正弦定理和余弦定理的应用举例解析版资料全

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·金陵中学)已知△ABC 的一个角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 32．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin 180°－60°－75°.解得BC ＝56(海里)．答案 5 63．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝1762(海里/时)． 答案 17624．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________．解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫C＋π6≥1，从而sin⎝⎛⎭⎪⎫C＋π6＝1，且a＝b，C＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形．答案等边三角形5．(2010·卷)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B的值是________．解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为ba＋ab＝6cos C，由余弦定理得a2＋b2ab＝6·a2＋b2－c22ab，即a2＋b2＝32c2.而tan Ctan A＋tan Ctan B＝sin Ccos C ⎝⎛⎭⎪⎫cos Asin A＋cos Bsin B＝sin Ccos C·sin Csin A sin B＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝2c232c2－c2＝4.答案4考向一测量距离问题【例1】如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.(1)求证：AB＝BD；(2)求BD.(1)证明在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD ＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.(2)解 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，因此，BD ＝32＋620(km) 故B 、D 的距离约为32＋620km. [方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】 隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面)，求两目标A ，B 之间的距离．解 如题图所示，在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)．在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(千米)． 在△ABC 中，由余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，即AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22cos 75°＝5， ∴AB ＝5(千米)．所以两目标A ，B 间的距离为5千米．考向二 测量高度问题【例2】(2010·)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？解(1)由AB＝Htan α，BD＝htan β，AD＝Htan β及AB＋BD＝AD得Htan α＋htan β＝Htan β解得H＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2)由题设知d＝AB，得tan α＝Hd.由AB＝AD－BD＝Htan β－htan β，得tan β＝H－hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝hd＋H H－hd≤h2H H－h，当且仅当d＝H H－hd，即d＝H H－h＝125×125－4＝555时，上式取等号．所以当d＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d是55 5 m.[方法总结] (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin βsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝s tan θsin βsinα＋β.考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“号”驱逐舰奉命以10 3 km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD＝103t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即“号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形．第四步：将所得结果转化为实际问题的结果．【训练3】(2013·二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.高考经典题组训练1．(卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD22ED·EC＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin∠CED＝1010.答案10 102．(2011·新课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案273．(卷改编)若△ABC的三边长为连续三个正整数，且A>B>C,3b＝20a cos A，则sin A∶sin B∶sin C＝________.解析由A>B>C，得a>b>c.设a＝c＋2，b＝c＋1，则由3b＝20a cos A，得3(c＋1)＝20(c＋2)·c＋12＋c2－c＋222c＋1c，即3(c＋1)2c＝10(c＋1)(c＋2)(c－3)，解得c＝4，所以a＝6，b＝5.答案6∶5∶44.(2·卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin 45°sin 105°＝53＋3·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， 所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)． 所以救援船到达D 点需要1小时．（省2013届高三高考压轴数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231. (Ⅰ) 求sin B 的值;(Ⅱ) 求cos C 的值.分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________．答案13.5 km/h2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30 (m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．答案10 33．某人向正向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为________．解析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检测均合题意．答案3或2 34.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．解析在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°＝22a.答案2 2 a5．(2010·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12CD，∠ADB＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·32＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD ·sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ，∴∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3， 所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°，故所求角为60°.答案 60°6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．答案 10 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·七校联考)如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．解 (1)①∵ON ＝OP 2－PN 2＝3－x 2，OM ＝33x ， ∴MN ＝3－x 2－33x ， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 2－33x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. ②∵PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝33×3sin θ＝sin θ， ∴MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，∴y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)，即y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴y max ＝32. 8．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30°＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)， 此时v ＝10313＝303(海里/时)． 即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30海里/时． 故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．。