离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案

For personal use only in study and research; not for commercial use
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2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。

在I下求下列各式的真值。

（1）∀x(F(x)∧G(x))
解：∀x(F(x)∧G(x))
⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))
⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))
⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))
⇔0∧0∧0
⇔0
(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)
解：∀x(R(x)→F(x))∨G(5)
⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)
⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)
⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0
⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0
⇔0
(3)∃x(F(x)∨G(x))
解：∃x(F(x)∨G(x))
⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))
⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))
⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)
⇔1 ∨ 1 ∨ 1
⇔1
2.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。

（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)
(2) ⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）
解：（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)
⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则
⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1（2 ）
⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2（2）③
⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④
（2）⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）
⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则
⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )
⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)
⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))
⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))
2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。

（代替规则）
（1）∀xF(x)∨∃yG(x,y)
⇔∀xF(x)∨∃yG(z,y) 代替规则
⇔∀x（F(x)∨∃yG(z,y)）定理2.2（1）①
⇔∀x∃y（F(x)∨G(z,y)）定理2.2（2）①
（2）∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)
⇔∃x(F(x)∧∀yG(x,y,t))→∃zH(s,r,z) 代替规则
⇔∃x∀y (F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z) 定理2.2（1）②⇔∀x（∀y (F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z)）定理2.2（2）③⇔∀x∃y（(F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z)）定理2.2（1）③⇔∀x∃y∃z（(F(x)∧G(x,y,t))→H(s,r,z)）定理2.2（2）④
2.17构造下面推理的证明。

（1）前提：∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y))
∃xF(x)
结论：∃xR(x)
应改为：①∃xF(x) 前提引入
②∃xF(x)→∀y((F(x)∨G(y))→R(y))前提引入
③∀y((F(x)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理
④F（c）①EI
⑤F（c）∨G(c) →R(c) ③UI
⑥F（c）∨G(c) ④附加
⑦ R(c) ⑤⑥假言推理
⑧∃xR(x) ⑦EG
（2）前提：∀x(F(x)→(G(y) ∧R(x))),∃xF(x).
结论：∃x(F(x)∧R(x)).
证明：
①∃xF(x) 前提引入
②F(c) ①EI
③∀x(F(x)→(G(y) ∧R(x))) 前提引入
④F(c)→(G(c) ∧ R(c)) ③UI
⑤G(c) ∧ R(c) ②④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取
⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦EG
2.18在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

大熊猫都产在中国，欢欢是大熊猫。

所以，欢欢产在中国。

解：将命题符号化.
F(x):x是大熊猫.
G(x):x产在中国.
a: 欢欢.
前提: ∀x(F(x )→G(x)),F(a),
结论: G(a)
证明:
①∀x(F(x )→G(x)), 前提引入;
②F(a)→G(a)①uI;
③F(a) 前提引入
④G(a) ②③假言推理
2.19在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

有理数都是实数，有的有理数是整数。

因此，有的实数是整数。

设全总个体域为数的集合
F（x）：x是有理数G（x）：x是实数H（x）：x是整数
前提：∀x(F(x)→G(x)) ∃x(F(x)∧H(x))
结论：∃x(G(x)∧H(x))
证明：①∃x(F(x)∧H(x)) 前提引入
②F（c）∧H（C）①EI规则
③∀x(F(x)→G(x)) 前提引入
④F（c）→G（c）③UI规则
⑤F（c）②化简
⑥ G（c）④⑤假言推理
⑦ H（c）②化简
⑧ G（c）∧H（c）⑥⑦合取
⑨∃x（G（x）∧H（x））⑧EG规则
2.23一阶逻辑中构造下面推理的证明。

每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。

每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不喜欢骑自行车。

因而有的人不喜欢步行（个体域为人类集合）。

命题符号化：F(x): x喜欢步行。

G(x):x喜欢坐汽车。

H(x): x喜欢骑自行车。

前提：∀x(F(x)→⌝G(x)), ∀x(G(x)∨H(x)),
∃x(⌝H(x)).
结论：∃x(⌝F(x))
证明
a ∃x(⌝H(x)) 前提引入
b ⌝H(c)
c ∀x(G(x)∨H(x)) 前提引入
d G(c)∨H(c)
e G(c)
f ∀x(F(x)→⌝G(x)) 前提引入
g F(c)→⌝G(c)) f UI
h ⌝F(c)
i ∃x(⌝F(x)) h EG
在上述推理中，b后面的推理规则为A,d后面的规则为B,e后用的是由b,d得到的推理规则C，h后用的是由e,g得到的推理规则D.
供选择的答案
A,B,C,D:1 UI 2:EI 3UG 4 EG 5拒取式 6 假言推理7析取三段论
A为2
B为1
C为7
D为5 ,
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