初中数学拔高九年级 专题13 旋转变换(含答案)

专题13 旋转变换

阅读与思考

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．

旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．

例题与求解

【例1】如图，边长为1的正△A 1B 1C 1的中心为O ，将正△A 1B 1C 1绕中心O 旋转到△A 2B 2C 2，使得A 2B 2丄B 1C 1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为＿＿．

（“新知杯”上海市竞赛试题）

解题思路：S 六边形ABCDEF ＝22223A B C B CD S S ??-，解题的关键是寻找CB 1，CB 2，CD ，C 1D 之间的关系．

【例2】如图，已知△AOB ，△COD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CQD ＝90°，N ，M ，Q ，P 分别为AB ，CB ，CD ，AD 的中点． 求证：四边形NMQP 为正方形．

解题思路：连结BD ，AC ，并延长AC 交于点E ，则△OAC 可以看作是由△OBD 绕点O 逆时针旋转90°得到的，且∠AED ＝90°，这是证明本例的关键．

Q

A

B C

D

E

M

N

O

P

1

B 2

2

【例3】如图，巳知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为形内一点，且∠APB ＜∠APC ． 求证：PB ＞PC ． （北京市竞赛试题）

解题思路：以A 为中心，将△APB 旋转一个∠BAC ，使AB 边与AC 边重合，这时△APB 到了△AP 'C 的位置．

【例4】点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，

直线AE ，BD 交于点F ．

（1）如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝＿＿＿＿； （2）如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝＿＿＿＿（用含α的式子表示）；

（3）将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ，B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿．

请你任选其中一个结论证明． （武汉市中考试题）

解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC ∽△EDC ，△BCD ∽△ACE ，这是解本例的关键．

A

B C

D

E

F

图1

A B C

D

E

F

图2

A

B C

D

E

F

图3

A

B

C

D

E

F

图4

A

B

C

D

E

F

图5

Q

A

B C P

P '

【例5】如图，已知凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠ABC ＝2∠DBE ．

求证：∠ABC ＝60°． （北京市竞赛试题） 解题思路：将△ABE 以B 为旋转中心顺时针旋转∠ABC ，使得AB 与BC 重合，落在△CBE '位置，则△ABE ≌△CBE ′，AE ＝CE ′，BE ＝BE ′，∠CBE ′＝∠ABE ．

【例6】如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A ，B ，C

方形的边长． （广东省竞赛试题）

解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E 点的位置，通过旋转变换，把EA ，EB ，EC 连结起来．

能力训练

A 级

1．如图，巳知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在

直线BC 上的点F 处，则F ，C 两点的距离为＿＿＿＿． （上海市中考试题）

2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为＿＿＿＿，∠APB ＝＿＿＿＿．

（青岛市中考试题）

3．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∠BCD ＝45°．将CD 以点D 为中心

A B

C

D

第1题

A

B

P P '

第2题

A

B

C

D

E

第3题

A

B

C

D

E

E '

A B C D

E

逆时针旋转90°至ED ，连结AE ，则△ADE 的面积是＿＿＿＿．

4．如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝＿＿＿＿．

（上海市中考试题）

5．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°至AB 'C 'D ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．

（全国初中数学联赛试题）

6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ．以斜边BC 上距离点B 6cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．

（黄冈市竞赛试题）

7．如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△A 'B 'C ，设点A '的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标为（ ）

A ．（a -，b -）

B ．（a -，1b --）

C ．（a -，1b -+）

D ．（a -，2b --）

（河南省中考试题）

8．如图，已知P 是等边△ABC 内部一点，∠APB ︰∠BPC ︰∠CPA ＝5︰6︰7．则以PA ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）

A ．2︰3︰4

B ．3︰4︰5

C ．4︰5︰6

D ．不能确定

（全国初中数学通讯赛试题）

9．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，P 是△ABC 内一点，则（ ） A ．PA ＋PB ＋PC ＜AB ＋AC B ．PA ＋PB ＋PC ＞AB ＋AC C ．PA ＋PB ＋PC ＝AB ＋AC

D ．PA ＋R B ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系不确定

（武汉市竞赛试题）

B

C

第4题

A B

C

D

B '

C '

'

第5题

A B

C

D

E

F G H

K P

第6题

第7题

A

B

C

P

第8题

A B

C

P

第9题