重庆中考数学第题几何专题训练
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G
F E
D
C
B
A
M 证明题
1.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,AD ⊥BC ,垂足是D ,AE 平分∠BAD ,交BC 于点E .在△ABC 外有一点F ,使FA ⊥AE ,FC ⊥BC . (1)求证:BE=CF ;
(2)在AB 上取一点M ,使BM=2DE ,连接MC ,交AD 于点N ,连接ME . 求证:①ME ⊥BC ;②DE=DN .
2.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,E 为AC 边的中点,过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ,CG 平分∠ACB 交BD 于点G ,F 为AB 边上一点,连接CF ,且∠ACF =∠CBG 。 求证:(1)AF =CG ;
(2)CF =2DE
3.如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边AB 、CD 上的点,AE=CF ,连接EF ,
BF ,EF 与对角线AC 交于O 点,且BE=BF ,∠BEF=2∠BAC 。 (1)求证:OE=OF ;
(2)若BC=23,求AB 的长。
4.已知,如图,在?ABCD 中,AE ⊥BC ,垂足为E ,CE=CD ,点F 为CE 的中
点,点G 为CD 上的一点,连接DF 、EG 、AG ,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE 的长; (2)求证:∠CEG=∠AGE .
5.如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E 角平分线上一点,过点E 作AE 的垂线,过点A 作AB 的线段,两垂线交于点D ,连接DB ,点F 是BD 的中点,DH ⊥AC ,垂足为H ,连接EF ,HF 。 (1)如图1,若点H 是AC 的中点,AC=23AB ,BD 的长。
(2)如图1,求证:HF=EF 。
(3)如图2,连接CF ,CE ,猜想:△CEF 是否是等边三角形若是,请证明;若不是,请说明理由。 6.如图1,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,点E 在AC 边上,连结BE . (1)若AF 是△ABE 的中线,且AF =5,AE =6,连结DF ,求DF 的长; (2)若AF 是△ABE 的高,延长AF 交BC 于点G .
①如图2,若点E 是AC 边的中点,连结EG ,求证:AG +EG =BE ;
②如图3,若点E 是AC 边上的动点,连结DF .当点E 在AC 边上(不含端点)运动时,∠DFG 的大小是否改变,如果不变,请求出∠DFG 的度数;如果要变,请说明理由.
7.在△ABC 中,AB=AC ,∠A=60°,点D 是线段BC 的中点,∠EDF=120°,DE 与线段AB 相交于点E ,DF 与线段AC (或AC 的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF ⊥AC ,垂足为F ,AB=4,求BE 的长; (2)如图2,将(1)中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度,DF 扔与线段AC 相交于点F.求证:1
CF 2BE AB +=; (3)如图3,将(2)中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度,使DF 与线段AC 的延长线交与点F ,作DN ⊥AC 于点N ,若DN=FN ,求证:3()BE CF BE CF +=
-.
8.已知在四边形ABCD 中,180ABC ADC ∠+∠=︒,AB =BC .
(1)如图1,若90BAD ∠=︒,AD =2,求CD 的长度;
A
B F D
C E 25题图1 B A
F
D C E
G 25题图2 A
B F D
C E G 25题图3
图1 图2 图3 A
E
O
C B
(2) 如图2,点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上,满足PQ =AP +CQ ,求证:1
902
PBQ ADC ∠=︒-
∠; (3)如图3,若点Q 运动到DC 的延长线上,点P 也运动到DA 的延长线上时,仍然满足PQ =AP +CQ ,则(2)中的结论是否成立若成立,请给出证明过程,若不成立,请写出PBQ ∠与ADC ∠的数量关系,并给出证明过程. 9.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,E 是对角线AC 上任意一点,F 是线段BC 延长线上一点,且CF =AE ,连接BE 、
EF .
(
1)如图1,当E 是线段AC 的中点,且AB =2时,求△ABC 的面积; (2)如图2,当点E 不是线段AC 的中点时,求证:BE =EF ;
(3)如图3,当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
10.如图1,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,若点E 在AB 的延长线上,EF ∥AD ,EF=BE ,点P 是DE 的中点,连接FP 并延长交AD 于点G .
(1)过D 作DH ⊥AB,垂足为H ,若DH=23,BE=
1
4
AB,求DG 的长; (2)连接CP ,求证:CP ⊥FP ;
(3)如图2,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,若点E 在CB 的延长线上运动,点F 在AB 的延长线上运动,且BE=BF ,连接DE,点P 为DE 的中点,连接FP 、CP
,那么第(2)问的结论成立吗若成立,求出PF
CP
的值;若不成立,请说明理由.
11.如图1,ABC 中,BE AC ⊥于点E ,AD ⊥于点D ,连接DE . (1)若AB BC =,1DE =,3BE =,求ABC ∆的周长;
(2)如图2,若AB BC =,AD BD =,ADB
∠的角平分线DF 交BE 于点F ,求证:2BF DE =; (3)如图3,若AB BC ≠,AD BD =,将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆,连接DG 、EG ,请猜想线段AE 、
BE 、DG 之间的数量关系,并证明你的结论。 12.如图,在等腰R t △ABC 中,O 为斜边AC 的中点,连接BO ,以AB 为斜边向三角形内部作R t △ABE, 且∠AEB=90°,连接EO.
求证:(1)∠OAE=∠OBE; (2)AE=BE+2OE.
13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图1,在△ABC 中,AB=AC ,点P 为边BC 上的任一点,过点P 作PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,过点C 作CF ⊥AB ,垂足为F . 求证:PD+PE=CF .
小军的证明思路是:如图2,连接AP ,由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得:PD+PE=CF . 小俊的证明思路是:如图2,过点P 作PG ⊥CF ,垂足为G ,可以证得:PD=GF ,PE=CG ,则PD+PE=CF . 【变式探究】如图3,当点P 在BC 延长线上时,其余条件不变,求证:PD ﹣PE=CF ; 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
【结论运用】如图4,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点D 落在点B 上,点C 落在点C′处,点P 为折痕EF 上的任一点,过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,若AD=8,CF=3,求PG+PH 的值;
图1 D
A B C A
D
C P
Q
图2
A
D
B
C
P
Q
图3 A
B C
D H P F G
第25题图1 A B C D
P
F 第25题图2
E G ’