人教版八年级数学下册第17章 勾股定理 教案
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第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时勾股定理
1.了解勾股定理的发现过程.
2.掌握勾股定理的内容.
3.会用面积法证明勾股定理.
自学指导:阅读课本22页至24页,完成下列问题.
知识探究
1.毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现了用砖铺的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系.
2.通过你的观察,你发现了等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.命题一:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一,把这个命题称作勾股定理.而西方人认为是毕达哥拉斯证明,所以西方人称作毕达哥拉斯定理.
自学反馈
1.在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.在直角三角形中,两直角边分别为3、4,那么斜边为5.
3.在直角三角形中,斜边为10,一直角边为6,则另一直角边为8.
运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.
活动1 小组讨论
探究一:探究勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方.
(1)如图,每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积.
解:A的面积=4;B的面积=9;
C 的面积=52-4×1
2
(2×3)=13; 所以A+B=C.
A ′=9;
B ′=25;
C ′=82-4×1
2
(5×3)=34; 所以A ′+B ′=C ′.
所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)赵爽弦图
解:朱实=
1
2
ab ;黄实=(a-b)2; 正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+
1
2
ab ×4=a 2+b 2-2ab+2ab=a 2+b 2; 又正方形的面积=c 2,所以a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方. 探究二:求出直角三角形中未知边的长度.
解:∵Rt △ABC 中,∠C 为直角,
∴BC 2+AC 2=AB 2,即62+AC 2=102. ∴AC 2=64. ∵AC>0,∴AC=8.
探究三:一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析:木板横着、竖着,都不可能从门框内通过,所以只能试试斜着能否通过. 对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.
求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.
解:∵Rt△ABC中,∠B为直角,
根据勾股定理,得:AC2=AB2+BC2=12+22=5.
∴≈2.236.
∵AC大于木板的宽,∴木板能从门框通过.
活动2 跟踪训练
1.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c,∠C=90°.
(1)已知a=3,b=4.则c=5.
(2)已知c=25,b=15.则a=20.
(3)已知c=19,a=13.则.(结果保留根号)
(4)已知a∶b=3∶4,c=15,则b=12.
利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.
2.(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为5.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC∶AC∶
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则AC∶BC∶若AB=8,则又若CD⊥AB于D,则CD=4.
3.一个3 m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米,如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?
解:∵在Rt△AOB中,OB2=AB2-AO2=32-2.52=2.75,
∴OB≈1.658(m).
在Rt△COD中,OD2=CD2-CO2=32-22=5,
∴OD≈2.236(m),
BD=OD-OB≈2.236-1.658=0.578(m),
BD≠0.5(m).
4.等边△ABC的边长为a,则高AD=?面积S=?
解:添加辅助线:作AD ⊥BC 构建直角三角形.
∵三角形ABC 为等边三角形, ∴AD 平分BC,BD=
12
a. 在Rt △ABD 中,AD 2=a 2-(
12a)2=34
a 2,
∴AD=
2a ,S=1
2
·a ·2a=4a 2. 活动3 课堂小结
1.勾股定理的内容及证明.
2.勾股定理的简单应用.
第2课时勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.
2.在运用勾股定理解决实际问题过程中,感受数学的“转化”思想,体会数学的应用价值.
自学指导:阅读课本25页至27页,完成下列问题.
知识探究
1.勾股定理的内容是:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
的线段是直角边为正整数1,1的直角三角形的斜边.
3,2的直角三角形的斜边.
自学反馈
1.的线段.
2.的线段.
活动1 小组讨论
例1 .
解:2,3的直角三角形的斜边.
(1)画数轴,取点A,使OA=3;
(2)过点A画数轴的垂线a,在a上取点B,使AB=2.
(3)以点O为圆心,OB的长为半径作弧,弧与数轴的交点为C.点C.
例2…的点.
活动2 跟踪训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知:a=9,b=40,则c=41;
(2)已知:a=6,c=10,则b=8;
(3)已知:b=5,c=13,则a=12;
(4)已知c=n2+1,b=2n,则a=|n2-1|.
利用勾股定理,(1)是已知直角边求斜边.(2)(3)是已知斜边和一直角边求另一直角边或
的斜边是个多项式,运算要注意.
2.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5 000米,飞机每小时飞行多少千米?
解:540千米
求速度,要把20秒换算成小时,20秒=
1
180
小时.
3.小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗?
解:582+462=5 480;742=5 476,荧屏对角线大约为74厘米.售货员没有搞错.我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机,是指其荧屏对角线的长度.
活动3 课堂小结
把实际问题转化成直角三角形,利用勾股定理进行计算.
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理及其作用.
2.什么是互逆命题.
3.什么是互逆定理.
4.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
自学指导:阅读课本31页至33页,完成下列问题.
知识探究
1.古埃及人画直角的方法是:在一根绳子上打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,然后用木桩钉成一个三角形,其中一个角是直角.
2.互逆命题:在一对命题中,第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论,而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设,像这样的两个命题叫做互逆命题.我们把其中一个叫做原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,这两个定理为互逆定理.
4.勾股定理是:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
它的逆定理是:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2;那么这个三角形是直角三角形.
5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).
自学反馈
1.说出下列命题的逆命题,并判断它们是否正确.
(1)原命题:猫有四只脚.(√)
逆命题:有四只脚的是猫.(×)
(2)原命题:对顶角相等.(√)
逆命题:相等的角是对顶角.(×)
(3)原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端的距离相等.(√)
逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(√)
(4)原命题:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.(√)
逆命题:在角的内部到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(√)
任何一个命题都有逆命题;原命题正确,逆命题不一定正确,原命题不正确,逆命题可能正确.
2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?
(1)a=25 b=20 c=15
解:是;∠A=90°
(2)a=13 b=2 c=15
解:不是
(3)a=1 b=2
解:是;∠B=90°
(4)a∶b∶c=3∶4∶5
解:是;∠C=90°
根据勾股定理逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角,即大边对的角是直角.
活动1 小组讨论
例1证明:勾股定理的逆定理.
已知:△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a2+b2=c2;
求证:△ABC是直角三角形.
证明:画一个直角三角形A′B′C′,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°.
在Rt△A′B′C′中,A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2,
又a2+b2=c2,∴A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中,B′C′=a=BC;A′C′=b=AC;A′B′=c=AB,
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.
例2判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.
解:(1)因为152+82=225+64=289,172=289,
所以152+82=172,这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365,152=225,
所以132+142≠152,这个三角形不是直角三角形.
例3某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,他们离开港口一个半小时后相距30海里,如果知
道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿那个方向航行吗?
分析:我们根据题意画出图,可以看出由于“远航”号的航向已知,如果求出两艘船的航向所成的角,就能知道“海天”号的航向了.
解:根据题意,画图如下
PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,
∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航向可知,∠QPS=45°,所以∠SPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
活动2 跟踪训练
1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?
a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理判断是直角三角形.
解:是.因为a2=c2-b2
2.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( C )
A.5,6,7
B.10,8,4
C.7,25,24
D.9,17,15
3.以下面各组正数为边长,能组成直角三角形的是( C )
A.a-1,2a,a+1
B.a-1,2,a+1
C.a-1,a+1
D.a-1a,a+1
4.说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
(1)两直线平行,内错角相等.
(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.
(3)全等三角形的对应角相等.
(4)等腰三角形的底角相等.
解:(1)内错角相等,两直线平行.√
(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等.×
(3)对应角相等的三角形全等.×
(4)底角相等的三角形是等腰三角形.√
5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a、b、c为勾股数.你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
解:对.
因为a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2,
而c2=(m2+1)2,所以a2+b2=c2,即a、b、c是勾股数.
m=2时,勾股数为4、3、5;m=3时,勾股数为6、8、10;m=4时,勾股数为8、15、17.
6.欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?
解:在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=122+52=169.
∵132=169,AB>0,∴AB=13.
∴至少需要13米的梯子.
活动3 课堂小结
1.勾股定理的逆定理.
2.互逆命题.
3.互逆定理.
4.勾股数.
5.勾股定理的应用:(1)判断三角形的形状.(2)用于求角度.(3)用于求边长.(4)用于求面积.(5)用于证垂直.。