《理论力学》第十二章 动能定理.ppt

B y
dW i FA d rA FB d rB FB (-d rA d rB ) FB d(rB - rA )
FB d rAB
x
rB rA rAB
d rB d rA d rAB
这一结果表明：当两点
之间的距离发生变化时， 这两点之间的内力所作之 元功不等于零。
工程上几种内力作功的情形
◆ 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例 如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内 力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁 间的内力；这些内力都要作功。
◆ 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。
对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力， 当其为理想约束时，约束反力不作功。
v2
1 2
J O 2
v
R
主动力的功： W12 Ws
sP
由动能定理得：
1 2
W g
v2
1 2
JO R2
v2
0
Ws
v W
将上式对时间求导，并注意 dv a, ds v
dt
dt
解得：
a
WR 2
(JO
W g
R2 )
O
由动能定理得：
1 2
W g
v2
1 2
JO R2
v2
0
Ws
将上式对时间求导，并注意 dv a, ds v
d
(
1 2
mi vi2
)
Wi
d
(
1 2
mi vi2
)
Wi
dT Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作
的元功的和
微分形式。
T2 T1 Wi
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作
用于质点系全部力所作功的和
积分形式。
3. 内力的功
z
A FA
rA
FB
rB
O
FA 和FB 在drA 和drB 上所作之元功
T2 T1 Wi(主)
例 题 1 已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，空车重G0
求：G/G0 =？ 解：取车研究对象，设弹簧的
最大变形为 m
(1) 车下滑到弹簧压缩至最大
30°
W12
G(l
m
) sin
30
0.2G(l
m)
k 2
2 m
由动能定理得
0
0
G(l
m
)
sin
30
0.2G(l
m
)
k 2
2 m
(2) 车卸料后又弹回原位置，由动能定理得
dt
dt
sP
v W
例 题 3 已知： m ，R, f ， 。
求： 纯滚时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象
T1 0
T2
1 2
mvC2
1 2
JC 2
T2
3 4
mvC2
vC
R
s
C
vC
F
mg
FN
主动力的功： W12 mgssin
由动能定理得：
3 4
mvC2
0
mgs sin
解得： a 2 g sin
3
关于摩擦力的作功
F
M M
C
O
F
FN
0
功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不
是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力 作用那一点的位移。
§12-4 功率·功率方程·机械效率
1. 功 率
力的功率－力所作之功对时间的变化率
W dr
P dt F dt F v F v
力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。
W F cosds
s
W 0 F cosds
W F dr
W M2 F dr M1
F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
W12
M2 M1
( Fx
dx
Fy
dy
Fz
dz)
W F dr F vdt
W M 2 F vdt M1
c. 几种常见力的功
r1
r1
W
k 2
(12
2 2
)
（3）定轴转动刚体上作用力的功
W F dr F ds F rd
M z (F ) F r
W M zd
x
W 12
2
1
M
zd
z
F
r A
y
F
A
Fxy
Fn
（4）平面运动刚体上力系的功
dri drC dric
W Fi dri
Fi drC Fi driC
Fi driC Fi cos CM id
drC
M C (Fi )d
Fi driC
Mi
d
C
W Wi Fi drC M C (Fi )d FR drC M C d
W 12
C2 C1
FR
dr C
2 1
M
C d
§12-2 质点和质点系的动能
质点的动能
T 1 mv2 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点
mR2 , vC
R
T
3 4
mvC2
§12-3 动能定理
1. 质点的动能定理
m dv F dt
m dv dr F dr dt
v dv 1 d (v v) 1 d (v2 ) dv
2
2
d ( 1 mv2 ) W
2
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
mv dv F dr
2. 质点系的动能定理
mi
vi2
Hale Waihona Puke Baidu
i
1 2
mi
(ri
)
2
1 2
2
i
mi ri 2
x
1 2
J z
2
z
ri
vi
mi
y
c. 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P
2
J P JC md 2
T
1 2
J P 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
vC d
T
1 2
mvC2
1J 2
C 2
P
d
C
vC
C
vC
T
1 2
mvC2
1 2
J
C
2
JC
1 2
速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的 一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种 度量。动能与功的量纲相同，也为 J 。
质点系的动能
T
i
1 2
mi
vi2
刚体的动能
a. 平动刚体的动能
T
i
1 2
mi vi2
1 2
vC2
mi
1 2
mvC2
b. 定轴转动刚体的动能
T
i
1 2
第12章 动能定理
※ 力的功 ※ 质点和质点系的动能 ※ 动能定理 ※ 势力场·势能·机械能守恒定律 ※ 功率·功率方程·机械效率 ※ 质点系普遍定理的综合应用 ※ 结论与讨论
§12-1 力的功
a. 常力的功
W F cos s
F
M
M1
M2
S
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
b. 变力的功
（1）重力的功
X 0,Y 0, Z mg x
W12
z2 z1
mgdz
mg ( z1
z2
)
重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关， 与运动轨迹形状无关。
质点系：
W 12 mi g(zi1 zi2 )
W 12 mg(zC1 zC 2 )
（2）弹性力的功
F k
W r2 F dr r2 kd
0
0
G0
(l
m
)
sin
30
0.2G0
(l
m
)
k 2
2 m
解得： G G0
sin 30 sin 30
0.2 0.2
7 3
例题2
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动
惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动， 已知重物重量为W。
求：重物下落的加速度
解：取系统为研究对象
O
T1 0
T2
1W 2g