2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)(无答案)
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
----6 分
显然，方程①的．
设，则
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1
x2
4k 2 3
12 4k 2
．
-------8 分
PQ
1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
1 k2
3
8k 2 4k
2
2
4
4k 2 3
12 4k 2
=12
k2 1 2 4k 2 3 2
12
（A）奇函数 ~（C）奇函数且为偶函数
（B）偶函数 （D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) .
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳
（Ⅱ）若，求的值.
11．（Ⅰ）∵
2分
∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x )
6分
4
∴当 2x 2k x k k Z 时，
4
2
8
最小正周期为
8分
:
（Ⅱ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x
ADHG 是平行四边形.
A
G
故 CF=EH,AD=EH.
故△EGH 的三边 EH、EG、EH 分别是△ABC 的三边的中
F
E
线 AD、BE、CF，即、、.
.
由共边定理知,
2
4
2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(204)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（204）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()f x x x =-的值域为 。
2.如图1，在4×6的方格表中，单位格A 为红格，在此方格表中包含红格A 的矩形共有 个。
3.已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，t =则t 的取值范围是 。
4.已知实数a b 、满足22arcsin(1)arcsin(1).2a b π+--≥则22arccos()a b -= .5.方程组ln ,ln ,ln x e y y e z z e x =⎧⎪=⎨⎪=⎩的解为 。
6.已知集合{}1,2,T =…，2010，对于T 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为 。
7.已知直线0y k x b =+与双曲线2k y x=交于点(,1),(,2)M m N n -，则220x k k bx >+ ① 的解集为 。
8.已知内心为(1,7)I -的Rt OAB ∆的三个顶点均为整点，坐标原点O 为直角顶点，则满足条件的Rt OAB ∆的个数为 。
二、解答题（共56分）9.（16分）若复数z 满足20112010143340ziz iz ------=，求34(34)i t i z z -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围。
10.（20分）两两外切且半径分别为1、2、3的三个实心木球，球1O 、球2O 、球3O 夹在“V”字型木架之间（每个球与V 字型木架两个面相切）。
求V 字型木架两个面的夹角的度数。
11.（20分）定义在R 上的函数f 满足(1)(9)(9)f x f x f x +=-=+。
若(0)0,()0f f x ==在区间[]4020,4020-上有n 个根，求n 的最小值。
加试一、（40分）如图2，'O O 与内切，O 的内接四边形ABCD 的边BC 、CD 分别与'O 切于点M 、N ，BAD ∠的平分线与MN 交于点I 。
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（214）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.已知点A(3,1),，且的四个顶点均在函数的图像上，则的面积为 。
2.设集合，若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为，则集合A中的元素和为 。
7.在四面体ABCD中，，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的体积为 。
8.设为定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，均有，则实数的取值范围是 。
二、解ห้องสมุดไป่ตู้题
9.已知函数，设为正实数，且。证明：
10.设抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线与抛物线E交于S、T两点，以为圆心的圆过点S、T，且。
二、设为正整数，为素数。求所有满足的三元数组（）
三、将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率。
四、已知正实数满足有一组不全为0的实数解且。证明：
（1）求抛物线的方程。
（2）设M上的点，过点M且垂直于FM的直线与抛物线E交于A、B两点，证明：。
11.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足。设，求
加试
一、如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线与圆交于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使得，证明：QP平分.
3.在中，，点D在边AB上，BD=1，AC=，DA=DC，则
4.椭圆上任意两点P、Q，O为坐标原点，若，则面积的最小值为 。
5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为 。
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)
9.（16分）设常数，函数存在反函数。若关于的不等式对所有的恒成立，求实数的取值范围。
10.（20分）已知椭圆为原点，若动点A在椭圆C上，动点B在直线上，且,证明：点O到直线AB的距离为定值。
11.（20分）已知知数列记为数列的前项和。求所有的正实数数对，使得
加试
一、（40分）用表示不超过实数的最大整数，已知为互素的正大整数。证明：
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.设函数的定义域为，值域为。则区间长度的最小值为 。
2.已知向量满足且。则的最小值为
3.若复数满足，则的最大值为 。
二、（40分）在锐角中，已知AD为角平分线，M为边BC的中点，点P、Q在线段AD上，且,证明：当点P、Q变化时，的外心在一条定直线上。
三、（50分）给定正整数数组，若对任意的，均有则集合称为“A—好的”。定义为最大的正整数，使得集合可以分成两个集合满足且为A—好的，为B—好的。若数组
满足且。
证明若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 。
5.已知方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 条。
6.已知高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上。则侧棱SA长度的最大值为 。
7.设函数。定义如下：。记为的所有根的算术平均值，则 。
8.已知数列。记，则= 。
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(207)(无答案)
3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，点E在线段AD上，且AE=3,现分别沿BE、CE将翻折，使得点D落在线段AE上。此时，二面角D-EC-B的余弦值为 。
4.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有 种取法。
5.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足则 。
6.已知、为非零的不共线的向量，设，定义点集，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 。
7.设分别为椭圆E：的左、右焦点，过的直线与椭圆E交于A、B两点，,且，直线与椭圆E交于P、Q两点，C、D为椭圆E上异于P、Q的两点，且直线PC与QD交于点M，直线PD与QC交于点N，则直线MN的斜率为 。
11.已知为方程的实2）。
加试
一、设个不同的大于1的完全平方数。
证明：
二、如图2，的内切圆，切点依次为D、E、F，于点G，于点H，于点I，证明：
三、试确定不定方程 ①的所有正整数解。
四、将正整数1，2，…，10填于正五角星的十个顶点处，使得第条直线上所填四个数之和相等，问：这种填数方案是否存在？若存在，请给出填数方案的个数（经过旋转或对称之后能重合的方案为同一种方案）；若不存在，请说明理由。
8.记（p为素数，）为“好数”。若在b进制下，100与23的差为好数，则b的所有可能取值为 。
二、解答题
9.求集合中所有元素的和。
10.已知P、Q分别为轴、轴上的动点，R（0，-3），.
（1）求动点M的轨迹C
（2）已知为轨迹C外一动点，，AB、AD分别与曲线C切于点B、D，直线BD、SA分别与直线交于点E、F，证明：以EF为直径的圆过定点。
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（207）（无答案）
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=. 3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =最接近的自然数为.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x 的最大值为. 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112n a a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加 试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案.doc
2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。
【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题(194)(无答案)
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（194）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，平行于轴的直线分别与函数及 的图像交于点，点为函数图像上一点.若为正三角形，则 .y 12log y x =22log 2y x =+B C、(,)A m n 2y ABC ∆2n m =2.在中，已知所对的边长分别为，边上的高 .则的取值范围是.ABC ∆A B C ∠∠∠、、a b c 、、BC 12AD a=2()2b c bc + 3.从中选出三个不同的角度使其松成某个三角形的三个内角，一共有种不同的选法.0001,2,,1794. 已知复数满足，且.则的最小值为.12z z 、125arg6z z π=112z z z =+1222z tz z +5. 方程的解集为.423423(sin sin )(cos cos )2cos 2x x x x x +-+= 6. 已知实数满足.则的最小值为.x y 、2221x xy y --=222x y +7.如图2，已知为椭圆 上三点，为原点， 过右焦点.若，且则椭圆的离心率为.A B C 、、22221(0)x y a b a b+=>>AB O AC F BF AC ⊥2AF FC =8.设. 则函数的零点个数为.01()2015,()()1()n n f x x f x f x n -+=-=-∈Z 2015()y f x =二、解答题（共56分）9.（16分）已知二次函数满足.当时，求 的最大值.()y f x =10.（20分）如图3，中心在坐标原点和焦点分别在轴、轴上的椭圆均过点，且椭圆的离心率均为.过点作两条斜率分别为的直线，分别与椭圆交于点.当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.x y k k '、12C C 、P Q 、4k k '=PQ11.（20分）已知数列满足.证明：当时，有.{}n a []0101,2()1()nn n k k a a a n k a n +==-=-+∈∑N 1n ≥12111710n a a a +++<加 试一、（40分）如图4，已知为锐角内一点，在上的投影分别为，过点分别作的垂线交于点，在上的投影为.证明：O ABC O BC CA AB、、111A B C 、、A B 、1111B C AC 、P P AB（1）；（2）四点共圆.二、（40分）已知正实数满足.证明：.a b c abc++<32++<三、（50分）在空间直角坐标系中，若一个点的三个坐标均为整数，则称该点为“格点”.若两个格点有两个对应的坐标相等，剩下的一个坐标恰相差1，则称这两个格点是“相邻”的.最初在原点处放置一枚棋子，进行如下操作：若一枚棋子所在的格点有三个未放置棋子的相邻的格点，则可以将该棋子取走并在那三个未放置棋子的相邻的格点处各放上一枚棋子.问：能否经过有限次操作，使得所有棋子的坐标满足？(0,0,0)O (,,)x y z 6x y z ++≥四、(50分)给定素数以及正整数.求所有的正整数，满足中恰有个数被整除.p ()k k p <(1)n n p ≥-11,,,(1,2,,1)i i i p n n n C C C i n p ++-=-+k p。
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(186)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（186）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设锐角αβ、满足αβ≠，且22(cos cos )(1tan tan )2αβαβ++=.则αβ+=.2. 等差数列{}n a 满足121477a a a +++=，且111a a ∈+Z 、.则 18a =.3. 若点00(,)P x y 对椭圆22:14x E y +=与双曲线22:14y H x -=的切点弦互相垂直， 则00y x =. 4. 设ABC ∆的面积为1，边AB AC 、的中点分别为E F 、，P 为线段EF 上的动点.则2f PB PC BC =+的最小值为.5. 设函数22()log ()log ()f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411i i x==∑的任意实数421(0,1)(14),i i i i x i s x log x =∈≤≤=∑的最小值为. 6. 满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的整数n =.7. 若0x y z >、、满足{}2min ,,54,151,5z x y xz yz ⎧≤≤⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩则121f x y z =++的最大值 为. 8. 将六元数组(1,2,3,4,5,6)重排为123456(,,,,,)A a a a a a a =与123456(,,,,,)B b b b b b b =.则61i i i P ia b ==∑的最小值为.二、解答题（共56分）9.（16分）对任意的n +∈Z ，证明：211111113332n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.（20分）定义在R 上的函数()f x 满足：（i ）对任意的实数x y 、有(1)(1)()()f x y f x y f x f y ++=-+-；（ii ）(1)2f =；（iii ）()f x 在区间[]0,1上为增函数.（1）求(0)(1)(2)f f f -、、的值；（2）解不等式()1f x >.11.（20分）已知一个等差数列的第一项小于0，第100项不小于74，第200项小于200，且该等差数列属于区间1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭的项数比属于区间4920,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的项数少 2.求该等差数列的通项公式.加 试一、（40分）如图1，设L M N 、、分别为ABC ∆的BAC CBA ACB ∠∠∠、、内点，且,,,CBA ACL LBA LAC CBM BAM MCB MBA ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，,ACN CBN NAC NCB ∠=∠∠=∠.证明：（1）AL BM CN 、、三线交于一点P ；（2）L M N P 、、、四点共圆.二、（40分）设2()f x x a =+，记11()(),()(())(2,3,)n n f x f x f x f f x n -===.求集合{}1(0)2,n M a f n +=∈≤∈R Z .三、（50分）求所有正整数数组(,,)x y z 满足51213x y z +=.四、(50分)一个简单图中两两相邻的t 个顶点称为一个团，与其余每个顶点均相邻的顶点称为中心点.给定整数3n ≥及满足12n k n <<的整数k ，一个n 阶简单图G 中不存在1k +团，其全部k 团记为12,,,m A A A . （1）证明：112m m i i i i A A k ==+≥；（2）若在图G 中再添加一条边就存在1k +团，求图G 的中心点个数的最小值.（3）。
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(189)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（189）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 若对任意的[],2x a a ∈+，均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围 是.2.已知(22)0x y ≥>.则x y +的最小值为.3. 用[]x 表示不超过实数x 的最大整数.则211sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣. 4. 已知21(),()(),()(())21n x f x f x f x f x f f x x ===+.则6()f x =.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上， 112,2A E ED DF FC ==.则三棱锥1B FEC -的体积为.6. 从集合{}1,2,,2014中随机地、不放回地取出三个数123a a a 、、，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数123b b b 、、.则将123a a a ⨯⨯为长、宽、高的砖能放进以123b b b ⨯⨯为长、宽、高的盒子中的概率为.7. 已知椭圆22154x y +=，与x 轴交于点A B 、，过椭圆上一点P （P 不与A B 、重合）作椭圆的切线l ，过点A B 、分别作x 轴的垂线，与切线l 分别交于点C D 、.设CB AD 、交于n 个点Q ，Q 关于P 的对称点为S .则S 的轨迹方程为.8. 设30020(1)150k kk x x c x =++=∑，其中，01300,,,c c c 为常数.则10030k k c ==∑.二、解答题（共56分）9.（16分）定义数列{}123:1,2,3n a a a a ===，对任意的3n ≥，2112n n n n n a a a a a +--=-+.证明：n a 为正数数列.10.（20分）过抛物线2:4x y Γ=的焦点0F 作斜率分别为12k k 、的两条不同直线12l l 、，且122k k =+，直线1l 与抛物线Γ交于点A B 、，直线2l 与抛物线Γ交于点C D 、，以A B C D 、为直径的M N 、公共弦所在的直线记为l .求点M 到直线l 距离的最小值.11.（20分）设(2)n n ≥为给定正整数.求11(1)sin(1)n k n k k n n π-=-++∏的值.加 试一、（40分）已知+a b c ∈R 、、，且41abc a b c =+++.证明：2()2a a ab +≥∑∑，其中，“∑”表示轮换对称和.二、（40分）如图1，ABC ∆的内切圆I 与三边BC CA AB 、、分别切于点D E F 、、，直线AI BI 、与I 分别交于点10101010(,)A A B B AA AA BB BB <<、、、.过点00A B 、作边AB 的平行线分别与I 交于点A B C C 、，联结A B C F C F 、，过点F 作A C F 的一条垂线与1A C A 交于点3C ，过点F 作B C F 的一条垂线与1B C B 交于点4C .设直线3AC 与直线4BC 交于点C '，类似地，得到点A B ''.证明：A B C ∆'''的外接圆半径是I 半径的2倍.三、（50分）平面上有任意三点不共线的12个点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，且作出所有这样的向量.若三边向量和为零向量，则称该三角形为“零三角形”.求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值.四、(50分)证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p ，至少存在一个n +∈Z ，满足2(20142014)n p +.。
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（221）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.在中，，，则的最大值为
2.设，则 。
3.将排成一列，使得每一个数严格大于排在其前面的所有数，或严格小于排在其前面的所有数，记不同的排列个数为。则 。
二、解答题
9.设数列、满足，，证明：对任意的，均有
10.一种排卡游戏规则如下：将写有1，2，…，9的九张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为，则将前张卡片逆序排过称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上的标数为“1”）游戏停止。若一个排列无法操作，且恰由唯一的另一个排列经过一次操作得到，则此排列称为“二次终止排列”。在所有可能的排列中，求二次终止排列出现的概率。
二、（1）求所有映射，满足
（2）求所有映射，满足
三、证明：给定任意正整数，均有无穷多个素数，对于每个，均存在正整数，使得
四、有三种型号的零件，取个零件围成一个圆依次为abab…abc，现进行如下操作：在保证任意相邻零件型号不同的情况下，每次改变一个零件的型号，问：是否能经过有限次操作，使得最后零件顺序为abab…abc？
11.取定椭圆长轴上的一点K（K不为中心），过K作椭圆的两条弦AC、BD。延长四边形ABCD的对边AB、DC交于点M，延长AD、BC交于点N。当弦AC、BD任意变动时（保持交于点K），证明：
（1）点M、N在同一条定直线上；
（2）的垂心为定点。
加试
一、如图1，圆交于E、F两点，过点F的直线AD、BC与圆分别交于点A、B，与圆分别交于点D、C，且AD=BC,,联结BD，过点C作AB的平行线CG，与BD交于点G，证明：EG//AD.
【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题(210)(无答案)
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数，实数、满足，，则= 。
()x x f 2log =a b()＜b a ()()＋2＋1b f a f =()4＋6b＋2210=a f ab2.已知数列满足，记则= 。
{}n a 2＋10-1＋345,0n n n a a a a ==()N n ∈,0∑==ni i n a S 51S3.已知椭圆的右焦点为F ，P 为椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为 。
15y ＋922=x ()32,0A APF ∆APF ∆ 4.已知AB 是以为圆心且与函数图像有公共点的所有圆中半径R 最小的圆的一条直径，O 为原点，则 = .()1,0C 11-=x y OA OB5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2016只，随机取出两只短袜，其同色的概率为，则抽屉中红袜数量的最大值为 。
216.在中，点D 在边AB 上，BD=1，且DA=DC,则 ABC∆,3B AC π∠===∠DCA7.已知半径为的球的球心O 为正四面体的中心，且球O 的球面被四面体的四个面截得的曲线总长度为，则四面体的体积为 。
222ΓΓ8πΓ8.已知非负整数数列满足，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么，这样的数列的个数为 。
{}n a nn a a a ≤=＋11,2016{}n a二、解答题9.设为方程的三个根，证明321x x x 、、0＋17163=-x x 123arctan arctan arctan 4x x x π++=10.已知抛物线∶的焦点为F ，M 为圆∶上一点，以F 为圆心、FM 为半径作，直线与切于点M ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线（异于直线）分别过点A 、B 且与相切，证明∶C x y 42=Γ()8＋322=-y x F lF 21、l l lF 21//l l11.对任意2016个复数，均有，其中，求的最大值。
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a≢9，0≢b≢9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≢18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n≣10a＋1．因此b＝n2100a2≣20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a≢4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≣422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≣m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4²24，4²34，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c≢9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a2²b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab²ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137²73．故对一切n≣2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，104³M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n≢5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i²n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m²n！＋k（m∈N，2≢k ≢n）由于n！＝1²2²…²n是k的倍数，所以m²n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n≣2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m≣p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n≣n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m≢p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n≣n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m≣m，p≣2m＋1由得4m2＋4m＋1≢m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n≢0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab≣0（否则ab≢－1，a2＋b2＝k（ab＋1）≢0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a≣b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方．18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2≢k≢n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2≢k≢n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂．19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n－2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d≣n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和≣15005，所以A≣15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1≢i≢20，1≢j≢10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由a＋c＞c≣c1，b＋c＞c≣c2。
20192020年高二数学竞赛试卷含答案
跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一
个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 （ ▲ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．D．
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．
5.已知方程 x2+（4+i）x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数 z=
(Ⅱ)若，求的值.
11．（Ⅰ）∵
2分Leabharlann ∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 4
∴当 2x 2k x k k Z 时，
4
2
8
最小正周期为
(Ⅱ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2 cos x 2sin x
共有种填法,所以符合题意的概率为:
.
3．定义两种运算：，，则函数为( ）
(A）奇函数
（B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数
(D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) 。
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1,2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点
如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、
从左向右的侧视图的面积分别为，，．
（Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在,确定点的位置;若不存在，说明理由．
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(209)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（209）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()f x 的定义域为D ，若（1）()f x 在D 内是单调函数，（2）存在区间[],a b D ⊆，使得()f x 在区间[],a b 上的值域是[],a b ，则称()y f x =为闭函数。
若()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 。
2.掷六次色子，令第i 次得到的数为i a 。
若存在正整数k ，使得16k i i a==∑的概率n p m=，其中，m 、n 为互素的正整数，则67log log m n -= 。
3.设向量(3,),(2sin cos ,sin cos )x x a a αβθθθθ=+=+满足对任意x R ∈和 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，均有αβ+≥。
则实数a 的取值范围是 。
4.对任意的x y R ∈、，函数(,)f x y 均满足（1）(0,)1f y y =+（2）(1,0)(,1)f x f x +=（3）(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+。
则(3,2016)f = .5.设集合{}{}1231,2,,12=,,S A a a a =…，满足12332,5,a a a a a A S <<-≤⊆.则满足条件的集合A 的个数为 。
6.设{}(0)n f n ≥为Fibonacci 数列，定义如下：01111,1,(1,2,)n n n f f f f f n +-===+=…则方程212(1)n n n nf f f ++=-的解集为7.一个球外接于四面体ABCD ，另一个半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D。
若43,cos ,cos cos 5AD BAC BAD CAD =∠=∠=∠=ABCD 的体积为 。
8.设P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，12F F 、为椭圆的焦点，12PF PF 、分别与椭圆交于A 、B 两点，则1212PF PF F A F B+= .二、解答题9.设n 为正整数，集合{}1,2,2M n =…，，求最小的正整数k ，使得对于集合M 的任何一个k 元子集，其中必有四个互不相同的元素之和为41n +。
2019-2020年高三竞赛数学(理)试题
卧龙东校区高三理科数学竞赛试题2019-2020年高三竞赛数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知实数集R，集合集合，则=( )A. B. C. D.2. 直线:kx+(1－k)y－3=0和:(k－1)x+(2k+3)y－2=0互相垂直，则k=( )A. －3或－1B. 3或１C. －3或１D. －1或33. 函数的最小正周期是( )A. B. C. 2π D. 4π4. 如图，正三棱柱ABC－的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A. B. 4C. D.5.设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且,有两个命题：：若，则；：若，则；那么( )A．“或”是假命题B．“且”是真命题C．“非或”是假命题D．“非且”是真命题6. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。
若点到该抛物线焦点的距离为，则（）A、B、C、D、7. 函数y=lg|的大致图象为( )8. 设p:|4x－3|≤1，q: －(2a+1)x+a(a+1)≤0，若非p是非q的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. （－∞，0］∪D.（－∞，0）∪9. 在等差数列中，=－2 012 ，其前n项和为，若=2，则的值等于( )A. －2 011B. －2 012C. －2 010D. －2 01310. 偶函数f(x)满足f(x－1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x，则关于x的方程f(x)= ，在x∈[0，4]上解的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且，则z=2x+y的最大值( )A. 6B. 5C. 4D. －312. 在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x，y满足+x+y=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△P AB的面积分别为S，，，，记,,,则取最大值时，2x+y的值为( )A. －1B. 1C. －D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13．已知直线经过圆的圆心，则的最小值为.14．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为.15．已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为16．对于各数互不相等的整数数组…（是不小于3的正整数），若对任意的…，当时有，则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2.若数组…，的逆序数为，则数组…，）的逆序数为.三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,=3.（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若c=1,求a、sin B的值.18．（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是与的交点，平面，是侧棱的中点，异面直线和所成角的大小是60.（Ⅰ）求证：直线//平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.(Ⅰ1) 求证：平面PCD⊥平面P AD；(Ⅱ) 求二面角G－EF－D的大小；20．（本题满分12分）已知数列中，且（且）.（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.21. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为（－1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分14分）已知函数（为常数，）.（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意．．，使不等式成立，求实数的取范围.．．的（1，2），总存在卧龙东校区高三理科数学竞赛试题参考答案一、选择题1. B 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D 11 B12 D二、填空题：13. 4 14. 15.16.三、解答题17. 解：（1）cos A=2×－1=,而cos A=bc=3，∴bc=5又A∈（0，π），∴sin A=∴S=bc sin A=×5×=2. ………………………………………6分（2）∵bc=5,而c=1，∴b=5.∴－2bc cos A=20，a=…………10分又，∴sinB=.……………12分18.解：（Ⅰ）连结，四边形是正方形，是的中点，……………………………………2分又是侧棱的中点，//. ………………4分又平面，平面直线//平面.…………………………5分（Ⅱ）建立如图空间坐标系，则………7分设平面的法向量，则有即解得………………………………………………9分直线与平面所成角记为，……………………………12分19.解(1) 证明:方法一:∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD∵CD⊥AD∴CD⊥平面P AD∵CD平面PCD∴平面PCD⊥平面P AD……………………………4分方法二：略（向量法）（2）如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D－xyz.则有关点及向量的坐标为: ………………………………5分G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）=（0，－1，0），=（1，1，－1）……6分设平面EFG 的法向量为=（x ，y ，z ）∴ 第19题图取=(1,0,1) 平面PCD 的一个法向量, =(1,0,0)…………………………………8分 ∴cos………………………………10分结合图知二面角G －EF －D 的大小为45°……………………………12分20.解：（Ⅰ）设……………………………………………1分[]11111111(2)1222n n n n n n n n n a a b b a a +++++---=-=-+=…………4分 所以数列为首项是2公差是1的等差数列.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………7分121(221)(321)(21)[(1)21]n n n S n n -=⋅++⋅+++⋅+++⋅+ 12122322(1)2n n n S n n n -∴=⋅+⋅++⋅++⋅+……………………………………8分设 ①②②－①，得1231122(222)(1)22n n n n T n n ++=-⋅-+++++⋅=⋅…………………………………11分所以………………………………………………………12分21. 解：（1） 设椭圆方程为=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1由|PQ |=3，可得=3， 解得a =2，b =，故椭圆方程为=1…………4分（2） 设M ，N ,不妨>0, <0,设△MN 的内切圆的径R ，则△MN 的周长=4a =8，（MN +M +N ）R =4R因此最大，R 就最大， ，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1，由得+6my －9=0， 得，，则AB （）==， 令t=,则t≥1,则, 令f （t ）=3t +，则f ′(t ) =3－，当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)=4, ≤=3,即当t =1,m =0时，≤=3, =4R ，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为π………………12分22．解：2212()122()2,()11122a ax x a a f x x a x ax a ax --'=+-=>-++………………………1分（Ⅰ）由已知，得即，经检验，满足条件.………………4分（Ⅱ）当时，……………………………………………………………5分当时，.又，故在上是增函数………………………6分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.…8分 记211()ln()1(1),(12)22g a a a m a a =++-+-<<则1()12[2(12)],11a g a ma ma m a a '=-+=--++..................9分 当时，有，且在区间（1，2）上递减，且，则不可能使恒成立，故必有 (11)分当，且若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立矛盾，故，这时，即在（1，2）上递增，恒有满足题设要求.，即，……………………………………………………………13分所以实数的取值范围为.…………………………………………………14分。
2019-2020学年上学期高二竞赛数学试卷
2019-2020学年上半学期高二数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数： 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={-1,0,1,2}，A={0,2},B={-1,0}则(A C U )∪B=（ ）。
A ．{1} B.{-1,0} C ．{-1} D ．{-1,1,0} 2、不等式-2x ²-5x+3＜0的解集是（ ）。
A 、RB 、{x|-3＜x ＜21} C 、∅ D 、{x|x ＜-3或x ＞21} 3、已知角α的终边上一点P （-3,4），那么sin α+cos α=（ ）。
A 、-51B 、 51 C 、-257 D 、 257 4、已知向量,2),20(1||=∙==b a b a 且，，则夹角的大小为（ ）。
A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、2π5、已知等差数列的前n 相和n S ，若54a -18a =，则8S 等于（ ）。
A 、18 B 、36 C 、54 D 、726过点A （-2，m ）与B （m ，1）的直线与直线2x-y+2=0平行，则m=（ ）。
A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、27、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。
A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]8、若方程15922=-+-k y k x 表示椭圆，则整数k 的值有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5,2）上是（ ）。
A 、减函数 B 、增函数 C 、先增后减 D 、先减后增10、若两直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）。
A 、b ∥平面α或者b ⊆平面α B 、b ∥平面α C 、b ⊆平面α D 、相交 11、当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a-x 与函数y=a x 的图象可能是（ ）。
【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题(188)(无答案)
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（188）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数.设为任意锐角三角形的三个内角.则.2212()(1)(1)x x f x x x +-=++αβγ、、(tan )(tan )(tan )(cot )(cot )(cot )f f f f f f αβγαβγ+++++=2. 计算：.303030sin 20sin 100sin 140-+=3.设，且.则的最小值 为.a b ∈R 、1a b +=(,)f a b =4. 已知四面体的四个面的面积分别为，顶点到面的距离为.则.ABCD DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、12212837、、、D ABC ∆h h =5.已知向量为平面内两个互相垂直的单位向量，且.则的最大值为.a b 、(3)(4)0a cbc --=c6.若曲线的内接的重心为其焦点.则 .2y =ABC ∆F222FA FB FC ++=7.已知数列满足.则数列的通项公式 为.{}n a 2112(1)1,2n n na n a a n +++==+{}n a 8.集合，对于正整数，集合的任一元子集中必有一个数为另外个数乘积的约数.则的最小可能值为.{}1,2,,100S =m S m 1m -m二、解答题（共56分）9.（16分）设实数满足a b c d 、、、22223,3,1.a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩证明：.3333(1)(1)(1)(1)a a b b c c d d -=-=-=-10.（20分）设，且.0a b c >、、1abc =证明：.22222222291(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a ab b bc c ca a ab b bc c ca +++≥++++++++++++11.（20分）设为椭圆长轴的两顶点，为椭圆上任意一点，过作椭圆的切线，与过点的切线分别交于点分别为左、右焦点.证明：.A B、22221(0)x y a b a b +=>>P P CD A B 、C D M N 、、、090CMD CND ∠=∠=加 试一、（40分）在中，设，垂足为分别为的内心，与交于点，记的面积为.证明：.D P Q 、、ADC BDC ∆∆、PQ CD K ABC ∆S 22111CK CD S -=二、（40分）设.证明：.(1,2,,)()i i a b i n n ∈=∈+R Z、1112()()nnni i i i i i i a b a b n ===≥∑∑∑三、（50分）求最小的实数，使得对任意正整数，均有，其中，表示正整数的最大公约数，表示不超过实数的最大整数.λn(),n ⎡<⎣(,)a b a b 、[]x x四、(50分)设为一个正整数，三维空间内的点集满足下述性质：n S（1）空间内不存在个平面，使得点集中的每个点至少在这个平面中的一个平面上；n S n（2）对于每个点，均存在个平面，使得中的每个点均至少在这个平面中的一个平面上.X S ∈n {}S x ﹨n求点集中点的个数的最小值与最大值.S。
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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（214）（无答案）
第一试
一、填空题
1.已知点A(3,1),523B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且A B C D □的四个顶点均在函数2
()log 1
ax b f x x +=-的图像上，则ABCD □的面积为 。
2.设集合{}125,,,(,1,2,,5)i A a a a a R i +=∈=……，若集合A 中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为{}2,3,4,6,9B =，则集合A 中的元素和为 。
3.在ABC ∆中，3B π
∠=，点D 在边AB 上，BD=1，，DA=DC ，则DCA ∠=
4.椭圆2
214
x y +=上任意两点P 、Q ，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，则POQ ∆面积的最小值为 。
5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为 。
6.某情报站有A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周均是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第一周使用A 种密码，则第七周也使用A 种密码的概率为 （用最简分数表示）。
7.在四面体ABCD 中，0
60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD 的外接球的体积为 。
8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[],2x a a ∈+，均有()2()f x a f x +≥，则实数a 的取值范围是 。
二、解答题
9.已知函数22()()1n n x x f x n Z x +-=∈+，设12,,,n x x x …为正实数，且1
1n i i x ==∑。
证明：1()0n n i i f
x =≥∑
10.设抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线E 交于S 、T 两点，以(3,0)P 为圆心的圆过点S 、T ，且090SPT ∠=。
（1）求抛物线E P 、的方程。
（2）设M P 上的点，过点M 且垂直于FM 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，证明：FA FB ⊥。
11.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，已知数列{}n a 满足1111,1ln n n n a a a a +==++。
设[][][]12n n S a a a =+++…，求n S
加试
一、如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线与圆交于C 、D 两点，C 在P 、D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使得=DAQ PBC ∠∠，证明：QP 平分AQB ∠.
二、设m n 、为正整数，p 为素数。
求所有满足34n m C p -=的三元数组（,,m n p ）
三、将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率。
四、已知正实数122017,,,a a a …满足1120(12017)k k k k k x x x a x k -+-++=≤≤有一组不全为0的实数解012018(,,,)x x x …且020180x x ==。
证明：12201721009
a a a +++≥。