案为白色、无边，中央有5个相互套连的圆环，颜色自左至右依次为。
组合数学---数学奥赛教练员培训材料
组合数学---数学奥赛教练员培训材料第一篇：组合数学---数学奥赛教练员培训材料（一）组合数学1.几个常用的排列公式（1）线排列：从n个不同的元素中任取m(m≤mn)个排成一列，其排列数为An.mAn.m（2）圆排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个排成一圈，其排列数为（3）项链排列：从n粒不同的珍珠中任取m(m≤n)粒用线串成一根项链，得到的不同项链的条数Anm 为.2m（4）可重复排列：从n个不同的元素中任取m(m≤m（可重复取）排成一列，其排列数为n.n)个元素（5）不全相异的元素的全排列：设n个元素可分为k组，每组分别有n1,n2,...,nk个元素，各组内的元素完全相同，不同组的元素互不相同，则这n个元素的全排列数为n!.n1!n2!...nk!2.几个常用的组合公式（1）单组组合：从n个不同的元素中任取m(m≤mn)个并成一组，其组合数为Cn.（2）多组组合：将n个不同的元素分成k组，每组分别有n1,n2,...,nk个元素，则不同的分组方法数为n!.n1!n2!...nk!n-1（3）从n个不同元素中任意取m个元素（可重复取）的组合数为Cn+m-1.3.组合恒等式下面是大家熟知的组合恒等式（1）kkkk-1kn-kCn=Cn-1+Cn-1 , Cn==nk-1Cn-1（n≥k≥1)k （2）Cnnmkkm-k⨯Cm=Cn⨯Cn-k(n≥m≥k).（3）∑Ck=0nkn=2n(n>k≥1)（4）∑(-1)k=0nkkCn=0(n≥1)。
4．二项式定理：设n是正整数，x,y是任意实数，则kkn-k(x+y)=∑Cnxy.k=0n特别有：设n是正整数，x为任意实数，则(1+合恒等式（3），（4））kkx)=∑Cnx.（分别令x=1和x=-1就可得证组nk=0n5.加法原理和乘法原理加法原理：如果完成一件事情的方法可以分成有n个互不相交的类，且第i类中有mi种方法，则完成这件事情一共有m1+m2+Λ+mn 种方法.乘法原理：如果完成一件事情需要分为n个步骤（每个步骤仅完成这件事情的一部分），且第i个步骤有mi种方法，则完成这件事情一共有m1m2⋅Λ⋅mn种方法.6．两个重要定理S的子集，则定理1（容斥原理）设A1,A2,Λ,Am是有限集合|A1Y A2YΛY Am|=∑|Ai|-i=1m1≤i<j≤m∑|Ai I Aj|+1≤i<j<k≤m∑|Ai I Aj I Ak |+Λ+(-1)m-1|A1I A2IΛI Am|.定理2（配对原理）对于两个不具有同类元素的有限集合A与B，如果存在集合A到集合B上的双射（即一一映射）f，则集合A与B的元素个数相等，即|A|=|B|.7.抽屉原则把8件物品任意的放进7个抽屉种，不论怎么放置，则至少有一个抽屉中有两件或两件以上上述物品。
奥运知识竞赛试题单选题100题(附答案)
以下是奥运知识竞赛试题单选题100题(附答案)：1.现代奥林匹克运动会的创始人是（）A. 顾拜旦B. 萨马兰奇C. 罗格D. 维凯拉斯答案：A2.奥林匹克运动的发祥地在（）A. 雅典B. 希腊C. 罗马D. 埃及答案：B3.奥林匹克会旗图案是（）A. 五环B. 橄榄叶和五环C. 和平鸽和五环D. 火炬和五环答案：A4.奥林匹克运动的格言是（）A. 更快、更高、更强B. 更高、更快、更远C. 更强、更快、更高D. 更快、更强、更好答案：A5.奥运会每（）年举办一次。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6.2024 年奥运会在（）举办。
A. 伦敦B. 巴黎C. 柏林D. 罗马答案：B7.第一届现代奥运会于（）年举办。
A. 1892B. 1896C. 1900D. 1904答案：B8.为中国赢得第一枚奥运会金牌的运动员是（）A. 许海峰B. 李宁C. 李小双D. 邓亚萍答案：A9.夏季奥运会共设有（）个大项。
A. 25B. 26C. 28D. 30答案：C10.冬季奥运会共设有（）个大项。
A. 15B. 16C. 17D. 18答案：A11.奥运会的会徽是奥运会的（）A. 象征B. 标志C. 代表D. 符号答案：B12.奥运会的吉祥物最早出现在（）年奥运会上。
A. 1968B. 1972C. 1976D. 1980答案：B13.奥林匹克圣火起源于（）。
A. 古希腊神话B. 古代埃及C. 古代罗马D. 古代中国答案：A14.奥运会火炬接力活动始于（）年。
A. 1932B. 1936C. 1948D. 1952答案：B15.奥林匹克运动会包括（）奥运会和冬奥会。
A. 夏季C. 秋季D. 冬季答案：A16.国际奥委会总部设在（）。
A. 巴黎B. 伦敦C. 洛桑D. 纽约答案：C17.奥运会开幕式上，最后一个入场的国家是（）。
A. 举办国B. 希腊C. 上一届奥运会举办国D. 下一届奥运会举办国答案：A18.运动员获得奥运会金牌后，颁奖仪式上会播放（）。
组合数学竞赛试题及答案
组合数学竞赛试题及答案1. 排列问题给定一个包含n个不同元素的集合，求这个集合的所有排列的数量。
2. 组合问题从n个不同元素的集合中选取k个元素（k≤n），求所有可能的组合数量。
3. 二项式系数计算二项式系数C(n, k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
4. 鸽巢原理如果有m个鸽巢和n个鸽子（n > m），至少有一个鸽巢至少有几只鸽子？5. 包含与排除原理在一个有30个元素的集合中，有A和B两个子集，A有15个元素，B有20个元素。
求同时属于A和B的元素数量。
6. 组合恒等式证明：\( \sum_{k=0}^{n} C(n, k) = 2^n \)。
7. 组合优化问题给定一个由n个元素组成的集合，要求找到一个子集，使得子集中任意两个元素的和都不是2的倍数，求这个子集的最大可能大小。
8. 组合图论问题在一个无向图中，有n个顶点和m条边。
如果图中的每个顶点至少有一个邻接点，求证图是连通的。
9. 组合几何问题在一个平面上，有n个点，没有任何三个点共线。
求这些点可以形成多少条直线段。
10. 组合设计问题给定一个有限集合，设计一个方案，使得对于任意两个不同的元素，它们要么完全相同，要么互不相交。
答案1. 排列的数量是n!（n的阶乘）。
2. 组合的数量是C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]。
3. 二项式系数C(n, k)可以通过组合公式计算。
4. 根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢有 \( \lceil \frac{n}{m}\rceil \) 只鸽子，其中 \( \lceil x \rceil \) 表示向上取整。
5. 同时属于A和B的元素数量可以通过公式|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B| 来计算。
6. 组合恒等式可以通过二项式定理证明。
7. 这个问题可以通过构造性地选择元素来解决，最大可能大小是\( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \)。
四4奥林匹克训练题库·页码、数串与周期
页码、数串与周期55将自然数从小到大无间隔地排列起来，得到一串数码1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15…这串数码中从左起第1000个数码是几？56一本书的页码由7641个数码组成，这本书共有多少页？57排印一本200页的书的页码，共需要多少个数码？58一本书有 500页，问：数码 0在页码中出现多少次？59甲、乙两册书的页码共用了777个数码，且甲册比乙册多7页。
甲册书有多少页？60按自然数的顺序从1写到n，总共用了3193个数码。
问：n是什么数？61自然数的平方按从小到大排列成1 4 9 16 25 36 49 64…从左至右第100个数码是几？62在1～1000这1000个自然数中，总共有多少个数码“1”？63下面的一列数中，只有一个九位数，这个九位数是几？1234， 5678， 9101112， 13141516，…64有一串数字，任何相邻的 4个数码之和都是 20，从左边起第2，7，12个数码分别是2，6，8，求第1个数码。
65有一串数字9286…从第 3个数码起，每一个数码都是它前面2个数码的积的个位数。
问：第100个数码是几？前100个数码之和是多少？66有一串数字9213…从第 3个数码起，每一个数码都是它前面2个数码的和的个位数。
问：第100个数码是几？前100个数码之和是多少？67在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。
那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，0？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，…68八个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，已知第五个数是7，求第八个数。
69从1开始连续n个自然数的和的个位可以有多少种不同的数字？70A，B，C，D，E五个盒子中依次放有9，5，3，2，1个小球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也先找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当1000位小朋友放完后，A，B，C，D，E五个盒子中各放有几个球？71A， B， C， D四个盒子中依次放有 8， 5， 3，2个小球。
冬奥会练习题100道
冬奥会练习题100道1.截至2024年，举办过冬奥会次数最多的国家是（）。
A.法国B.美国C.意大利D.日本参考答案：B2.（）年冬季奥运会是最后一届与夏季奥运会同年举行的冬奥会。
A.1988B.1992C.1994D.1998参考答案：B3.冬奥会的首届主办地是在（）。
A.美国普莱西德湖B.加拿大卡尔加里C.法国夏蒙尼D.瑞士圣莫里茨参考答案：C4.奥运会历史上首个吉祥物是（）。
A. B. C. D.参考答案：C5.冬奥会每（）年举办一届。
A.一年B.二年C.三年参考答案：D6.第24届冬季奥林匹克运动会在（）举行。
A.日本东京B.俄罗斯索契C.中国北京、张家口D.韩国平昌参考答案：C7.奥运会中吉祥物的设计始于（）冬奥会。
A.美国普莱西德湖B.法国格勒诺布尔C.日本札幌D.加拿大卡尔加里参考答案：B8.中国第一次参加冬奥会是（）冬奥会。
A.法国格勒诺布尔第10届冬奥会B.日本札幌德第11届冬奥会C.加拿大卡尔加里的第15届冬奥会D.美国普莱西德湖的第13届冬奥会参考答案：D9.第25届冬奥会是在（）举办。
A.俄罗斯B.意大利C.加拿大D.美国参考答案：B10.到2024年为止，世界举办过多少次冬奥会（）。
A.21B.23C.15参考答案：D11.第25届冬奥会的会徽是（ ）。
参考答案：D 12.召开首届现代奥运会国家是（ ）。
A.中国B.希腊C.法国D.美国参考答案：B13.2022年冬奥会，中国在奖牌榜的名次是（ ）。
A.第1B.第2C.第3D.第4参考答案：C14.北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时令人直呼惊艳。
其中，倒计时的最后一秒对应的节气是（ ）。
A.春分B.立春C.雨水D.惊垫参考答案：B15.2022年北京－张家口冬季奥林匹克运动会，北京为主办城市，张家口为协办城市。
关于此次冬奥会，下列表述不正确的是（ ）。
A.B. C. D.A.北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市B.中国成为奥运史上第一个实现奥运“全满贯”的国家C.此次申办冬季奥运会的三大理念是“以运动员为中心、可持续发展、节俭办赛”D.此次冬奥会为第23届冬季奥林匹克运动会参考答案：D16.北京2022年冬奥会和冬残奥会会徽分别是（）。
奥林匹克智商测试题(3篇)
第1篇一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是奥林匹克运动会的比赛项目？A. 篮球B. 乒乓球C. 国际象棋D. 跳水2. 奥林匹克运动会的会旗上有多少条横条？A. 5条B. 6条C. 7条D. 8条3. 下列哪位运动员被称为“飞人”？A. 约翰逊B. 博尔特C. 刘易斯D. 瓦德尔4. 奥林匹克运动会的宗旨是什么？A. 促进世界和平B. 推广体育运动C. 促进各国运动员友谊D. 以上都是5. 奥林匹克运动会分为夏季奥运会和冬季奥运会，其中夏季奥运会最早举办于哪一年？A. 1896年B. 1900年C. 1904年D. 1908年6. 下列哪个城市不是奥运五环标志的五个城市的代表？A. 雅典B. 罗马C. 巴黎D. 伦敦7. 下列哪位运动员在奥运会历史上获得金牌总数最多？A. 乔丹B. 费德勒C. 博尔特D. 奥斯卡·施密特8. 奥林匹克运动会每四年举办一次，但下列哪个项目是每两年举办一次？A. 田径B. 游泳C. 自行车D. 体操9. 下列哪个运动项目在奥运会历史上首次设立？A. 篮球B. 乒乓球C. 羽毛球D. 拳击10. 奥林匹克运动会的口号是什么？A. 友谊第一，比赛第二B. 更快、更高、更强C. 绿色奥运，人文奥运D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 奥林匹克运动会的创始人是__________。
2. 奥林匹克运动会的标志是__________。
3. 奥林匹克运动会的会歌是__________。
4. 奥林匹克运动会的奖牌分为__________、__________和__________。
5. 奥林匹克运动会的比赛项目分为__________和__________。
6. 奥林匹克运动会的比赛场地分为__________、__________和__________。
7. 奥林匹克运动会的比赛时间分为__________、__________和__________。
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组合
59从分别写有2，4，6，8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法。
如果其中的“6”可以看做“9”，那么共有多少种不同的乘积？
60从分别写有3，4，5，6，7， 8的六张卡片中任取三张，做三个一位数的乘法。
如果其中的“6”不能看做“9”，那么共有多少种不同的乘积？
61在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条直线？多少个三角形？多少个四边形？
62左下图中有多少个锐角？
63直线a，b上分别有5个点和4个点（右上图），以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？多少个四边形？
64半圆及其直径上共有12个点（左下图），以这些点为顶点可画出多少个三角形？
65三条平行线上分别有2，4，3个点（右上图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线。
问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
66在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？
67从15名同学中选5名参加数学竞赛，分别满足下列条件的选法各有多少种？
（1）某两人必须入选；
（2）某两人中至少有一人入选；
（3）某三人中入选一人；
（4）某三人不能同时都入选。
68学校乒乓球队有10名男生、8名女生，现在要选8人参加区里的比赛，在下列条件下，分别有多少种选法？
（1）恰有3名女生入选；
（2）至少有两名女生入选；
（3）某两名女生、某两名男生必须入选；
（4）某两名女生、某两名男生不能同时都入选；
（5）某两名女生、某两名男生最多入选两人。
69有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军。
问：共需比赛多少场？
70一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同。
从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？
7110个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
7210个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？
73五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种？
74学校合唱团要从五年级6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种不同的抽调方法？
75将三个同样的红球和四个同样的白球排成一排，要求三个红球互不相邻，共有多少种不同排法？。